2023年山东各地数学中考一模试题汇编含详解12 切线的证明与计算

专题12切线的证明与计算

一.解答题(共22小题)

1.(2023•博山区一模)如图Co是。。直径，A是。。上异于C,。的一点，点B是。C延长线上一点，连A8、

AC.AD,KZBAC=ZADB.

(1)求证：直线AB是。。的切线；

(2)若BC=20C,求tan/AOB的值；

(3)在(2)的条件下，作NcA。的平分线AP交。。于P,交CD于E,连PC、PD,若AB=2√^,求AE∙AP

2.(2023∙天桥区一模)如图，。是以AB为直径的。。上一点，过点。的切线QE交AB的延长线于点E,过点B

作BCLDE交AD的延长线于点C,垂足为点F.

(1)求证：AB=CB-,

1

(2)若AB=I8,SinA=右求BF的长.

C

3.(2023∙梁山县一模)如图，在AABC中，AC=BC,以BC为直径作。0,交AC于点M,作CZ)_LAC交A8延

长线于点。，E为CD上一前,S.BE=DE.

(1)证明：BE为OO的切线；

(2)若AM=4,tanA=2,求。E的长.

4.(2023•郸城县一模)如图，AB是。。的直径，C是。。上一点，。是弧AC的中点，E为。。延长线上一点,

且NC4E=2NC,AC与BD交于点H,与OE交于点、F.

(1)求证：AELAB；

(2)求证：DF2=FH∙FC；

(3)若。H=9,tanC=:,求半径。4的长.

5.(2023•长清区一模)如图，在aABC中，AB=BC,以AB为直径的。。与AC交于点。，过。作。。的切线交

AB的延长线于E,交BC于尸.

(1)求证：DFLBC；

(2)求证：DE2AE∙BE.

6.(2023•成武县校级一模)如图，四边形ABCO内接于。。，NBAO=90°,AD,BC的延长线交于点凡点E在

C尸上，且NoEC=NBAC

(1)求证：QE是。。的切线；

(2)若4B=AC,CE=IO,EF=I4,求CD

7.(2023•荷泽一模)如图，勿为。。的切线，A为切点，过4作OP的垂线48,垂足为点C,交G)O于点B,延

长。与0。交于点。，与物的延长线交于点E.

(1)求证：PB为。。的切线；

1

(2)⅛ftanZABE=求SinE.

B

E

8∙(2023∙滕州市一模)如图，AB为。。的直径，D、E是。0上的两点,延长AB至点C,连接CD,NBDC=N

BAD.

(1)求证：CQ是。。的切线.

ɔ

(2)若tanNBED=(,AC=9,求。。的半径.

D

9.(2023•东平县一模)如图，AB是OO的直径,点£)在48的延长线上，C、E是G)O上的两点，CE=CB,ZBCD

=ZCAE,延长AE交BC的延长线于点F.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)求证：CE=CF;

(3)若BD=I,CD=√2,求弦AC的长.

10.(2023∙东明县一模)如图，在RtZXABC中，NACB=90°,。是BC边上一点，以。为圆心，OB为半径的圆

与AB相交于点£),连接CC,且CO=AC.

(1)求证：CC是。。的切线；

(2)若AC=4,Cfi=2,求半径的长.

11.(2023•河口区校级一模)如图，在aABC中，AC=BC,Co平分/ACB交AB于点£>,B尸平分NABC交CO

于点凡AB=6,过8、尸两点的。。交BA于点G,交BC于点E,EB恰为00的直径.

(1)判断CZ)和。。的位置关系并说明理由；

(2)若CoSNA=,，求。。的半径.

12.(2023•东平县校级一模)如图所示，AB为0。的直径，点C为圆上一点，AC于点E.

(1)如图1,当点E是。。的中点时，求NBAC的度数；

(2)如图2,连接8E,若CD〃BE,求tanN8AC的值；

(3)如图3,在(2)的条件下，将aABE绕点B顺时针旋转180°得到△尸8。，请证明直线尸。是OO的切线.

13.(2023•金乡县一模)如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，。为BA延长线上一点，ZACD=ZB.

(1)求证：QC为。。的切线；

(2)若。。的半径为5,SinB=求AO的长.

14.(2023∙历下区一模)如图，已知AB是。。的直径，OC与。。相切于点C,交AB的延长线于点。，过点B作

8”_LC。于点H.

(ɪ)求证：NBAC=NBCD；

(2)若。。的半径为5,SiMBaC=咯，求的长.

15.(2023•泰山区校级一模)如图，。。是AABC的外接圆，AO是。。的直径，P是A。延长线上一点，连接C£>,

CF,且C尸是。。的切线.

