2021届高三数学（文理通用）一轮复习题型训练：对数函数（五）（含解析）

《对数函数》（五）

考查内容：主要涉及对数函数值域（最值）、对数函数的图像

选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.函数y=lnx,xe（l,e3]的值域是（)

A.(0,+co)B.(0,3]C.(-0),3]D.[3,+<»)

2.函数/（%）=1幅（2*+9）的值域为（）

A.[2,+CO)B.(2,+GO)C.(3,+8)D.[3,+00)

3.函数yT°gi（%2—6x+17）的值域是（）

2

A.RB.(—8,-3]C.[8,-H»)D.[3,+a))

4.函数/（x）=log2（3工+1）的值域为（)

A.(0,+oo)B.[0,+oo)C.(l,+oo)D.[1,+oo)

21rlr—1

5.函数y=——的值域为().

lnx+1

A.{引0<,<2}B.{y|y>0,y/2}C.{y"2}D.{y\y>2

6.函数，（力=1082亍1084（4必）的最小值为（）

93

A.——B.-2C.——D.0

42

7.已知函数/（x）=lg（奴？+x+a）值域为R,则实数。的取值范围是（）

/11、11

A.(——,-)B.r

2222

C.[0,1]/1、l、

D.（-0o,一寸口r与什00）

8.函数/（x）=/Qg〃（尤2—ax+2）在区间（1,+oo）上恒为正值，则实数。的取值范

围（）

A.（1,2）B.（1,2]C.（0,1）0（1,2）D.„

9.在同一直角坐标系中，函数＞=优+6,y=log“（x+b）（。＞0且awl）的图

象可能是（）

10.函数/（x）=loga（2x—3）—4（a>o且awl）的图象恒过定点（）

A.（1,0）B.（1,M）C.（2,0）D.（2,-4）

11.图中曲线分别表示y=log“x,y=log/,y=logcX,y=log/X的图象，则

a,b,c,d的关系是（）.

fi,

J“

A.0<a<b<l<d<cB.0<b<a<l<c<d

C.0<d<c<l<a<bD.0<c<d<l<a<b

12.方程sinx=lgx的实数根的个数是（）

A.1B.2C.3D.无穷多

二.填空题

13.若函数/（%）=k）g,（九+2）—2（其中〃>0且awl）,则/（x）的图像恒过定点

14.函数y=的值域为.

15.己知函数/（%）=1。82（⑪2+%+幻的值域为凡则实数。的取值范围是

3-x,x<2

16.已知a>0且awl,若函数/（尤）=〈"的值域为口,内），则。的取值

logfl^,x>2

范围是一

三.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知函数/（X）=log"（1-力+log”（x+3）（O<a<l）.

（1）求函数〃X）的定义域;

(2)求函数/(x)的零点；

(3)若函数/(%)的最小值为T,求。的值.

2

18.已知函数/(%)=log

1-alogix+2,XG8

2)2r-

⑴若a=l,求函数/(X)的值域;

(2)若关于x的方程/("+a=0有解，求实数。的取值范围.

19.已知函数/(x)=(log2x-2)j^log4x+g)•

(1)当xe［l,4］时，求该函数的值域；

(2)若不等式/(x)</〃log4X对于xe［4,16］恒成立，求实数加的取值范围.

20.已知1x)是定义在［—4,4］上的奇函数，当尤6(0,4］时，函数的解析式为

/(x)=log2x+log4x+a(aeR),且/(4)=2/(-2).

⑴试求a的值；

(2)求犬x)在［-4,4］上的解析式；

(3)求犬x)在［-4,0)上的最值(最大值和最小值).

21.已知累函数〃％)=/汴+，”+3(%62)是奇函数，且/⑴</(2).

(1)求冽的值，并确定“X)的解析式；

(2)求？=log；/(x)+log/2/(切,“J)21的值域.

22.已知函数/(x)=a——--是定义域为R的奇函数.

T+1

(1)求实数a的值并判断函数/'(x)的单调性；

(2)当xe[3,9]时，不等式/(logs?x)+“2-根logs%)20恒成立，求实数加的取

值范围.

《对数函数》(五)解析

1.【解析】由于对数函数y=lnx在其定义域上是增函数，当xe(l,e3]时，

lnl<lnx<lne3>即0<lnxW3,因此，函数y=lnx,xe(l,e1的值域是(0,3].

故选：B.

