2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章 函数的图象

§2.10函数的图象

【考试要求】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析

法)表示函数2会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与

不等式解的问题.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.利用描点法作函数图象的方法步骤:列表、描点、连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)对称变换

G“、关于X轴对称

®y=J(x)-------------1y=—f(x).

关于y轴对称0、

②产危)-------------"y=f(­x).

关于原点对称,、

③y=/U)

④y=r(4>0,且a#1)=10陵x(a>0,且aWl).

(3)翻折变换

小—々、保留X轴上方图象_“

Oy-fix)将上轴下方图象翻折上£了一四»

有。、保留)轴右侧图象，并作其切，、

②y=/W关于例对称的图象”产题.

【常用结论】

1.左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作.如

果x的系数不是1,需要把系数提出来，再进行变换.

2.函数图象自身的对称关系

(1)若函数y=Kr)的定义域为R，且有/(a+x)=/S—x),则函数y=7(x)的图象关于直线

对称.

(2)函数y=«r)的图象关于点(。，份成中心对称Q/3+无)=2。一/(a—犬)经”)=2/?—/(2a—犬).

3.两个函数图象之间的对称关系

(1)函数y=_/(x)与y=/(2a—x)的图象关于直线x=a对称.

(2)函数y=/(x)与y=2万一人2a-x)的图象关于点(“，份对称.

【思考辨析)

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

⑴函数)=|/明为偶函数.(X)

(2)函数y=/(l-x)的图象，可由y=/(—x)的图象向左平移1个单位长度得到.(X)

(3)当xe(O,+8)时，函数)，=|/(x)|与了=川动的图象相同.(X)

(4)函数y=y(x)的图象关于y轴对称即函数y=_/(x)与'=火一x)的图象关于y轴对称.(X)

【教材改编题】

1.函数)，=1一士的图象是()

cD

答案B

解析将函数＞=一5的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得到y=l

』的图象,故选B-

2.函数人x)=ln(x+l)的图象与函数gOOMr-©+d的图象的交点个数为()

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析由于函数次x)=ln(x+l)的图象是由函数y=lnx的图象向左平移1个单位长度得到的,

函数g(x)=f-4X+4=(X-2)2,故函数g(x)的对称轴为X=2,顶点坐标为(2,0),开口向上，

所以作出兀r),g(x)的图象如图所示，

故函数“V)与g(x)的图象有两个交点.

3.函数)，=/&)的图象与)，=^的图象关于y轴对称，再把)，=大尤)的图象向右平移1个单位长

度后得到函数y=g(x)的图象，则g(x)=.

答案e^+l

解析：/(x)=er,

g(x)=e"-"=e"'L

■探究核心题型

题型一作函数图象

例1作出下列各函数的图象:

⑴y=|log2(x+l)|;

(3)y=f-2园一1.

解(1)将函数y=logix的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,

即可得到函数y=|log2(x+l)|的图象，如图①所示.

(2)原函数解析式可化为y=2+—j,故函数图象可由函数的图象向右平移1个单位长度,

X1X

再向上平移2个单位长度得到，如图②所示.

j^2—2x—[^0

(3)因为y=,,'"'且函数为偶函数，先用描点法作出[0,+8)上的图象，再根

x+2x—l,x<0,

据对称性作出(-8,0)上的图象，最后得函数图象如图③所示.

思维升华函数图象的常见画法及注意事项

(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图.

(2)转化法：含有绝对值符号的，去棹绝对值符号，转化为分段函数来画.

(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则

可利用图象变换作图.

(4)画函数的图象一定要注意定义域.

跟踪训练1作出下列各函数的图象:

(l)y=x—|x—1|；(2)y=(；)&(3)y=[k>g2X—1|.

[1,xN1,

解(1)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y=_可见其图象是由两

条射线组成，如图①所示.

关于y轴的对称部分，即得的图象，如图②实线部分所示.

(3)先作出y=log”的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留x轴上方的部分，将x

轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y=|log2X-l|的图象，如图③所示.