(1)求证：ZDCF=ZCAD.

(2)探究线段CRFD,%的数量关系并说明理由；

(3)若COSB=*AD=I,求FO的长.

16.(2023•东营区校级一模)如图，C)O是aABC的外接圆，AB为。0的直径，点E为。。上一点，EF//AC交

AB的延长线于点F,CE与AB交于点。，连接BE,若NBCE=BNABC.

(1)求证：EF是。。的切线.

(2)若BF=2,sin∕BEC=左求C)O的半径.

17.(2023•任城区校级一模)如图，48是。。的直径，点C在。。上，点E是元的中点，延长AC交BE的延长

线于点£>,点尸在AB的延长线上，EFlAD,垂足为G.

(1)求证：G尸是Oo的切线；

(2)若BF=2,EF=√5,求。。的半径.

D

18.(2023•济阳区校级一模)已知：如图，点A,B,C三点在。。上，AE平分NB4C,交。。于点E,交BC于点

D,过点E作直线/〃BC,连接BE.

(1)求证：直线/是。。的切线；

(2)如果。E=α,AE=b,写出求8E的长的思路.

19.(2023∙东阿县一模)如图，点O是ΔABC的边AC上一点，以点O为圆心，为半径作」O,与BC相切于点

E,交AB于点£>,连接。E,连接OD并延长交CB的延长线于点尸，ZAOD=ZEOD.

(1)连接ΛF,求证：AF是。的切线;

(2)若FC=IO,AC=6,求AD的长.

20.(2023•宁阳县校级一模)如图，在RtΔABC中，NC=90。，平NABC交4C于点O,O为54上一点，经

过点3,。的O分别交AB,3C于点E,F,连接O尸交8。于点G.

(1)求证：AC是:。的切线；

(2)求证：BD2=BABF；

(3)若A£=5,sinA=-,求3D的长.

5

21.(2023•临清市一模)如图，。的弦AB,CD交于点E,连接AC,BC,延长"'到点尸，连结PB,PB与

,。相切，且PB=PE.

(1)求证：点A是CO的中点；

(2)若AE=BE,AC=4,求½E的长.

22.(2023•垦利区一模)如图，在RtAABC中，ZACB=90°,。是8C边上一点，以。为圆心，08为半径的圆与

AS相交于点力，连接CD,且CD=AC.

(1)求证：CD是O的切线；

(2)若ZA=60。，AC=2√3,求BO的长.

专题12切线的证明与计算

一.解答题（共22小题）

1.（2023•博山区一模）如图Co是。。直径，A是。。上异于C,。的一点，点B是。C延长线上一点，连A8、

AC.AD,KZBAC=ZADB.

（1）求证：直线AB是。。的切线；

（2）若BC=20C,求tan/AOB的值；

（3）在（2）的条件下，作NcA。的平分线AP交。。于P,交CD于E,连PC、PD,若AB=2√^,求AE∙AP

【分析】（1）连接OA,先得出NoAC+NOAQ=90°,再得出∕BAC+NOAC=90°,进而得出NBAo=90°,

最后根据切线的判定得出结论；

√4CBC

（2）先得出ABCAsAaAO,进而得出二=1；，设半径OC=O4=r,根据勾股定理得出43=2&r,最后根

ADAB

据三角函数得出结果；

（3）由（2）的结论，得出/-=√3,结合直角三角形的性质得出AC=2,ΛD=2√2,然后得出4CAPSEA0,最

后根据AE∙AP=AC∙AQ得出结论.

【详解】（1）证明：连接。A,

「CO是。。的直径，

ΛZCAD=90°,

ΛZOAC+ZOAD=90°,

又YOA=OD,

：.ZOAD=AODA,

又∙.∙∕BAC=ZADB,

：.ZBAC+ZOAC^90°,

即∕BAO=90°,

：.ABLOA,

又∙.∙0A为半径，

.∙.直线A8是。O的切线；

(2)解：'：ZBAC^ZADB,/B=NB,

.∖∕∖BCA^ΛBAD,

.ACBC

•.=f

ADAB

设半径OC=OA=心

YBC=ZOC,

:∙BC=2r,OB=3r,

在RtZ∖8AO中，

2222f

AB=yJθB—OA=λ∕(3r)—r=2V2r,

在RtzλC4Q中，

tan/AoC=而=而=访=亍

(3)解：在(2)的条件下，AB=2√2r=2√6,

/.r=√3,

ΛCD=2√3,

在Rt∆C4D中，

ACV2〉,ɔ

—=—,AC1+AD1CD1,

AD2

解得AC=2,AD=2√2,

YAP平分NC4£),

：.ACAP=ΛEAD,

又；ZAPC=ZADE,

二△CAPSXEM

.ACAP

••—,

AEAD

.".AE∙AP=AC∙AD=2×2√2=4√2.