2.【解析】u(x)=2*+9〉9,则函数〃x)=log3(2x+9)=log3”>log39=2,

所以/(%)值域为(2,十》),故选B

3.【解析】炉―6x+17=(x—3y+8>0恒成立，

二函数y=logi(d-6%+17)的定义域为尺

2

设。=炉_6%+17=(x-3)2+8>8

由复合函数的单调性可知函数y=i°gi(二一6%+17)在定义域R上先增后减，函数取

2

到最大值即：=log,(%2-6x+17)<log]8=-3

22

函数的值域为(-8,-3],故选3

4.【解析】3*>0，;3+1>1，，log2(3"+l)>0,

函数的值域为(0,+s).故选：A

5.【解析】函数的定义域为+8：

..2Inx—12t—13,

令，=lnx,贝Uy=-；--------=-------=2-------,其中，。一1,

Inx+1%+1。+1

故y=2-5的值域为S，2),(2,y),

故。=lnx+]的值域为(T22)_(2,+8).故选：C.

6.【解析】由题意知/(九)的定义域为(0,+8).

22

所以,/(x)=log21-log4(4x)=(log2x-log24).(1+log4x),

/(x)=(-2+logx)(l+logx)=(logx)2-log2〉_2

22224~~4

故选：A.

7.【解析】当a=0时，f(x)=lgx,显然值域为R,满足题意;

当aW0时，为使函数/(x)=lg(ax2+x+a)值域为R,

只需y=以2+x+a取尽大于0的所有实数，

a>0I1

因此只需《.，“，C，解得：0<aW：，综上，OWaW；.故选：C.

A=l-4a->022

8.【解析】•.•函数/(xhlogE*上恒为正值，

当0<a<l时，［og，s+2)>0=/ogj,0<%2一公+2<1在区间(1,+co)上恒成

立，此不等式显然不恒成立；

当a>l时，iog，s+2)>o=/og/，/一依+2>i在区间(l,+oo)上恒成立，

1/、f。>1

即a<x+—在区间(l,+oo)上恒成立，<<2，解得l<aW2.故选：B.

9.【解析】因为y=y=logfl(x+Z?)

对于B,两函数单调性不一致；

对于C,函数y=ax+b中6<o,函数y=log«(x+，)中〃>0；

对于D,函数丁=优+6中/?>0,函数y=k»ga(x+5)中6<。.故选：A

10.【解析】令2x-3=l得x=2,.."(2)=logJ-4=-4,

故/(%)过点(2,—4),故选D.

11.【解析】如题目图所示，由于在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象越向x

轴靠近，所以0<c<d<l<a<〃.故选D.

12.【解析】在同一直角坐标系中作出函数y=5由才与y=lgx的图像，由图可以看出两

函数图像有3个交点，即sinx=1gx有3个实数根.

］，''、：.

故选：c.

13.【解析】/(x)=logfl(x+2)-2,令彳+2=1,得x=-L,

/(―1)=log/—2=0—2=—2..•.函数/(%)的图象过定点(-1,-2).

(Y—Y—1

14.【解析】由题意，函数y=lg--,则——>0,解得九<—2或%>1,

U+2；x+2

、“x~lx+2—3.3__.八ry

设/=----二--------二1---------，可r得z/>0且，wl,

x+2x+2x+2

由对数函数的性质，则函数)=坨］«>0且％。1)满足)£尺且丁。0

即函数y=坨［岩］的值域为(—8,0).(0,+8).

15.【解析】设“(%)=办？+%+〃值域为A,

2

函数/(%)=log2((2%+%+〃)的值域为R,(0,+oo)=A,

当〃=0时，/(%)=1。82%值域为尺，满足题意;

a>0

当〃。0时,解得0<a<—,

A=l-W>0

综上，实数a的取值范围是0,)

3-x<2

16•【解析】〃>0且QW1,若函数/(%)=<的值域为［1,+8),

log^x,x>2

x>2

当％<2时，y=3-x>l,所以]，，可得1<。<2

[log〃x21

1-x>0,

17.【解析】⑴由已知得x+3>。,，解得一3<，<1，

所以函数〃尤)的定义域为(—3,1).

(2)/(%)=log”(1一%)+log。(%+3)=log。(1一%)(%+3)=log.(-%2-2%+3),

令/(尤)=0,得-x2-2x+3=1,即_?+2x—2=0,

解得x=-1土行1土艮(-3,1),

.••函数”X)的零点是—1±6

(3)由2知,/(x)=log"(—x2—2x+3)=log“-(X+1)2+4,

—3<x<1,0<-(x+1)+4<4.，/0<a<l,

•••logJ-(X+1)2+42log.4,/0n=log。4=-4,a=4%=也.