题型二函数图象的识别

例2(1)(2023•许昌质检涵数启)一+))lnW

的图象大致为()

1L

-/1/-0]\1\\X

AB

x

1

CD

答案B

解析由解析式知，定义域为{x|x#0},

2-2t+l1+22'

火一x)—2r•ELK—2X•InMTx)，

故y-Q罗则为偶函数,排除D；

又火1)=0,•/(})=一量＜°，排除A,C.

⑵（2022.全国乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］上的大致图象，则该函数

是（）

一炉+3工

A-尸厂+1

2xcosx2sinx

C.y—D.

』+1

答案A

解析对于选项B,当x=l时，y=0,与图象不符，故排除B；对于选项D,当x=3时，y

=/in3>0,与图象不符，故排除D；对于选项C,当0<x/时，0<cosx<l,故尸笔管

〈离［"W1,与图象不符，所以排除C.故选A.

思维升华识别函数的图象的主要方法

（1）利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断.

（2）利用函数的零点、极值点等判断.

（3）利用特殊函数值判断.

A

跟踪训练2（1）（2022•吕梁模拟）函数应^）=余2詈sin的x大致图象为（）

-2-10-5

答案A

解析因为,/0=拜*，所以7U）的定义域为R,

—sinx

又式一外=方”=一穴》），所以Xx）为奇函数，图象关于原点对称，排除C选项;

因为:<1与所以0勺⑴=®-^=,sin1<|,排除B,D选项.

2+2、

1_]xW]

(2)(2023・泉州模拟)已知函数於)=则函数），=Ai-x）的图象大致为（）

10g2X,X>1,

答案B

&x~1-1YV1

解析函数3=1

IOg2X,X>\,

e-x—1,x》0,

所以y=g(x)=/U-x)=

log2(l—X),X<0,

所以当x=0时，g（0）=e°—1=0,

故选项A,C错误；

当x20时，g（x）=er—l单调递减,

故选项D错误，选项B正确.

题型三函数图象的应用

命题点1利用图象研究函数的性质

例3（多选）已知函数八、）=言，则下列结论正确的是（）

A.函数4x）的图象关于点（1,2）成中心对称

B.函数«r）在（-8,1）上单调递减

C.函数人劝的图象上至少存在两点A,B,使得直线48〃工轴

D.函数式x）的图象关于直线x=l对称

答案AB

解析因为《此二令2r二-21（x•~七1）—+2=W2+2,所以该函数图象可以由y=92的图象向右平移

X1XIX11

1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数式x）的图象关于点（1,2）成中心对称，在

（一8,I）上单调递减，A,B正确，D错误；易知函数人x）的图象是由的图象平移得到

的，所以不存在两点A,B使得直线AB〃x轴，C错误.

命题点2利用图象解不等式

例4(2023・商丘模拟)已知定义在R上的奇函数火x)在[0,+8)上的图象如图所示，则不等

式直工)>4(处的解集为()

A.(一书,0)U(小，2)

B.(-8,-2)U(2,+8)

C.(一8,—2)U(一隹0)U(V2,2)

D.(-2,一的U(0,的U(2,+8)

答案C

解析根据奇函数的图象特征，作出,/(x)在(-8,0)上的图象，如图所示,

由得(X2—2)*x)>0,

[JC2—2>0,[%2—2<0,

则h)>0或k<o,

解得x<—2或也<%<2或一也<%<0,

故不等式的解集为(-8,-2)U(一啦，0)U(V2,2).

命题点3利用图象求参数的取值范围

侬一1|,xW2,

例5已知函数/(x)=*{若关于x的方程兀r)-m=o恰有两个不同的实数解，

1―x+5,x>2,

则实数力的取值范围是()

A.(0,1)B.[0,1)

C.(l,3)U{0}D.[l,3)U{0}

答案D

解析因为关于x的方程段)一机=0恰有两个不同的实数解，所以函数y=/(x)Vy=%的图

象有两个交点，

作出函数图象，如图所示，

所以当mG[l,3)U{0}时，函数)，=")与丫=，”的图象有两个交点，所以实数〃?的取值范围是

[l,3)U{0}.