2.(2023•天桥区一模)如图，。是以AB为直径的。。上一点，过点。的切线。E交AB的延长线于点E,过点8

作BCLDE交AD的延长线于点C,垂足为点F.

(1)求证：AB=CB:

1

(2)若4B=18,SinA=东求BF的长.

C

【分析】（1）连接OD,由切线的性质得到ODLDE,而BCLDE,推出OD"B3得到NC=NoD4,由OD

=OAf得到NA=NODA,因此NA=Nc即可证明A8=C8;

（2）连接8D,由圆周角定理得到NBOC=NAD8=90°,由锐角的正弦求出3。的长，由余角的性质得到/8。尸

1

=ZA,因此SinN8。/=SinA=热即可求出BF的长.

【详解】（1）证明：连接0。，

♦・・。石切OO于。，

ODLDEf

9

：BCJLDE9

：.OD//BC,

JNC=NOOA,

,

∖OD=OA1

：.ZA=ZODA9

：.ZA=ZCf

ΛAB=CB：

(2)解：连接8D,

〈AB是圆的直径，

ΛZADB=90o,

ΛZBDC=180°-ZADB=90o,

Dn-1

TsinA=器=余AB=18,

：.BD=6,

,.βNBDFMCDF=ZC+ZCDF=90o,

"BDF=∕C,

YZA=ZC,

ΛABDF=ZA,

1

ΛsinZBDF=sinA=ɜ,

.BF1

BD3

3.(2023∙梁山县一模)如图，在AABC中，AC^BC,以BC为直径作。0,交Ae于点M,作C£>_L4C交A3延

长线于点。，E为Cz)上一点，且BE=OE.

(1)证明：BE为。。的切线；

(2)若AM=4,tanA=2,求OE的长.

【分析】(1)根据垂直的定义得到NACZ)=90°,根据等腰三角形的性质得到NA=NA8C,ZD^ZDBE,推

出CBLBE,于是得到结论；

(2)连接8例，根据圆周角定理得到BMLAC,根据三角函数的定义得到BM=I6,BC=20,根据相似三角形

的判定和性质定理即可得到结论.

【详解】(1)证明：∙.∙CD_L4C,

ΛZACD=90°,

ΛZΛ+ZD=90o,

'：AC=BC,BE=DE,

.∙.∕A=∕A8C,ZD=NDBE,

：.ZABC+ZDBE=W,

ΛZCBE=180°-90°=90°,

：.CBLBE,

,BE为。。的切线；

(2)解：连接8M,

YBC为。。的直径，

.'.BM±AC,

"."AM=4,tanA==2,

：.BM=IAM=?),

•；AC=BC,

：・CM=BC-AM=BC-4,

222

∙.∙BC=BM+CM9

：.BC2=S2+(8C-4)2,

/.BC=IO9

ΛAC=BC=10,

VBM±AC,AC_LCQ,

.β.BM//CD,

：・NMBC=NBCE,

∖,ZBMC=ZCBM=90o,

:・4BMCs^CBE,

.CMBM

•.—,

BEBC

_6____巴

•e∙—,

BE10

15

.・・BE3=~2",

.*.DE=BE=ɪ,

4.(2023•郸城县一模)如图，AB是。。的直径，C是。。上一点，。是弧AC的中点，E为。。延长线上一点,

且∕C4E=2∕C,AC与BD交于点H,与QE交于点F.

(1)求证：AE1.AB；

(2)求证：DF2=FH∙FC；

Q

(3)若O"=9,IanC=本求半径04的长.

E

H

【分析】（1）根据垂径定理得到。E∙LAC,求得NAFE=90°,求得NEAo=90°,于是得到结论;

（2）根据圆周角定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；

（3）连接A。，解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：（1）・・・。是京的中点，

JOELAC,

：.ZAFE=90°,

ΛZE+ZEAF=90o,

VZAOE=2ZC,ZCAE=2ZC,

：.ZCAE=ZAOE,

ΛZE÷ZAOE=90o,

ΛZEAO=90o,

ΛAE1AB；

（2）VOD=OB,

：・/B=NFDH,

•：∕C=∕B,

：・NC=NFDH,

9

：ZDFH=ZCFDf

:ADFHsACFD,

.DFCF

∙∙FH~DFf

ΛDF2=FH∙CF;

（3）连接AO,在RlZXAOH中，

∖'ZDAC=ZCf

3

ΛtanZDAC=tanC=彳，

q

VDH=9,

ΛAD=12,

在Rt∆BDA中，Vtanβ=tanC=彳

・•*3

•∙SinB一5,

ΛAB=20,

.∖OA=^AB=10.

