2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习 高效演练分层突破

［基础题组练］

1.(多选)下列4个命题错误的是()

A.对立事件一定是互斥事件

B.若A,8为两个事件，则P(4+B)=P(A)+P(8)

C.若事件A,B,C彼此互斥，则P(A)+P(8)+P(C)=1

D.若事件A,B满足尸(4)+P(B)=l,则A,8是对立事件

解析：选BCD.在A中，对立事件一定是互斥事件，故A正确；在B中，若4,B为

两个互斥事件，则P(A+B)=尸(A)+P(B),若A,8不是互斥事件，则P(A+8)=尸(A)+P(B)

-P(A8),故B错误；在C中，若事件4,B,C彼此互斥，则P(4)+P(B)+P(C)W1,故C

错误；在D中，若事件A,8满足P(A)+P(B)=1,则A,B有可能不是对立事件.

2.(2019・高考全国卷川)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文

学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机

调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼

梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅

读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()

A.0.5B.0.6

C.0.7D.0.8

解析：选C.根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦思图表示如下:

所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为佐=0.7.

3.现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不

放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束

的概率为（）

11

-

A.B.5

10

c3-2

C-WD"5

解析：选C.将5张奖票不放回地依次取出共有A§=120种不同的取法，若活动恰好在

第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有3A衿屿］

=36种取法，所以2=卷=需故选C.

4.（多选）某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随

机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车,

若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直

接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为4，P2,则（）

A.P,•P=lB,P=P=［

C.P,+P=|D,Pi>P2

解析：选ACD.三辆车的出车顺序可能为123,132,213,231,312,321,共6种.方

31

案一坐到“3号”车可能为132,213,231,共3种，所以P|=%=］；方案二坐到“3号”

2115

车可能为312,321,共2种，所以£=1§，所以尸/尸2,Px+P=.,故选

ACD.

2

5.（2020•武汉市调研测试）大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙

3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概

率为（）

A,击B・；

C.D.J

解析：选C.依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分

配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有C3Ag=36（种）分配方法，若小明必分配

至“甲村小学，有CgA3+QA3=12（种）分配方法，根据古典概型的概率计算公式得所求的概率

121

为文=不，故选C.

3。3

6.（2019♦高考全国卷H）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列

车中，有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率

为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.

解析：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为

10X0.97+20X0.98+10XQ,99_

10+20+10=098.

答案：0.98

7.连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.“恰好3枚正面都朝

上”的概率是;“至少有2枚反面朝上”的概率是.

解析：列举基本事件如下：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），

（正，反,反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共8个，“恰好3枚正面都朝

上”包含1个基本事件，概率“至少有2枚反面朝上”包含4个基本事件，概率P,

=一4^一1

82,

a11

答案：82

8.已知lplW3,0IW3,当p,q《Z,则方程m+2px—42+1=0有两个相异实数根的概

率是.

3

解析：由方程k+2px一夕2+1=0有两个相异实数根，可得4=(2p)2—4(一42+1)>0,

即p2+q2>1.

当p,q£Z时，设点Af(p,q),如图，直线p=-3,—2,—1,0,1,2,3和直线q

=-3,-2,-1,0,1,2,3的交点，即为点M,共有49个，其中在圆上和圆内的点共

有5个(图中黑点).当点M(p,q)落在圆〃2+42=1外时，方程X2+2/ZT—0+1=0有两个相

49—544

异实数根，所以方程4+2/汽一/+1=0有两个相异实数根的概率尸=^一=而.

44

答案:49

9.某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔

付结果统计如下：

赔付金额(元)01000200030004000

车辆数(辆)500130100150120

(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主

是新司机的占20%,估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.

解：(1)设4表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，

以频率估计概率得

150120

尸(4)=丽=。/5,^)-7000-0-12.

由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和

4000元，所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.

(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新

司机的有0.1X1000=100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2X120

4

=24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为而=0.24,由频率估计

概率得尸(0=0.24.

10.在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗

位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.

