北师大版2023-2024学年七年级数学上册压轴题攻略(成都专用)专题10几何中的两种动角问题(原卷版+解析)

专题10几何中的两种动角问题类型一、判断角的数量之间的关系例．如图，是的平分线，是的平分线．(1)如图①，当是直角，时，则___________(2)如图②，当，时，猜想与的数量关系，并说明理由．(3)如图③，当，时，猜想：与、有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．【变式训练1】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．(1)如图，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数是______；（直接写出答案）(2)将（1）中的条件“∠AOC＝30°”改为“∠AOC是锐角”，猜想∠DOE与∠AOC的关系，并说明理由；(3)若∠AOC是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE与∠AOC之间的数量关系．（不用写探索过程，将结论直接写在你画的图的下面）【变式训练2】如图①，已知线段，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点．(1)已知，求EF的长．(2)若，求EF的长．由此你能得出EF与AB、CD之间存在怎样的数量关系？(3)类比应用①我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，OE、OF分别平分和，若∠，直接写出的度数．②由此，你猜想与、会有怎样的数量关系______．（直接写出猜想即可）【变式训练3】已知，，，分别平分，．(1)如图1，当，重合时，度；(2)若将的从图1的位置绕点顺时针旋转，旋转角，满足且．①如图2，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由；②在旋转过程中，请用等式表示与之间的数量关系，并直接写出答案．【变式训练4】如图甲，已知线段，，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点．(1)若，则______；(2)当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由；(3)①对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知在内部转动，OE，OF分别平分和，若，，求；②请你猜想，和会有怎样的数量关系，直接写出你的结论．类型二、定值问题例．已知将一副三角尺（直角三角尺和）的两个顶点重合于点，，（1）如图1，将三角尺绕点逆时针方向转动，当恰好平分时，求的度数；（2）如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角尺在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【变式训练1】如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均小于平角）（1）当t=2时，∠MON的度数为，∠BON的度数为；∠MOC的度数为（2）当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON-60°，试求出t的值；（3）当0＜t＜6时，探究的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？【变式训练2】已知将一副三角板（）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上．将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置．（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，_______度；如图2，若要恰好平分，则_______度；（2）如图3，当三角板摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角板在内绕点O任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．（3）当三角板从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线平分、射线平分（），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a在什么范围内时的度数是多少）．【变式训练3】如图，两条直线AB,CD相交于点O，且，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为.两条射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒.（本题出现的角均小于平角）（1）当时，若.试求出的值；（2）当时，探究的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？类型三、求值问题例.如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）【变式训练1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD＝α（0°＜α＜90°）①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE＝21°时，转动了多少秒？【变式训练2】如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，，．（本题所涉及的角都是小于180°的角）(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：①当，时，______，______，______；②______（用含有或的代数式表示）．(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；（∠MON的度数用含有或的代数式表示）(3)如图（4），当，时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，∠MON的度数是40°？【变式训练3】如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为．（1）用含t的代数式表示：_______，_______．（2）在运动过程中，当时，求t的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得直线平分由射线、射线、射线中的任意两条射线组成的角（大于而小于）？专题10几何中的两种动角问题类型一、判断角的数量之间的关系例．如图，是的平分线，是的平分线．(1)如图①，当是直角，时，则___________(2)如图②，当，时，猜想与的数量关系，并说明理由．(3)如图③，当，时，猜想：与、有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．【答案】(1)45°；(2)∠MON＝，理由见解析；(3)∠MON＝，与的大小无关，理由见解析【解析】(1)∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=90°+60°=150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC-∠NOC=45°．故答案为：45°；(2)∠MON＝，理由是：∵∠AOB＝，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝＋60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC＝＋30°，∠NOC＝∠BOC＝30°∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝（＋30°）－30°＝．(3)∠MON＝，与的大小无关．理由：∵∠AOB＝，∠BOC＝，∴∠AOC＝＋．

∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC＝∠AOC＝（＋），∠NOC＝∠BOC＝，∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝（＋）－＝，

