2024年高等数学基础形成性考核大专科答案

【高等数学基础】形成性考核册答案

【高等数学基础】形考作业1答案：

第1章函数

第2章极限与持续

(-)单项选择题

1.下列各函数对中，(C)中的两个函数相等.

A./(x)=(Vx)2,g(x)=xB.f(x)=3^，g(x)=x

3X2—1

C./(x)=Inx,g(x)=31nxD./(x)=x+1,g(x)=--------

x-1

分析：判断函数相等的两个条件(1)对应法则相似(2)定义域相似

A、/(x)=(«)2=x,定义域｛x|xNO｝；g(x)=x,定义域为R

定义域不一样，因此函数不相等；

B、/(x)=V?=|x|,g(x)=x对应法则不一样，因此函数不相等；

C、/(%)=lnx3=3lnx,定义域为｛x|x>0｝,g(x)=31nx,定义域为｛x|x>0｝

因此两个函数相等

r2-1

D、/(x)=x+1,定义域为R；g(%)=--------=%+1,定义域为

X1

定义域不一样，因此两函数不等。

故选C

2.设函数/(x)日勺定义域为(-8,+00),则函数/(X)+/(—%)的图形有关(C)对称.

A.坐标原点B.%轴

C.y轴D.y=x

分析：奇函数，/(-%)=-/(%),有关原点对称

偶函数，/(-%)=/(%),有关y轴对称

y=/(%)与它的I反函数y=/T(尤)有关y=%对称，

奇函数与偶函数日勺前提是定义域有关原点对称

设g(X)=/(X)+/(—%),则S(r)=/(T)+/(X)=g(X)

所认为g(x)=/(%)+/(—%)偶函数，即图形有关y轴对称

故选C

3.下列函数中为奇函数是(B).

A.y-ln(l+x2)B.y—xcosx

ax+a~x,、

C.j=-----------D.y=ln(Z1l+x)

分析：A、y(-x)=ln(l+(-x)2)=ln(l+x2)=y(x),为偶函数

B、y(-x)=-xcos(-x)=-xcosx=,为奇函数

或者x为奇函数，cosx为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数

C、y(-x)=a7=y(x),所认为偶函数

D、y(-x)=ln(l-x),非奇非偶函数

故选B

4.下列函数中为基本初等函数是(C).

A.y=x+lB.y=—x

rj—I,X<0

c.y=xD.y

I,x>0

分析：六种基本初等函数

(I)y=c(常值)------常值函数

(2)y=为常数一一幕函数

(3)y=a"(Q>O,QWl)--------指数函数

(4)y=logqx{a>0,Qw1)--------对数函数

(5)y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx---三角函数

y=arcsin

(6)y="ccosx,[-1,1],-----反三角函数

y=arctanx.y-arccotx

分段函数不是基本初等函数，故D选项不对

对照比较选C

5.下列极限存计算不对时时是（D）

v2

A.lim-----二1B.limln(l+x)=0

sx+2%fo

sinx八

C.lim------=(JD.limxsin—=0

00xX—>COX

已知哈

分析：A、=0(n>0)

x2

/「1

lim^—=lrim—-----=lim----—

x+2%一0°x2X—>CX)2

百+百1+?

XX

B、limln(l+x)=ln(l+0)=0

初等函数在期定义域内是持续的

「sinx1.„

C、lim------=lim—sin%=0

x—>00Xx—>00X

%38时，一是无穷小量，sinx是有界函数,

x

无穷小量x有界函数仍是无穷小量

.1

1sin-]•

D、limxsin—=lim-,令％=--->0,%foo,则原式=lim^—t=1

x—>oo%x—>001%/f0j

X

故选D

6.当x.0时，变量(C)是无穷小量.

C.xsin—D.ln(x+2)

x

分析；1、呼/(力=0,则称为时的无穷小量

cinx

A、lim——=1,重要极限

Xf°X

B、lim—=oo,无穷大量

10x

C、limxsin—=0,无穷小量xX有界函数sin，仍为无穷小量

xx

D、limln(x+2)=ln(0+2)=In2

故选C

7.若函数/(%)在点力°满足(A),则/(%)在点％°持续。

A.lim/(%)=f(x0)B./(%)在点/的某个邻域内有定义

X—>XQ

c.lim/(%)=/(%0)D.lim/(x)=limf(x)

X~X—>%0X—>XQ

分析：持续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点持续即lim/(x)=/'(%)