L」2

27

18.【解析】(1)当a=1时,/(x)=(log2x)+log2x+2=H——,

4

由于xeg，8,所以log2X«T,3],所以当x=—g,x=/时，/(%)有最

7「7一

小值为:；当log2X=3,x=8时，”力有最大值为14.故〃尤)的值域为-44.

2「11

(2)原函数可化为〃x)=(k>g2xf+alog2X+2,xe-,8.所以log2X«T，3].

依题意关于％的方程/(x)+a=0有解，即(log24+alog2x+2+a=0①，

在xe1,8时有实数根.

当108，_¥=-1,兀=工时，①化为l—a+2+a=3wO,所以x=—不是①的根.

■22

当时，Iog2xe(-I,3],log2%+1G(0,4],①可化为

2

6Z(log2X+1)=-(log2x)-2,

22

(log2%)+2(log2x+1)-2(log2x+l)+3

a=------------=----------------------------

log2x+1log2x+1

3

=—(log2x+l)+--------+2②.

log2x+1

其中(log2x+l)+-~~-~->2/g2X+l).3=273,

log2x+1ylog2x+1

31

当且仅当log2》+l=^------即x=2"-e-,8时，等号成立.

log2x+1\_2

所以②式可化为a<-2A/3+2.所以。的取值范围是+21

19.【解析】⑴/(%)=(。2%-24og4X+g]=(21og4X—2"g4X+g]

令t=log4x,则xe工4]时Je[0,1]

此时,y=(2t—2)"+g]=2/—/—1=2“—-1,

-9-

Ze[O,l],.\yG--,0,

o

9

所以x£［l,4］时，函数/(好的值域为一大,0

o

⑵/(x)<mlog4x对于X€［4,16］恒成立，

方法一：

即2/TW3对/e口,2］恒成立，即2产-⑴+»-1V0对1e［1,2］恒成立，

设力⑺=2产一⑺+l)z-lje［l,2］,贝!|A(Omax<0,

①当空2寄，即加25时，,⑺max=飘1)=2—(加+1)—1<0n加20

所以加N5;

②当"+1<匕2，即加<5时,h(t)=/z(2)=8—2(m+l)-l<0^>m>—,

422

所以*〈加<5;

2

综上所述,m2』.

2

方法二：

即2»-，一1«相才对，£口,2］恒成立,.•.加22%对，£口,2］恒成立，

t

设g⑺=2/—1一1Je工2］,g⑺=27—1—1在/e口,2］上单调递增，

tt

20.【解析】(1)因为五x)是定义在［—4,4］上的奇函数，所以

/(4)=2/(-2)=-2/(2)^log24+log44+a=-2(log22+log42+a)^a=-2.

(2)因为加0是定义在［—4,4］上的奇函数,所以有/(O)=0.

当xe［—4,0)时，

/(x)=-f(-%)=-[log,(-x)+log4(-x)-2]=-log2(-x)-log4(-x)+2

3

=--log2(-x)+2

3

—log2x-2,0<x<4

所以负x)在［-4,4］上的解析式为：/(%)=<0,x=0

3

—

—-log2(x)+2,-4V%<0

3

⑶当九£[—4,0)时，/(%)二—/log2(—%)+2,—X£(O,4]因此当—x=4时，函数/(%)

有最小值，最小值为-1,函数没有最大值.

21.【解析】(1)因为幕函数/(x)=x.2混+"+3(%eZ),/(1)</(2)

所以“X)单调递增，所以—2/+加+3>0,即(2%—3)0+1)<0,

3

解得一1<加<一,又加£Z,所以加=0或加=1,

2

当机=0时，/（x）=x3,满足/（一%）=-9=_/（%）,因此〃%）=尤3是奇函数；

当机=1时，/（"=/+1+3=%2,显然是偶函数；所以m=0,/（X）=d；

3"32

（2）因为/（x）=d,=（log2%）+log；（2x）-9（log2J;）-1-31og2,

=log2x,因为xe所以1,1],

5

所以y=9j—3/—1=9

4

所以y=9〃—3/—1在/e-1,(］上单调递减，在上单调递增，

因此为小—；；又当/=—1时，y=9+3-l=ll；当"1时，y=9-3-l