2023-2024学年福建省福州高二年级上册期末考试数学试题（含解析）

2023-2024学年福建省福州高二上册期末考试数学试题

一、单选题

1.已知空间四面体0/8。中，对空间内任一点满足丽=!况+）丽+欢下列条件

46

中能确定点收,，。共面的是（）

1157

A.A=-B.A=-C.4=—D.4=—

231212

【正确答案】D

【分析】利用空间中四点共面定理求解即可.

117

【详解】根据空间中四点共面可知:+七+几=1,解得4二七.

故选：D

2.以椭圆《+或=1的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（）

259

A.y2=16xB.y2=-8xC.y2=-16xD.x2=—16j^

【正确答案】C

【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可.

【详解】由椭圆——+—=1可得c=J25—9=4,

259

所以左焦点坐标为（-4,0）,

所以以（-4,0）为焦点的抛物线的标准方程为/=T6x,

故选：C.

3.2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4

银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑

雪训练中滑行的路程/（单位：m）与时间，（单位：s）之间的关系为/（/）=2/+亨，则当

f=3s时，该运动员的滑雪速度为（）

A.7.5m/sB.13.5m/sC.16.5m/sD.22.5m/s

【正确答案】B

T.

【分析】根据导数的实际意义，对=求导再代入f=3s求解即可.

【详解】由题意，/'（/）=4，+，故当f=3s时，该运动员的滑雪速度为/'（3）=4x3+・=13.5.

故选：B

4.已知双曲崂¥=叱。力>。)的离心率为班，财该双曲线的渐近线方程为()

A.用x±y=QB.x土用y=0C.3x±y=0D.x±3y=0

【正确答案】A

【分析】根据离心率求出即可求渐近线方程.

a

【详解】由双曲线的离心率为2五，得6=

12?r

所以一=曲,又双曲线5-5=1的渐近线方程为y=±±x,所以渐近线方程为y=±V7x,

aaba

即正x±y=0.

故选:A.

5.数列｛《)满足108必+1=1083《,+|("€1<),且4+%+%=9,则bgJ%+"5+%)=()

A.4B.-C.—2D.—

42

【正确答案】C

【分析】根据对数运算求得的关系式，判断是等比数列，结合等差数列的性质求

得正确答案.

【详解】由于logs%+1=。”+1("eN*),

所以logj(3a„)=log3a„+,,所以an+l=3an,an>0,

所以数列｛对｝是公比4=3的等比数列.

由于q+。3+牝=9,所以4+牝+%=(4+/+a5>d=9x3)=81,

所以1阳(%+《+%)=唾9T92=-2.

9

故选：C

6.若直线，：x+/«(y-4)=0与曲线x=j4-y有两个交点,则实数机的取值范围是()

A.0<m<B.0<m<C.0<m<邪)D.0<m<石

33

【正确答案】B

【分析】化简曲线方程，表示圆心为（0,0）,半径为2的圆在y轴以及右侧的部分，由直线

与曲线的交点个数可以确定〃?的取值范围.

【详解】、=产了表示的曲线是圆心为（°，°），半径为2的圆在y轴以及右侧的部分，如

图所示：

直线/:》+加3-4）=0必过定点（0,4）,

当直线/与圆相切时，直线和圆恰有一个交点,

即¥41=2,结合直线与半圆的相切可得加=立,

V1+/M3

当直/的斜率不存在时，即加=0时，直线和曲线恰有两个交点,

所以要使直线和曲线有两个交点，

则0<w<.

3

故选：B.

7.在数列｛《,｝中，a,=l,M（«+l）（a„+l-a„）=l（MeN*）,则电022=（）

4043202140402020

A.----B.----C.----D.----

2022202220212021

【正确答案】A

【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答.

111

【详解】因为+=l则%…=许=7T

当〃22时,

=_」+1+]=汩_,显然q=l满足上式，即有%=二二1

nnn

4043

所以“2022=

2022

故选：A

8.己知。=]^为，b=2疵,c=咚-(其中e为自然常数)，则a、b、c的大小关系为()

A.a<c<bB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【正确答案】D

4

泌2e1

【分析】将。也c变形，Wa=—,力=了，c=2,构造函数/a)=《a>o),利用导

In21—X

23

数得/(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+°0)上为增函数，根据单调性可得/(g)>"In2),

4

/(In4)>J\-),再根据/(In2)=/(In4)可得答案.