思维升华当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象

可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.

跟踪训练3(1)把函数/U)=ln|x—3的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0,+8)上

单调递增，则a的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析把函数«t)=ln|x一旬的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)=ln|x+2-a|的图象，

则函数g(x)在(a—2,+8)上单调递增,

又因为所得函数在(0,+8)上单调递增，

所以a—2W0,即aW2.

所以a的最大值为2.

⑵已知函数4x)=|x-2|+1,g(x)=fcr.若方程穴x)=g(x)有两个不相等的实数根，则实数人的

取值范围是.

答案&1)

解析先作出函数«¥)=仅一2|+1的图象，如图所示，当直线g(x)=fcr与直线AB平行时斜率

为1,当直线g(x)=fcc过点A时，斜率为3，故於)=g(x)有两个不相等的实数根时，实数左

的取值范围为(},1).

课时精练

立基础保分练

1.为了得到函数、=2厂3—1的图象，只需把函数)，=2、的图象()

A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

答案A

解析将函数y=2,的图象向右平移3个单位长度得到y=2厂3的图象，再向下平移1个单位

长度得到y=2L3—1的图象.

2.（2022•全国甲卷）函数y=（3，-3r>cosx在区间一看夕上的图象大致为（）

答案A

解析方法一(特值法)

取X—1,则y=(3—；)cos1=5cos1>0；

取x=—l,则3)cos(—1)

Q

=-2COSl<0.结合选项知选A.

方法二令y=/(x),

则—x)=(3一"-3')cos(-x)

=—(3V—3')cosx=—fix),

所以函数y=(3*—3r)cosx是奇函数，

排除B,D；

取x=l,则y=(3—g)cos1=与(\»l>0,排除C,故选A.

3.（2023•黑龙江模拟）已知某个函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是

)

1中一1|

A.於)=xB，月x)=ln|x-l|

x~2x—2

c'^)=w-lD，Dx)=x(x-1)

答案A

x—1#0,

解析对于B选项，函数火工）=而看有意义，则■解得xWO且xW1且冗22,

」中一1俨0,

故不满足，错误;

对于C选项，函数式x）=5言有意义，则|x|-1W0,解得x#±l,故不满足，错误;

I入I1

对于D选项，当xG（0,l）时，火》）=；；三］）>0,故不满足，错误.

故根据排除法得兀0=芈:」

与此图象最为符合.

4.若函数），=/（x）的图象如图所示，则函数），=-/（x+l）的图象大致为（)

答案C

解析要想由），=/"）的图象得到y=-/（x+l）的图象，需要先作出y=/（x）的图象关于x轴对

称的图象y=一4尤），然后向左平移1个单位长度得到x+1）的图象，根据上述步骤可

知C正确.

5.已知.*x）是定义在［-5,5］上的偶函数，当一5WxW0时，./U）的图象如图所示，则不等式黑

<0的解集为（）

A.(一兀，-2)U(0,2)U(jt,5]

B.(―it,-2)U(n,5]

C.[-5,-2)U(0,7t)U(7t,5]

D.[-5,-2)U(7t,5]

答案A

解析因为次x)是定义在[—5,5]上的偶函数，观察图象结合偶函数性质得

式》)>0的解集为[-5,-2)U(2,5],«r)<0的解集为(一2,2),

当xC[—5,5]时，sinx>0的解集为[-5,一兀)U(0,兀)，sinx<0的解集为(一冗，0)U(n,5],

不等式兼<。伏龙）>0,或…

等价于

[sin%<0sinx>0,

网>0,

由].八解得x£（一兀，—2）U（K,5],

lsinx<0,

」於）<0，“

由.解得x£（0,2）,

[sinJC>0,

所以不等式翟<0的解集为(一兀，一2)u(o,2)um，5],

(九2_3x_x20,

6.(多选)已知函数式x)=_二-"方程|")一1|=2—皿mdR),则下列判断正确的

〔一ex〈0,

是()