解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件居，那么尸(三)=侖高即

甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是会.

(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E,那么「(&=去7=白，所以甲、

IgA?U

—9

乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)=1-尸(E)=而

(3)有两人同时参加A岗位服务的概率所以仅有一人参加A岗位服务的

2C双4,

,*3

概率尸1=［一尸2=不

［综合题组练］

1.已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、

乙、丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为()

1I

A.2B.

11

-D-

46

解析：选A.甲、乙、丙各有一张自己的身份证，

现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，

基本事件总数〃=Aj=6,

恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数巾=C‘C|C|=3,

所以恰有一人取到自己身份证的槪率为p=^=7=］.故选A.

2.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2X2X3的长方体框架，一个建筑

工人欲从A处沿脚手架攀登至8处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为()

5

A.；2

B.

7

C.14

D.

7

解析：选B.根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走

3次向上，2次向右，2次向前，共7次，所以最近的行走路线共有A:j=5040（种）.因为不

能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列为A+接

下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空隙中，5个位置排3个元素，也就是Ag,

则最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有A?Ag=l440（种），所以其最近的行走路线

14402

中不连续向上攀登的概率2=謡=今故选B.

3.连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i次得到的向上一面的点数为叩若存在正整数七

使％+&+…+为=6,则称人为幸运数字，则幸运数字为3的概率是.

解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子3次，所含基本事件总数”=6X6X6,要使%+4

+%=6,则4,a2,%可取1，2,3或1,1,4或2,2,2三种情况，其所含的基本事件

个数w=A^+C^+1=10.

故幸运数字为3的概率为一==爲

O-丿XO，XOlUo

口杀.108

4.如图的三行三列的方阵中有九个数%（i=l,2,3；丿=1,2,3）,从中任取三个数，

则至少有两个数位于同行或同列的概率为.

a\\a\2〃I3

a2\a22a23

6

9X8X7

解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有CJ=J^Q=84种，取出的三个数分别

位于不同的行与列的取法共有C「C「C|=6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率

u.613

为|-84=14-

答案：H13

5.某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查.这1000名购物者2017年

网上购物金额(单位：万元)均在区间［0.3,0.9］内，样本分组为：［0.3,0.4),［0.4,0.5),［0.5,

0.6),[0.6,0.7),[0.7,0.8),[0.8,0.9],购物金额的频率分布直方图如下:

电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下:

购物金额分组[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9]

发放金额50100150200

⑴力之这1000名购物？•获得优惠券金二额的平均数；

(2)以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠

券金额不少于150元的概率.

解：(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：

X0.34V0.50.54V0.60.64V0.80.8WxW0.9

y50100150200

频率0.40.30.280.02

这1)00名购。勿者获得优惠券金额的平均数为

X400+100X300+150X280+200X20)=96.

(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知,

产。=150)=P(0.6WxV0.8)=0.28,

7

P(y=200)=P(0.8WxW0.9)=0.02,

从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为「。，2150)=2&=150)+尸。，=200)=0.28

+0.02=0.3.

6.(2020•太原一模)某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1kg的包裹收费

10元；质量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每1kg(不足1kg,

按1kg计算)需再收5元.

该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：

包裹件数范围0-100101-200201-300301〜400401-500

包裹件数(近似处理)50150250350450

天数6630126

(1)某人打算将40.3kg),8(1.8kg),C(1.5kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人

支付的快递费不超过30,无的概率；

(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，

剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有

工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？

解：(1)由题意，寄出方式有以下三种可能：

第一个包裹第二个包裹甲支付的

情况

礼物质量(kg)快递费(元)礼物质量(kg)快递费(元)总快递费

140.310B,C3.32535

2B1.815A,C1.81530

3C1.5154,B2.12035

所有3种可能中，有1手中可能快递费未超过30元,，根据古3a概型概率计算公式，所求

概率为g.

(2)由题目中的天数得出频率，如下:

包裹件数范围0~100101〜200201〜300301—400401—500

包裹件数(近似处理)5