设〃x)=2(x>0),则/，(刈:<"[〜=e'(x,-l),

XXX

令ra)>o,得令ra)<o,得o<x<i,

所以/(X)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，

11,e2

因为0<X<ln2<l,所以/H)>/(ln2),即b=f>J=°,

22±In2

2

224

因为8〉e2,所以2>盛，所以姑2〉§,所以

所以/(In4)>/($,即/(In4)>/($=c,

ta442

因为f(ln4)=e=----=--~=a>所以a>c,

In42In2In2

综上所述.6>a>c

故选：D

二、多选题

9.下列结论正确的是()

A.若一(-2,3),3(3,-2),C(l,m)三点共线,则冽的值为0；

B.已知两点4-3,4),8(3,2),过点尸(1,0)的直线/与线段ZB有公共点，则直线/的斜率左的

取值范围为-IWkWl;

C.圆/+/=4上有且仅有3个点到直线/«-了+8=0的距离都等于1；

D.与圆(X-2)2+/=2相切，且在x轴、＞轴上的截距相等的直线有三条.

【正确答案】ACD

【分析】根据三点共线、直线与线段有公共点、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析,

从而确定正确答案.

【详解】A选项，存=(5,-5),衣=(3,加-3),

由于4尻。三点共线，所以彳共线，

所以5("［-3)=-5x3,〃?=0,A选项正确.

B选项，kAP=-\,kBP=\,结合图象可知，直线/的斜率左的取值范围为(-8,-1］口［1,”)，

所以B选项错误.

V

C选项，圆/+/=4的圆心为(0,0),半径为2,

&1

圆心到直线/的距离为所以圆上有且仅有3个点到直线/的距离等于1,

C选项正确.

D选项，当直线过原点时，设直线方程为夕=丘，丘-y=0,

圆心(2,0)到直线h-y=0的距离等于半径后,

即卅¥=&,解得左=±1,直线方程为^=》或了=一工.

J1+F

当直线不过原点时，设直线方程为三+上=l,x+y-。=0（。工0）,

aa

圆心（2,0）到直线x+y-a=0的距离等于半径近，

即呼应-4=2,解得。=4或。=0（舍去）.

直线方程为x+y-4=0,

综上所述，与圆（X-2）2+J?=2相切，且在x轴、＞轴上的截距相等的直线有三条，D选项正

确.

故选：ACD

10.已知尸/,B分别是椭圆C：片+以=1的左，右焦点，尸为椭圆C上异于长轴端点的动

95

点，则下列结论正确的是（）

A.牛尸的周长为10B.咫尸面积的最大值为2遥

C.IP用的最小值为1D.椭圆C的焦距为6

【正确答案】AB

【分析】根据椭圆的方程求出"c,再结合椭圆定义与椭圆的几何性质即可分别判断正误

求解.

【详解】•.•椭圆C方程为：工+亡=1,

95

a=3,b=V5,c=2

.・・△尸耳玛的周长为|正£|+|阴1+1耳活|=2〃+2c=10,・・・A正确;

.•.△巴”2面积的最大值为12年=2右，此时P位于短轴的端点，正确；

•.•P在椭圆的左顶点时，的最小值为。一。=1,又P为椭圆C上异于长轴端点的动点，

••.C错误：

•••椭圆C的焦距为2c=4,...D错误.

故选：AB.

11.已知数列｛《,｝满足《=；，%+产券则下列结论正确的是（）

A.为等比数列

la„

B.｛%｝的通项公式为

C.｛《,｝为递减数列

D.」的前〃项和7；,=2〃+1-2-"

【正确答案】AB

【分析】由。向=产］可推得一L-2=；（L-2）,从而可判断ABC,由分组求和可判断

2。,,+1«„+,2a„

D.

【详解】因为。向=言］（〃eN*）,由题意显然对=0必川二0,

-1\+2a„11,1c1,10

变形得——=----=TX—+I,所以-----2=-（----2）,

a“+i2a,2anall+l2a„

又因为'-2=1x0,

所以|工-2|是以1为首项，；为公比的等比数列，A正确；

1与J2

］\1_N

因为丁一2=弓产，所以B正确;

因为（；）"-'递减，所以“"=2+（1）一递增，即｛心｝为递增数列，C错误;

因为，-2=（；严，所以，=（1尸+2,

2an2

所以乙=（1+；+；+…+^zr）+2〃=2-^^+2N,所以D错误.