3

称

-对

A.函数/U)的图象关于直线2

B.函数1x)在区间(3,+8)上单调递增

C.当m6(1,2)时，方程有3个不同的实数根

D.当机G(—1,0)时，方程有4个不同的实数根

答案BD

解析对于选项A,7(4)=4,负-1)=1—e,

显然函数7(x)的图象不关于直线对称；

对于选项B,yu)=f—3x的图象是开口向上的抛物线，所以函数段)在区间(3,+8)上单调

递增；

作出函数的图象，如图所示，

对于选项C,当加6(1,2)时，2一机e(O,l),结合图象可知方程府)一1|=2—/n(mGR)有2个

不同的实数根；

对于选项D,当机6(—1,0)时，2—机©(2,3),结合图象可知方程仪》)一1|=2-皿%GR)有4

个不同的实数根.

7.将函数xx)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图

象，若g(x)为奇函数，则火0)+<2)=.

答案一2

解析由函数y(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)

的图象，可得g(x)=/(x+l)+l,

故人》)=飘》—1)-1,

所以.40)+人2)=g(_l)_]+g(l)-l=_g(l)+g(l)_2=_2.

x~\~1

8.(2023・衡水质检)函数危)=一1的图象与直线了=丘+1交于不同的两点(xi，yi),(必然)，

则y\+”=.

答案2

r—|—]1

解析因为段)=—所以«x)的图象关于点(0』)对称，而直线丁="+1过(0,1)点，

故两图象的交点3，n)，(x2,”)关于点(0,1)对称,所以归卫=1,即yi+”=2.

A2,/WO,

9.已知函数yu)=<i—%

——,x>0.

(1)画出函数y(x)的图象；

(2)当兀r)》2时，求实数x的取值范围.

x2,xWO,

解(1)由题得兀0='1其图象如图所示,

--1,x>0,

/0,产'

⑵由题可得|冷2对口》2,

解得xW—也或

所以实数x的取值范围为(一8,一正］U(0,1.

X2+2X,X<0,

10.已知40=、八是定义在R上的奇函数.

x।2x,x^O

(1)请画出人外的大致图象并在图象上标注零点；

(2)已知若函数人x)在区间［-1,。-2］上单调递增，求实数a的取值范围;

(3)若函数9(x)=«r)—el求夕⑴的零点个数.

解(1)根据题意，列表如下，

X-2-1012

危)0-1010

式x)的大致图象如图所示，其中有A,O,B三个零点、,

(2)由(1)的函数图象可知，要使兀0在［-1,。-2］上单调递增，则一l<a-2Wl,即l<aW3,

故a的取值范围为l<aW3.

(3)9(》)=④0—e''的零点即为式x)与y=e'图象交点的横坐标，

又y=e”在R上单调递增，值域为(0,+°°),

结合(1)的图象，易知火幻与了=厘的图象在(一8,0)有一个交点，即夕(x)只有一个零点.

立综合提升练

11.(多选)函数次》)=器*的图象如图所示，则()

C.c>0D.abc<0

答案AB

解析函数的定义域为{x|xW-c},

由图可知一c>0,则c<0,

b

由图可知式0）=F<0，所以b<o,

由於）=0,得<zx+b=0,x=—~,

由图可知一1>0,得与<0，所以。>0,

综上，<?>0,b<0,c<0.

12.（2023・济南模拟）若平面直角坐标系内A,8两点满足：（1）点A,B都在的图象上；

（2）点4,B关于原点对称，则对称点对（4,8）是函数火x）的一个“和谐点对”，（4,B）与（B,

X2+2X,X<0,

A）可看作一个“和谐点对”.已知函数Xx）={2、则火x）的“和谐点对”有（）

/，x—0,

A.1个B.2个

C.3个D.4个

答案B

解析作出函数y=/+2x（x<0）的图象关于原点对称的图象（如图中的虚线部分），着它与函数

丫=看2。20）的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2,

即负㈤的“和谐点对”有2个.

q拓展冲刺练

13.（2023•贵阳模拟）设函数段）的定义域为R,满足式x+l