E

5.（2023•长清区一模）如图，在AABC中，AB=BC,以AB为直径的Oo与AC交于点。，过。作C）O的切线交

AB的延长线于E,交BC于F.

(1)求证：DFLBC↑

(2)求证：D怦=AE∙BE.

【分析】（1）求出0Z）〃3C,根据切线的性质得出OOLED,即可求出答案;

（2）求出AOBEsAAOE,根据相似得出比例式，即可得出答案.

【详解】证明：（1）连接0£>,

'：OA=OD,AB=BC,

：.ZA=ZC,ZODA,

：.AC=ZODA,

：.OD//BC,

1BFE=∕0DE,

∙.∙OE为。。的切线，

ΛZODE=90o,

ΛZBFE=90o,

ΛDF±BC;

(2)连接BZλ

,・,4?为OO的直径,

ΛZADB=90o，

：.ZA+ZABD=90o,

VZODE=90o,

ΛZODB+ZBDE=90o,

YOD=OB,

：.ZODB=ZABD9

：.ZA=ZBDEf

∖'ZE=ZEf

:•丛DBES丛ADE,

.AEDE

••—)

DEBE

/.DE2=AEXBE.

6.(2023•成武县校级一模)如图，四边形ABCr)内接于。0,NBAQ=90°,AD.BC的延长线交于点尸，点E在

CF上,且NDEC=NBAC.

(1)求证：OE是C)O的切线；

(2)AB=AC,CE=10,EF=14,求CD

【分析】（1）先判断出BO是圆。的直径，再判断出即可得出结论；

（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到N尸=NEDF,根据等腰三角形的性质得到OE=Er=14,根据勾

股定理得到CD.

【详解】解：（1）如图，连接BC,

VZBAD=90Q,

点。必在8。上，即：8。是直径，

/88=90°,

：.ZDEC+ZCDE=90Q,

,：ZDEC^ZBAC,

NBAC+/CCE=90°,

9

:ZBAC=ZBDC9

BDC+/CDE=W,

ΛZBDE=90o,即：BDLDE,

•・・点。在OO上，

・•・OE是OO的切线；

(2)・：NBAF=NBDE=90°,

JZF-^ZABC=Nfi)E+/408=90°,

VAB=AC,

.β.NABC=NACB,

丁/ADB=NACB,

：・/F=/EDF,

ΛDE=EF=14,

VCE=IO,ZBCD=90o,

：・NDCE=90°，

.∖CD=√DF2-CE2=4√6.

7∙(2023∙荷泽一模)如图，%为Oo的切线，A为切点、,过A作。尸的垂线A3,垂足为点C交。。于点从延

长。与OO交于点。，与雨的延长线交于点R

(1)求证：PB为。。的切线；

【分析】(1)要证P8是。。的切线，只要连接。4再证NPBo=900即可；

£71AD

(2)连接A£>,证明AAOES∖POE,得到一=一,设OC=f,贝IJBC=2f,AD=2t,由4P8Cs1∆80C,可

ZEPOP

求出SinNE的值.

【详解】(1)证明：连接。4,

∙∙∙∕¾为。。的切线，

:,OALPA

：.ZPAO=90o,

"：OA=OB,OPLABjf-C,

：.BC=CA,PB=^PA,

.∖ΛPAO^∕∖PBO,

：.ZPBO^ZPAO=90°,

PB为C)O的切线；

(2)解：连接A。，

；BD为直径,ZBAD=90o由⑴知NBCO=90°

：.AD//OP,

：.XADEsXPOE,

EAAD

•*•-，

EPOP

由A。〃0C得AQ=2OC

VtanZABE=ɪ,

.0£_1

∙∙BC~2

设。C=f,则BC=2f,AD=2t,由APBCsABOC,

得PC=2BC=4f,0P=5t,

uEAAD2

∙∙EP~OP~5

可设E4=2,EP=5,则%=3,

9JPA=PB,

：.PB=3,

8∙（2023∙滕州市一模）如图，AB为。。的直径，。、E是OO上的两点，延长48至点C连接CD,NBDC=N

BAD.

(1)求证：CO是。。的切线.

(2)若tanNBED=5,AC=9,求。。的半径.