即∠MON＝【变式训练1】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．(1)如图，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数是______；（直接写出答案）(2)将（1）中的条件“∠AOC＝30°”改为“∠AOC是锐角”，猜想∠DOE与∠AOC的关系，并说明理由；(3)若∠AOC是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE与∠AOC之间的数量关系．（不用写探索过程，将结论直接写在你画的图的下面）【答案】(1)60°；(2)，理由见解析(3)∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°【解析】(1)解：∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOE=30°，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD-∠COE=60°，故答案为：60°(2)解：，理由如下：∵∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-∠AOC∵OE平分∠BOC，∴∵∠COD=90°，∴(3)：如图3-1所示，当OD在∠AOB内部时，∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOE=2∠COE，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-∠COE，∴∠AOC+2∠DOE=90°+2∠COE+180°-2∠COE=270°；如图3-2所示，当OD在∠AOB外部时，同理可以求出∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD+∠COE=90°+∠COE，∴2∠DOE-∠AOC=180°+2∠COE-90°-2∠COE=90°；如图3-3所示，当OD在∠AOB外部时，同理可以求出∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°+∠COE，∴∠AOC+2∠DOE=270°-2∠COE+180°+2∠COE=450°；如图3-4所示，当OD在△AOB外部时，同理可以求出∠AOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°-∠COE，∴∠AOC-2∠DOE=90°；综上所述，∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°．【变式训练2】如图①，已知线段，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点．(1)已知，求EF的长．(2)若，求EF的长．由此你能得出EF与AB、CD之间存在怎样的数量关系？(3)类比应用①我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，OE、OF分别平分和，若∠，直接写出的度数．②由此，你猜想与、会有怎样的数量关系______．（直接写出猜想即可）【答案】(1)10；(2)10；EF=（AB+CD）；(3)①80°；②∠EOF=∠AOB+∠COD．【解析】(1)∵E，F分别是AC，BD的中点，∴EC=AC，DF=DB．∴EC+DF=AC+DB＝(AC+DB)．又∵AB=18，CD=2，∴AC+DB=AB-CD=18-2=16．∴EC+DF=(AC+DB)=8．∴EF=EC+DF+CD=8+2=10．故答案为：10．(2)∵E，F分别是AC，BD的中点，∴EC=AC，DF=DB．∴EF=EC+CD+DF=AC+DB+CD=（AC+DB）+CD=（AB-CD）+CD=（AB+CD）．又∵AB=18，CD=2，∴EF=（AB+CD）=．(3)①∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC=∠AOC，∠DOF=∠DOB．∴∠EOC+∠DOF=∠AOC+∠DOB=（∠AOC+∠DOB）．又∵∠AOB=140°，∠COD=20°，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=120°．∴∠EOC+∠DOF=60°．∴∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD=60°+20°=80°．②由（1）得：∠EOC+∠DOF=（∠AOC+∠DOB）．∵∠AOC+∠DOB=∠AOB-∠COD，∴∠EOC+∠DOF=（∠AOB-∠COD）．∴∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD=（∠AOB-∠COD）+∠COD=∠AOB+∠COD，故答案为：∠EOF=∠AOB+∠COD．【变式训练3】已知，，，分别平分，．(1)如图1，当，重合时，度；(2)若将的从图1的位置绕点顺时针旋转，旋转角，满足且．①如图2，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由；②在旋转过程中，请用等式表示与之间的数量关系，并直接写出答案．【答案】(1)；(2)①；②时，；时，【解析】(1)，重合，，，平分，平分，，，；(2)①；理由如下：平分，平分，，，，；②由①得：，，当时，如图2所示：，，，∴当时，如图3所示：，，；∴综上所述，时，；时，【变式训练4】如图甲，已知线段，，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点．(1)若，则______；(2)当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由；(3)①对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知在内部转动，OE，OF分别平分和，若，，求；②请你猜想，和会有怎样的数量关系，直接写出你的结论．【答案】(1)12；(2)不变；(3)①90°；②【解析】(1)∵E，F分别是AC，BD的中点，∴EC=AC，DF=DB．∴EC+DF=AC+DB＝(AC+DB)．又∵AB=20cm，CD=4cm，∴AC+DB=AB-CD=20-4=16（cm）．∴EC+DF=(AC+DB)=8（cm）．∴EF=EC+DF+CD=8+4=12（cm）．故答案为：12．(2)EF的长度不变．(3)①∵OE，OF分别平分和∴∠EOC=∠AOC，∠DOF=∠DOB．∴∵∴②，理由如下：∵OE，OF分别平分和，∴∠EOC=∠AOC，∠DOF=∠DOB．∴∵∴类型二、定值问题例．已知将一副三角尺（直角三角尺和）的两个顶点重合于点，，（1）如图1，将三角尺绕点逆时针方向转动，当恰好平分时，求的度数；（2）如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角尺在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【答案】（1）；（2）不变．【详解】解：（1）平分，，；