故选：AB.

12.在长方体/BCD-44G。中，44［=2/8=28C=2,点E/满足/尸=/44］（0<几<1）,

酝.下列结论正确的有（）

A.若直线BE与RF异面,则

B.若4E1BF,则力="

C.直线ZE与平面48GA所成角正弦值为噜

D.若直线/E平面B叫则

【正确答案】ACD

【分析】建立空间坐标系，用空间向量逐项计算.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：

尸(1,0,22),5E=(-1,0,1),印=(1,0,22-2)

^=(-1,1,1),BF=(0,-1,22),西=(-1,-1,2)

1n1_n1

对于A：若直线BE与A尸异面，贝则故A正确;

—112

对于B：^AE1BF,:.AEBF=O,A(-1,1,1)-(0,-1,22)=0,

故B错误;

对于C：荏=(0,1,0),取=(1,0,-2),设平面/8CQ的法向量为k=(玉,M，zJ

弘=0

即取万=(2,0,1)

XI-2z,=0

直线AE与平面Z8GA所成角0满足

z—AE-nV15

sine=|cos〈NE,〃〉|=7=7—=---^-—7=--=—r-故C正确;

陲何V3xV515

对于D：设平面瓦町的法向量加=2,8,zj

取加=(2—22,2丸,1)

若直线ZE平面B产A，则五.玩=24-2+24+1=0

故D正确;

故选：ACD

三、填空题

13.已知/(x)=x(x+lnx),则/(x)在x=l处的切线方程是.

【正确答案】y=3x-2

【分析】根据导数求出/(x)在x=l处的切线斜率，用点斜式求出切线方程.

【详解】已知当x=l时/⑴=1,

由/'(x)=(x+lnx)+x(l+B),得八1)=3

根据点斜式可得：^-l=3(x-l)=>j=3x-2

故答案为：y=3x-2

14.已知椭圆从二+己=1的右焦点尸，尸是椭圆E上的一个动点，。点坐标是(1,3),则

167

IPQI+IP用的最大值是.

【正确答案】13

【分析】设椭圆左焦点尸’(-3,0),根据椭圆的定义将|P0|+|产可转化为

\PQ\+\PF\=\PQ\+7a-^F'\,结合图形的几何性质,即可求得答案.

【详解】由从《+片=1可知。=4,6=C=J16-7=3

167

设椭圆左焦点F(-3,0),则|P0|+|P刊=户。|+2a-^F'\<8+像］

当且仅当尸，Q,广共线时且当P在QF'的延长线上P时等号成立.

：\PQ\+\PF\的最大值为13,

故答案为.13

15.已知数列｛为｝的各项均为正数，%=2,《“『-qAT-Zq”。，则数歹I卜

.(/+i+l)(a“+l)

前10项的和为.

【正确答案】黑

【分析】运用因式分解法，结合等比数列的定义、裂项相消法进行求解即可.

【详解】由-anan+i-2a；=0n（。,用-2《,）（《用+?）=0=>a„+l=2a,,,或an+x=-an,

当%+1=-。“时，即乎=7,所以数列｛对｝是以T为公比的等比数列，这不符合数列｛4｝的

各项均为正数；

当“N=勿“时，即誓=2,所以数列｛%｝是以2为公比的等比数列，又q=2,

所以a“=2x2"T=2",

(%+1)(4+1)-(2"”+1)(2"+1)-2"+12"+|+1

所以，前10项的和为

(勺+-1)

—1--1---+1-----1------+•••+---1------1--=—1—1---6-8-2-

2*+122+122+123+12,0+12,1+1320492049

，/682

故丽

16.过双曲线［-《=I(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)作圆工2+y=屋的切线，切点为E,

延长FE交抛物线y=4cx于点P,。为坐标原点，若OE=^[OF+OP）,则双曲线的离心率

为.

【正确答案】叵口

【分析】由向量的运算法则知E是尸尸中点，由此得10Pl=|。9|=~抛物线的焦点与双曲线

的右焦点重合，因此利用中位线性得|PG|=2"，从而由抛物线的可表示出P的点横坐标，从

而得纵坐标，作PHLx轴，垂足为“，在△（）尸，中由勾股定理得出a，c■的方程，变形后可

求得离心率e.