【分析】(1)连接OO，由圆周角定理得出NAf>B=90°,证出OOJ_CO,由切线的判定可得出结论；

CDBCBD2

(2)证明aBOCS2∖D4C,由相似三角形的性质得出一=—=—=一，由比例线段求出CD和BC的长,

ACCDDA3

可求出AB的长，则可得出答案.

图1

YA3为Oo的直径，

ΛZADB=Wo,

.∙.NA+NA8O=90°,

OB=OD,

：.ZABD=ZODBf

9

：ZBDC=ZAf

.∙.NBDC+NOO8=90°,

ΛZODC=90o,

JODVCD,

∙.∙OO是。。的半径，

・・・C。是。。的切线；

9

(2)解：VZADB=90o,tanZBED=

.BD2

t9AD-3，

,β

.ZDCB=ZACDfNBDC=/BAD,

，丛BDCs∕∖DAC,

.CDBCBD2

t*AC~CD~DA~3

VAC=9,

.CD2

•∙,

93

.∙.CO=6,

.BC2

•∙=—,

63

.*.BC=4,

：.AB=AC-BC=9-4=5.

5

∙∙∙OO的半径为3

9.(2023•东平县一模)如图，AB是。。的直径，点。在A8的延长线上，C、E是。。上的两点，CE=CB,ZBCD

=NCAE,延长4E交BC的延长线于点E

(1)求证：CO是。。的切线；

(2)求证：CE=CF;

【分析】(1)连接。C,可证得∕C4O=/BC。，由/C4D+∕48C=90°,可得出NoC。=90°,即结论得证；

(2)证明AABCgZVl尸C可得CB=C凡又CB=CE,则CE=Ca

(3)证明^OC8S4D4C,可求出D4的长，求出A8长，设BC=",AC=√2α,则由勾股定理可得AC的长.

【详解】解：(1)连接OC,如右图所示，

`:AB是OO的直径，

.∙.NACB=90°,

ΛZCAD+ZABC=9Q°,

•；CE=CB,

：.ZCAE=ZCABf

∙/NBCD=NCAE,

：・4CAB=/BCD,

•：OB=OC,

1/OBC=NOCB,

：.ZOCB+ZBCD=90Q,

ΛZOCD=90o,

・・・C。是Oo的切线；

(2)ZBAC=ZCAE9NACB=NACr=90°,AC=AC9

：.∆ABC^∆AFC(ASA),

：・CB=CF,

又•：CB=CE,

：.CE=CF↑

(3)♦：NBCD=∕CAD,ZADC=ZCDB,

：,/\DCBs丛DAC,

.CDADAC

∙∙BD-CD一BC

.√2AD

Λ

T=√f,

ΛDA=2,

：.AB=AD-BD=2-1=1,

设3C=α,AC=y∕2a,由勾股定理可得：。2+(企砌2=12,

解得:a=ɪ,

10.（2023•东明县一模）如图，在RtzλA3C中，NAc5=90°,。是BC边上一点，以。为圆心，。5为半径的圆

与AB相交于点O,连接。拉，且CO=AC

(1)求证：C。是Oo的切线；

(2)若AC=4,CE=2,求半径的长.

【分析】(1)连接OD由等腰三角形的性质及圆的性质可得NA=NAOC,NB=NBDO.再根据余角性质及三

角形的内角和定理可得NoQC=I80°-(NADC+NBD0)=90°.最后由切线的判定定理可得结论；

(2)设半径为X,在直角三角形ODC中，根据勾股定理列方程即可求出半径.

【详解】(1)证明：连接。。，

ZA^ZADC.

'：OB=OD,

J,ZB=ZBDO.

VZACB=90o,

ΛZA+ZB=90o.

二NAOC+/800=90°.

NOCC=180°-(NAQC+NBCO)=90°.

又：O。是OO的半径，

.∙.α＞是。。的切线.

(2)解：∖'CD=AC,

.∙.CO=4,

设半径为X,则OC=X+2,

在直角三角形0。C中，

OC2=OD2+CD2,即(JC+2)2=X2+42,

・∙x=3∙

∙∙.半径的长为3.

11.(2023•河口区校级一模)如图，在AABC中，AC=BC,CZ)平分NAa3交AB于点。，BF平分NABC交CD

于点F,48=6,过8、下两点的。。交BA于点G,交BC于点E,EB恰为。。的直径.

(1)判断CO和。0的位置关系并说明理由；

(2)若CoSN4=寺,求Oo的半径.