图1

图2（2）不变．平分，平分，【变式训练1】如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均小于平角）（1）当t=2时，∠MON的度数为，∠BON的度数为；∠MOC的度数为（2）当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON-60°，试求出t的值；（3）当0＜t＜6时，探究的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？【答案】（1）144°，114°，60°；（2）t的值为秒或10秒；（3）当0＜t＜时，的值不是定值；当＜t＜6时，的值是3．【详解】（1）由题意得：∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°，∠BON=∠BOD+∠DON=90°+24°=114°，∠MOC=∠BOC-∠BOM=90°-2×15°=60°，故答案为：144°，114°，60°；（2）当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s），当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s）①如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（90-12t）-60，解得t=，

②如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（12t-90）-60，解得t=10，综上，t的值为秒或10秒；（3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15t+90+12t=180，解得t=，①如图所示，当0＜t＜时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，∴（不是定值），②如图所示，当＜t＜6时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，∴=3（定值），综上所述，当0＜t＜时，的值不是定值；当＜t＜6时，的值是3．【变式训练2】已知将一副三角板（）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上．将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置．（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，_______度；如图2，若要恰好平分，则_______度；（2）如图3，当三角板摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角板在内绕点O任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．（3）当三角板从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线平分、射线平分（），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a在什么范围内时的度数是多少）．【答案】（1）60，75；（2），理由见详解；（3）①当时，；②当时，或120°，③当时，；④当时，或60°；⑤当时，【详解】解：（1）由题意得：，∴，∵恰好平分，∴，∴；故答案为60，75；（2）的度数不发生变化，理由如下：∵射线平分，射线平分，∴，∵，∴，∴，∴；（3）设旋转角度为，根据题意可得：，∵射线平分，射线平分，∴，①当时，如图所示：∴，②当时，即为平角，可分为：当点M在OB上，如图所示：∴，∴；当点M在BO的延长线时，如图所示：∴；③当时，如图所示：∴，∴，解得：，∴；④当时，则，如图所示：∴当ON平分在∠BOD的左边时，则，当ON平分在∠BOD的右边时，则；⑤当时，如图所示：∴，∴．【变式训练3】如图，两条直线AB,CD相交于点O，且，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为.两条射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒.（本题出现的角均小于平角）（1）当时，若.试求出的值；（2）当时，探究的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？【答案】（1）t的值为1秒或秒；（2）当0＜t＜时，的值是1；当＜t＜6时，不是定值．【详解】（1）当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s），当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s）①如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°，由∠AOM=3∠AON-69°，可得180-15t=3（90-12t）-69，解得t=1；②如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，由∠AOM=3∠AON-69°，可得180-15t=3（12t-90）-69，解得t=，综上，t的值为1秒或秒；（2）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15t+90+12t=180，解得t=，①如图所示，当0＜t＜时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°=，∴===1（是定值），②如图所示，当＜t＜6时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，∴==（不是定值），综上所述，当0＜t＜时，的值是1；当＜t＜6时，不是定值．类型三、求值问题例.如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）【答案】（1），5；（2），；（3）经过秒平分【解析】（1），∵，∴∵平分，，∴，∴∴，解得：秒（2）度∵，平分，∴∴，∴解得：秒（3）如图：∵，由题可设为，为，∴∵，，解得：秒答：经过秒平分．【变式训练1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD＝α（0°＜α＜90°）①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE＝21°时，转动了多少秒？【答案】（1）∠ACB＝145°；∠DCE＝40°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互补，理由见解析；（3）①能；理由见解析，α＝54°；②23秒【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°．∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠ACB＝140°，∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°．故答案为：145°，40°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互补，理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180．∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB与∠DCE互补．（3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，∴设∠ACB＝4x，∠DCE＝x，∵∠ACB+∠DCE＝180°，∴4x+x＝180°解得：x＝36°，∴α＝90°﹣36°＝54°；②设当∠DCE＝21°时，转动了t秒，∵∠BCD+∠DCE＝90°，∴3t+21＝90，t＝23°，答：当∠DCE＝21°时，转动了23秒．【变式训练2】如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，，．（本题所涉及的角都是小于180°的角）(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：①