与

持续的充足必要条件lim/(%)=/(x0)<i>lim/(%)=lim/(%)=/(%0)

X—X―X—^XQ—

故选A

(二)填空题

Jr2-Q

1.函数/(x)=-------+ln(l+x)的定义域是—{x|%>3}____________

x-3

分析：求定义域一般遵照的原则

(1)偶次根号下的量之0

(2)分母时值不等于0

(3)对数符号下量(真值)为正

(4)反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值不大于等于1

(5)正切符号内的量不能取反■土»(左=0,1,2)

然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域

X2-9

/(%)=——-+ln(l+x)规定

x-3

X2-9>0fx>3^x<-3

<x-30得<xw3求交集(—1

l+x>0x>-1

定义域为｛x|x>3)

2.已知函数/(%+l)=/+%,则f(%)=x2-X

分析：法一，令，=x+l得x=，一l

21

则/⑺二(r-l)+(z-l)=/7则f[x)=x-x

法二，/(x+1)=x(x+l)=(x+l—l)(x+l)因此/Q)=

3.1im(l+—)T

2x

分析：重要极限limk+工J1

I=e,等价式1岬(l+x>=e

X—>00X

推广lim〃x)=oo则lim(l+—二)"*=e

%-Gfix]

1

112XX——

lim(l+—1=lim(l+—)2=/

2x2x

，i

4.若函数/（》）=，（1+乃*，x<°,在x=0处持续，则k=e

%+左，x>0

分析：分段函数在分段点与处持续olimy（x）=lim/（%）=J（xo）

X—^XQ+x—一

limf(x)=lim(%+左)=0+左=左

%-0+'7%.0+'7

因此k二e

lim/(x)=Jim(l+x>=e

x+1,x>0

5.函数y=<时间断点是—X=0________.

sin%,x<0

分析：间断点即定义域不存在时点或不持续的点

初等函数在其定义域范围内都是持续的

分段函数重要考虑分段点的持续性（运用持续的充足必要条件）

lim/(x)=lim(x+1)=0+1=1

77

0+'x->0+'不等，所认为％=0其间断点

limf(x}=limsin%=0

x^O-')%-0—

6.若lim/(x)=A,则当%。时，/(x)-A称为—%T%。时时无穷小量

XfX。----

分析：lim(/(x)-A)=lim/(x)-limA=A-A=0

%—>%X—>AQX—>AQ

所认为/(%)-Ax->与时时无穷小量

(三)计算题

1.设函数

Je,，x〉0

/W=1八

x,x<0

求：/(-2),/(0),/(l).

解：/(-2)=-2,/(0)=0,/⑴=e：e

生工的定义域.

2.求函数y=lg

解：y=1g生工故意义,

规定＜解得4

xw0

xw0

则定义域为x\x<0或x>—

3.在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一种底边与半圆的直径重叠，另一底边的两个端点在半圆上，试将

梯形的面积表达成其高的函数.

解：

C

设梯形ABCD即为题中规定的梯形，设高为h,即OE=h,下底CD=2R

直角三角形AOE中，运用勾股定理得

AE=1OA-OE2=JR2_32

则上底=2AE=2依—后

故S=g{2R+2依2_町=h(R+JR2—町

,4.sin3%

4.求lim---------

%-。sin2%

sin3%

解：lim233

。sin2xx->osin2x22

x2-1

5.求lim

%"sin(x+1)

1.%?—1(X—1)(X+1)「X-1

解A7J：hm--------=hm-——------=hm^~~-

%f-isin(%+l)itsin(x+l)x^~lsm(x+1)r—2

x+1

tan3%

6•求lim

x->0x

左力「tan3x「sin3%1「sin3%1

解：lim-----=lim------------二lim------X----------------x3=lx—x3=3

x—>0%x—>0xcos3x%-03xcos3x1

7i+x2-i

7.求lim

x—>0sinx

2

Vl+x-1(Jl+X2—l)(Jl+%2+1)x2

解：lim=lim-----------1----------------=lim

0sin%0(J1+x2+1)sinx3(Jl+42+1)sinx

x0

=lim=0

%-o(E+l)也(l+l)xl

X

8.求lim(X^—^1尸.

f0x+3

(1*

[(1+-)-']-1-

解：lim(上■)，=lim(-

—)x=lim---1-二lim

-3

X—>00x+3X—>001+3x->coJ%-0012e

(1+-)[(1+-)3]3

Xxx

3

9.^lim4--+-

4%--5x+4

解：lim\-6x+8=Hm]一包>?一9二♦匕二

3%-51+4(x-4)(x-l)x-14-13

10.设函数

—2)2,X>1

f(x')=<X,-1<X<1

x+1,x<—1

讨论了(%)的持续性，并写出其持续区间.