【分析】(1)连接0F,求出0尸〃30,根据等腰三角形性质求出。LAB,推出OFLCZ),即可得出答案;

(2)解直角三角形求出8C,设半径为r,证a^CF0s^cDB,得出比例式，代入求出即可.

【详解】解：(1)Co与G)O相切，

理由如下：连接。凡

VAC=BC,CZ)平分/AC8,

：.AD=BD=3,CDLAB,

：.ZBDC=90a,

,.∙OF=OB,

：.ZOFB=ZOBF,

'：B尸平分乙4BC,

：.ACBF=AFBD,

.∖ZOFB=ZFBD,

：.OF//DB,

.,.NCfO=ZBZ)C=90°,

.∙.CO与。。相切；

(2)VAC=BC,

.,./A=/ABC,

1

cosZABC=COSZA=ɜ

在RtZXBQC中，COSZABC=ɪ=

ΛBC=9,

VOF//DBf

二△CFOsXCDB,

设。。的半径是r,则W=g

9

=4'

9

即。。的半径句.

12.（2023•东平县校级一模）如图所示，AB为0。的直径，点C为圆上一点，0。_14。于点£

（1）如图1,当点E是0。的中点时，求/BAC的度数;

（2）如图2,连接BE,若CD〃BE,求tan/BAC的值;

（3）如图3,在（2）的条件下，将AABE绕点8顺时针旋转180°得到aP8Q,请证明直线PQ是OO的切线.

P

【分析】（1）证明ACOC是等边三角形，由等边三角形的性质得出NCOO=NA00=60°,由等腰三角形的性

质得出答案:

（2）连接BC,证明四边形Ba）E为平行四边形，由平行四边形的性质得出BC=OE,证出OE为aABC的中位

线，得出OE=；BC=设0E=%,由勾股定理求出AE的长，则可得出答案；

OHQp

（3）延长Eo交PQ的延长线于点H,证明AOAESAOPH,由相似三角形的性质得出方=—,证出OH=R,

则可得出结论.

【详解】（1）解：是0。的中点，OOLAC,

.".CO=CD,Ab=Cb,

：.ZAOD=ZCOD,

又,：OC=OD,

.♦.△CO。是等边三角形，

二NCOO=∕AOO=6(Γ,

ΛZAOC=UOo,

,

.∙OC=OA9

「・NA=NOCA=30°；

(2)解：连接3C,

图2

•・,A8是直径，

：•BC-LAC,

,

.∙ODA.AC9

.∖OD∕∕BC,AE=EC,

：・DE〃BC,

又,：BE//CD9

・・・四边形BCDE为平行四边形,

：.BC=DE,

又TAE=EC,OA=OB,

：.OE为aABC的中位线，

11

・・・OE=aBC=*E,

设OE=m,

∙*∙DE=BC=2m,

.,.OD—m+2ιn—3m,

：.0A=OD=3m,

.".AE=y∕0A2-0E2=2√2w,

・*A_0E_Tn√⅞

∙∙tanλ=荏=有=不

(3)证明：延长EO交PQ的延长线于点H,

D

图3

・・・将E绕点8顺时针旋转180°得到^PBQ,

/.ZP=ZA,AB=BPf

.∖AC∕∕PH,

β.∙OD.LAC,

/.DHA.HP9

由(2)得OP=OB+BP=3∕n+6m=9m,

∖tAC∕∕PH,

ΛΔOAE^ΔOPW,

.OHOP

•.=9

OEOA

.OH9m

•.=f

m3m

/.OH=3m,

：・OH=R,

.∙.PQ是。。的切线.

13.(2023•金乡县一模)如图，AB为C)O的直径，C为。。上一点，。为BA延长线上一点，NACD=NB.

(1)求证：DC为C)O的切线；

(2)若。。的半径为5,SinB=求A。的长.

【分析】(1)连接OC,则/AC。=/。CB=由AB是C)O的直径，得/4CB=90°,所以/OCC=NACB

=90°,即可证明。C为。。的切线；

√4CQQ

(2)由。。的半径为5得OA=OB=0C=5,则AB=I0,由一=SinB=1，得AC=⅛AB=6,再由勾股定理求

ABɔɔ

?__________ADAC3

得CB=y∕AB2-AC2=8,再证明aD4CsAθCB,得一=一=-,设CD=Am,则AD=3m,由勾股定理得

sCDCB4

52+(4∕n)2=(5+3m)2,即可求出川的值即AO的长.

【详解】(1)证明：连接0C,则。C=OA,

/OCB=NB,

∙.∙ZACD=ZB,

.∙.ZACD=ZOCB,

是G)O的直径，

ΛZACB=90o,

/.NoCD=/AC。+NOcA=∕OCB+NOC4=NACB=90°,

・,OC是。。的半径，且。ci∙OG

•・OC为OO的切线.