—1—►-►

【详解】如图，双曲线的右焦点G也是抛物线的焦点，OE=3（OF+OP）,则E是户户中点,

又。是FG中点,所以OE//PG,|PG|=2|。@=2a,

设尸(x,y),

过P作抛物线的准线的垂线PA/,〃是垂足，则1PMi=x+c=|PG|=2a,x=2a-c,

P在抛物线上，所以/=4xc=4x(2a-c),

E是切点，OELFP,所以|OP|=|OP|=c,

作/7/_Lx轴，垂足为H,

由伊川2+|。"「=|OP「得(2a-c)2+4c(2a-c)=c2,整理得4c?_4ac_4/=0,

所以/-e-l=O,e=±叵(负值舍去).

2

四、解答题

17.设等差数列｛%｝的各项均为正数，其前〃项和为S“，4S“=a,4M+l(〃eN)

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵设半，求数列也｝的前10项和，其中[可表示不超过x的最大整数，如[。9]=0,

[Z6]=2.

【正确答案】⑴。,,=2〃-1

(2)16

【分析】（1）根据对,s”的关系求出数列的首项公差即可求解；（2）根据定义分别写出数列抄“}

的前10项，求和即可.

【详解】（1）设等差数列公差为d,

因为4s,=《4+|+1(“€N"),所以当“22时，4s-=%%+1,

所以4S,-4S,i=%a”+i+l-%Ta”-l，所以4%=-%%

因为。“>0,所以a“M-a,T=2d=4,所以4=2,

令〃=1得4"|=aia2+1=《(％+2)+1整理得4；—2%+1=0解得q=1,

所以。”=1+2(力-1)=2/-1.

,.2n—1

(2)由(1)得“="，

~2n-l

所以a=三一的前10项和等于

「3］「5］「7］「9］「11］「13］「15］「17］「19一

一十一+一+―+—+―+―+—+—+—

5555555555

=0+0+1+1+1+2+2+3+3+3=16.

18.矩形的两条对角线相交于点收(2,0),边所在直线的方程为x-3y-6=0,点

丁(-1,1)在4。边所在直线上.

\

O二^^8左

Ar

（1）求力。边所在直线的方程；

（2）求矩形ABCD外接圆的方程；

（3）若点P为矩形ABCD外接圆上一动点，求点r（-l,l）与点P距离的最小值.

【正确答案】（l）3x+y+2=0

⑵（X-2）?+V=8

⑶厢-2a

【分析】（1）根据直线关系，建立斜率方程，求得对应斜率，利用点斜式公式，可得答案;

（2）根据矩形外接圆的性质，利用直线求交点，求得圆的半径和圆心，可得答案；

（3）先明确点T与圆的位置关系，利用该点与圆心的距离与半径，可得答案.

【详解】（1）力£＞边所在直线与边所在直线垂直，所以=因为边所在直

线的方程为x-3y-6=0,即，所以％=-3,又因为点在/。边所在直线上,

所以/。边所在直线的方程为：y-l=-3（x+l）,化简为：3x+y+2=0

3x+y+2=0x=0

（2）/8边所在直线与边所在直线相交于点4联立得:..3"6=。’解得:

)=一2

即4（0,-2）,所以矩形Z88外接圆的半径r=|M4|="^=20,所以矩形外接圆

的方程为：（X-2『+/=8

（3）因为|7"|=加/=201力0|＞「，点7'在圆外,所以|"＞|最小值为|7的一=而_20

19.新冠肺炎疫情期间，某企业生产的口罩能全部售出，每月生产x万件（每件5个口罩）

17,八

-5r+4x-5,0<无<7,

的利润函数为P（x）~（单位：万元）.（注：每问结果精确到小数点

e3

12—Inx---,x27

x

后两位.参考数据e?=7.39，5=20.09）

（1）当每月生产5万件口罩时，利润约为多少万元？

（2）当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？

【正确答案】（1）6.67万元

（2）20.09万件

【分析】（1）直接利用函数的关系式代值计算即可.

（2）利用函数的导数，求最值，然后根据分段函数，比较得最大值.