,

(2)解：∖OA=OB=OC=5f

3

VZACB=90o,SinB=

AC3

/.—=sinB=F，

AB5

ΛAC=∣AB=∣×10=6,

:∙CB=y]AB2-AC2=√102-62=8,

VZACD=ZBfZD=ZD9

：.ADACsADCB,

βADAC63

"CD~CB~8~4

设CC=4机，则A。=]CO=]X4机=3瓶，

121

•：oc^-cb=obf

Λ52+(4∕w)2=(5+3M2,

解得见=多小2=0(不符合题意，舍去)，

•ΛΠ-QXZ30-90

・∙AD—3×-y-=~7~f

90

.,.AD的长是一.

7

14.(2023•历下区一模)如图，已知AB是。。的直径，OC与。。相切于点C,交AB的延长线于点。，过点B作

BHLCD于点、H.

(1)求证：NBAC=NBCD；

(2)若。。的半径为5,SinNBAC=络，求BH的长.

【分析】(1)连接。C,由切线的性质得到NBCD+NOC8=90°,由圆周角定理得到/∕MC+NOC8=90°,即

可证明ZBAC=ZBCD；

(2)由NAAC的正弦求出BC的长，即可由NJBC〃的正弦求出3”的长.

【详解】(1)证明：连接OC

∙.∙oc切G)O于C,

工半径OCI.CD,

.∖ZOCH=90o,

ΛZBCD+ZOCB=90o,

TAB是O。的直径，

/.ZACB=90o,

•：OA=OC,

：.ZBAC=ZOCA9

∙.∙NOC4+NOC8=90°,

.,.ZBΛC+ZOCB=90o,

：・NBAC=/BCD；

(2)解：・・・。。的半径为5,

ΛAB=2×5=10,

9：ZBCA=90o,

・∙/CB_\S

•∙sιnN8AC==~g-,

βC=10×^=2√5,

•：BHLCD,

：.ZBHC=90°,

,.∙NBCH=4BAC,

：.SmZBAC=SinZBCH=需=寻，

.,.8H=2√5x增=2.

.∙.B”的长是2.

15.（2023•泰山区校级一模）如图，。。是aABC的外接圆，AO是Oo的直径，F是4。延长线上一点，连接C£）,

CF,且CF是。。的切线.

(1)求证：ZDCF=ZCAD.

(2)探究线段CF,FD,M的数量关系并说明理由;

(3)若COSB=+AD=2,求尸。的长.

【分析】(1)根据切线的判定，连接0C,证明出OC_LFC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角

和以及等腰三角形的性质可得答案；

(2)可证明S△/¾c,即可得出结论；

(3)由cos3=∣,根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CO：AC：AD=3：4：5,再根据相似三角形的性质

可求出答案.

【详解】(1)证明：如图，连接。C,

VAD是。。的直径，

ΛZACD=90o,

：.ZOCD+ZOCA=90o,

・・,尸。是O。的切线，

ΛZDCF+ZOCD=90o,

：.ZOCA+ZDCF,

YOC=OAf

.∙.NCAO=NOCA,

：,ZDCF=ZCAD;

2

(2)解：FC=FD^FAf理由如下：

e

：ZFCD=ZFACfZF=ZF,

：・4FCDSAFA3

FCFD

••=,

FAFC

：・FdI=FD∙FA∖

(3)解：VZB=ZADC,CosB=

3

ΛcosZADC=弓，

在RtZ∖ACD中,

3CD

∙.∙cosNA。C=ʒ=而，

.CD3

•∙——,

AC4

由（2）知AFCDs△心c,

.CDFCFD3

""AC~FA~FC~4

：.Fd=FD∙FA,

设/0=3x,则FC=4x,AF=3x+2,

5L,:FC2-=FD∙FA,

即（4x）2=3X（3X+2）,

解得x=9（取正值），

16.（2023•东营区校级一模）如图，。。是AABC的外接圆，AB为00的直径，点E为。。上一点，EFHAC交

AB的延长线于点F,CE与AB交于点£>,连接8E,若NBCE=*NABC.

（1）求证：E尸是OO的切线.

（2）若BF=2,SinNBEC=*求O。的半径.

r

【分析】（1）根据切线的判定定理，圆周角定理解答即可;

（2）根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可.

【详解】（1）证明：连接OE

11

*：ZBCE=^ZABCf∕BCE="BoE,

・•・NABC=NB0E,

：.OE//BC9

LNOED=/BCD,

,

∖EF//ACf

：,AFEC=AACE,

：•/OED+/FEC=/BCD+NACE,

ZFEO=ACB,

9：AB是直径，

ΛZACB=90o,

ΛZFEO=90o,

ΛFE±EO,

・・・石。是0。的半径，

・・・匹是OO的切线.

(2)解：9CEF//AC,

:.XFEOSXACB,

.EOFO

••=,

BCAB

3

•；BF=2,SinZBEC=

设O。的半径为r,

ΛFO=2+r,AB=2r,BC=∣r,

.r2+r

Λ∣7=右，

解得：r=3,

检验得：r=3是原分式方程的解，

OO的半径为3.

17.(2023•任城区校级一模)如图，48是。。的直径，点C在。。上，点E是我的中点，延长AC交BE的延长

线于点D，点F在AB的延长线上，EFVAD,垂足为G.

(1)求证：GF是。。的切线；

(2)若BF=2,EF=√5,求。。的半径.

D

【分析】(1)连接OE,由圆周角定理及等腰三角形的性质证得。七〃A。，得出NOEF=N4GE=90°,则可得

出结论；

EFBF

(2)证明AEfBsz∖AEE,由相似三角形的性质得出=求出A尸的长，则可得出答案.

AFEF

【详解】(1)证明：连接0,如图所示，

・・•点E是元的中点，

：.ZCAE=ZEABf

YOA=OE,

；・NEAB=NOEA,

：.ZCAE=ZOEA,

：.OE//AD,

：.ZOEF=ZAGE9

VEF±AD,

ΛZAGE=90°,

：.ZOEF=ZAGE=Wo,

・・・G尸是。。的切线；

(2)VZAEO+ZOEB=90o,NoEB+NBEF=90°,

JZAEO=ZBEFf

：.ZAEO=ZOAEf

.∙.NOAE=NBEF,

：.ΛBFE=AEFA,

:∙AEFBsAAFE,

.EFBF

•.=,

AFEF

.√52

Λ∑F=忑

：.AF

：.ABAF-BF=^-2=^,

18.(2023•济阳区校级一模)已知：如图，点A,B,C三点在OO上，AE平分N54C,交OO于点E,交BC于点

D,过点E作直线/〃BC,连接BE.

(1)求证：直线/是C)O的切线；

(2)如果。E=4,AE=b,写出求BE的长的思路.

【分析】(1)作辅助线，连接半径，由角平分线得：ZBAE^ZCAE,圆周角相等，则弧相等，再由垂径定理证

明0E_L8C,所以OEL/,直线/与。。相切；

BEAE

(2)根据NBAE=NCA及NCAE=/CBE结合公共角证4ABES∕∖BDE可得一=一,从而得出答案.

DEBE

∙..AE平分NBAG

：・NBAE=NCAE,

：.BE=CEf

：.ZBOE=ZCOE9

•：OB=OC,

：.0E1.BC,

・•・OELh

・•・直线/是O。的切线;

(2)yZBAE=ZCAE9ZCAE=ZCBE,

：.ZBAE=ZDBEf

又Y/AEB=NBED,

：.XABEsXBDE,

.BEAE

••—,

DEBE

：.BE1=AE∙DE=ah.

19.(2023•东阿县一模)如图，点O是AABC的边AC上一点，以点O为圆心，为半径作O,与BC相切于点

E,交AB于点D,连接OE,连接”)并延长交CB的延长线于点尸，ZAOD=ZEOD.

(1)连接AF,求证：AF是。的切线；

【分析】(1)根据SAS证ΔAOF三AEo/，得出NaAF=NQE尸=90。，即可得出结论；

(2)根据勾股定理求出AF,证AOECSΔE4C,设圆。的半径为广，根据线段比例关系列方程求出r,利用勾股

定理求出OF,最后根据FD=O尸-OD求出即可.

【详解】(1)证明：在A4OF和AEOF中，

OA=OE

-ZAOD=ZEOD,

OF=OF

:.AAOFWAEOF(SAS),

.-.ZOAF=ZOEF,

BC与O相切，

.-.OEVFC,

.∙.NQ4F=NOEF=90°,

^OALAF,

是O的半径，

.∙.AF是。的切线；

(2)解：在RtΔCAF中，ZC477=90o,FC=1O,AC=6,

.'.AF^yjFC2-AC2=8,

∙.∙/OCE=AFCA,ZOEC=NFAC=90°,

.∙.Δ6>EC^ΔMC,

EOCO

..----=-----,

AFCF

设。的半径为r,则C=I,

■