【详解】（1）当x=5时,p（5）=-]1x52+4x5-5=T70“6.67,故当每月生产5万件口罩时，利

润约为6.67万元

——x*,+4x-5,0<x<7,

(2)因为利润函数为p(x)=<

3

12-lnx---e--,x>7

2

故当0<x<7,p(x)=-1x+4x-5=-;(x-6『+7，此时当x=6,p(x)max=7.

当xN7时,p(x)=12-lnY-e,/(》)=-：+捺=^^,当74x4e3,"(x)>0,此时p(x)单

调递增，当x>e3,"(x)<0,此时p(x)单调递减,

3

故当x=5=20.09时，p(x)1rax=!2-lne--^-=12-3-l=8

e

综上,当」=20.09时,所获月利润最大.

20.如图所示，正方形/BCD所在平面与梯形所在平面垂直，AN//BM,

AN=AB=BC=2,8M=4,CN=26

(1)证明：8Ml平面为BCD；

(2)在线段。0(不含端点)上是否存在一点E,使得二面角E-BN-M的余弦值为立.若存

在，求出的C三E值；若不存在，请说明理由.

EM

【正确答案】(1)见解析

(2)存在，需=；

【分析】(1)由面面垂直的性质可得再得出即可证明；

(2)设酝=2丽，求出平面8EN和平面的法向量，利用向量关系建立方程求出4即

可得出.

【详解】(1)证明：正方形中，3cl48,

•••ABCD15pffiABMN,平面平面=,5Cu平面/BCD,

BC1ABMN,又BMu平面ABMN,

SC1BM,且BC_L8M,又BC=2,CM=2百，

BN=^CN2-BC2=2>/2>又,：AB=AN=2,BN2=AB2+AN2,

：.AN1AB,又,：AN//BM,BM1AB,

又8Cn5/=8,84BCU平面ABCD,

BM1平面/8C。；

（2）解：如图，以8为坐标原点，所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则8（0,0,0）,力（2,0,0）,C（0,0,2）,0（2,0,2）,N（2,2,0）,M（0,4,0）,

设点E（a,6,c）,CE=2CA7（O<2<1）,（a,6,c-2）=2（0,4,-2）,

a=0

:.<b=4A,.-.£（0,4/1,2-22）,

c=2-2A

.•.丽=（2,2,0）,而=（0,4九2-22）,

设平面BEN的法向量为m=（x,y,z）,

BN-m=2x+2y=0

丽•沅=4而+（2-22”=0

令x=l,，y=-l,z=W，r.^=

1—/t

显然，平面斜W的法向量为前=（0,0,2）,

即新「5+4屋去小财2后卜行际

即33+22—1=0，解得2或-1（舍），

所以存在一点E,且左CF■=，1

EM2

D

N

21.已知椭圆C：，+/=l(a>6>0)的离心率为乎，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为

半径的圆与直线x-)，+2=0相切.

(1)求椭圆C的方程：

(2)设/(-2,0),过点A(l,0)作与x轴不重合的直线/交椭圆C于M,N两点，连接4〃，AN

分别交直线x=3于P,。两点，若直线PR、0R的斜率分别为匕、的，试问：尢•内是否为定

值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

【正确答案】⑴工+广=1

42

(2)是定值，定值-言25

【分析】(1)根据离心率和点到直线距离公式即可得解；

(2)直线/的方程为》="9+1,代入椭圆方程根据三点共线表示出尸点坐标，同理表示

出。点坐标，算出斜率即可求解.

Cy/2

e=—=—

“2a=2

【详解】(1)由题意得11°二0+?,解得6

V12+12

a2=b2+c2修二五

故椭圆C的方程为《+广=1；

42

(2)设直线/的方程为》=叼+1,〃(司,凶)，NG”8),

x=my+1

由，x?y2得(〃尸+24+2畋­3=0,

42

-2w—3

•必十%=，必必二2^'

♦加+2m+2

由4"、尸三点共线可知③二;")=*_(-2)，

.V-5%

••yp--二

X1+2

同理可得：及=七7

x2+2

故”色=者・含=；%用=15-5一

4石+2%+2

25弘力25yy

'',........一___,.....t..2'

4（/〃必+3）（即2+3）4〃/必8+3加（必+必）+9

—3

25