解：分别对分段点x=-1,X=1处讨论持续性

(1)

lim/(%)=lim%=-1

lim/(x)=lim(x+1)=-1+1=0

因此lim/(x),即/(x)在x=—l处不持续

(2)

lim/(x)=lim(x-2)2=(l-2)2=l

limf(x)=limx=l

"1)=1

因此==/*⑴即/(%)在％=1处持续

x—>1+x—>1—

由⑴(2)得八％)在除点1=-1外均持续

故“X)的持续区间为(—8,—1)(-l,4w)

【高等数学基础】形考作业2答案:

第3章导数与微分

(一)单项选择题

1.设/(0)=0且极限存在，则(C)

zOx

A./(O)B./(0)

C.f'(x)D.0cvx

2.设/(x)在x0可导，则典J""一蓝—"/)=(D)

A.-2/U)B.广(Xo)

C.2尸(x0)D.-/U)

3.设/(x)=e，,则lim⑴=(A).

-Ax

A.eB.2e

11

C.—eD.—e

24

4.设/(x)=x(x—l)(x—2)…(x—99),则/■'(())=(D).

A.99B.-99

C.99!D.-99!

5.下列结论中对时的是(C).

A.若/Xx)在点/有极限，则在点/可导.

B.若/(%)在点/持续，则在点了()可导.

C.若/(x)在点/可导，则在点X。有极限.

D.若/'(x)在点与有极限，则在点与持续.

(二)填空题

2.i0

L设函数f(x)=<xSm%'x”,则/(0)=0.

0,x=0

2.设/(e")=e2v+5ev,则明，/=2mx+三.

dxJCJC

3.曲线/(x)=«+1在(1,2)处的切线斜率是k=；

4.曲线/(%)=sinx在(色，1)处的切线方程是y=—%=-(1--)

4224

5.设y=则V=2/Yi+in%)

6.设y=xlnx,贝!Jy,f=—

x

（三）计算题

1.求下列函数的导数

131

⑴y=(xVx+3)e"y=(x2+3)/+#，

(2)y=cotx+x2Inxyf=-esc2x+x+2xlnx

2xlnx+x

(3)y=——y

InxIn2x

cos%+2”,x(-sinx+2xln2)-3(cosx+2X)

(4)y=

y二

x3x4

12

sinx(——2x)-Qnx-x)cosx

x

⑸y=V=

sinxsin2x

sinxi

(6)y=x4-sinxlnxyf=4x3--------cosxlnx

x

sm.x+x?,3"(cosx+2x)-(sinx+x2)3xln3

(7)y=

y二

3X32X

(8)y=e"tan犬+In犬

COSXX

2.求下列函数的导数＞'：

x

yf=e

⑵y=Incosx3

•3

,-sinx_23

y=------3ox2=-3xtanx

cosx

(3)y=JxU

-7—

y=xsyr=—x8

8

(4)y=VX+A/X

1L4i匚

yr=—(x+x2)3(1+—x2)

⑸y=cos2e”

V=-exsin(2e")

2

(6)y=coseX

22

y'--2xexsinex

(7)y=sin,xcosnx

y'=〃sin"Txcosxcosnx-nsinnxsin(nx)

⑻、=5，心

/=2xln5cosx25sin%2

y'=sin2

22

⑩y=T+eA

22

y'=x*(x+2xlnx)+2xex

xx

(11)y=xe+ee

yf—x，(_^--1-e"Inx)+ee*ex

x

3.在下列方程中，y=y(%)是由方程确定的函数，求旷：

(1)ycosx=e2y

yrcosx-ysmx=2e2yyr

,ysinx

y=

cos九一2e'

(2)y=cosyInx

y'=siny.yrlnx+cosj.—

•°x

,cosy

y—

x(l+sinylnx)

X2

(3)2xsiny=—

y

2r

2yx-xyr

2xcosy.yr+2siny=y(2xcosy+0)=-2siny

y2

,2孙_2ysiny

y--------------

2xy2cosy+x2

(4)y=x+lny

」+l

y

y-l

(5)lnx+eJ=y2

-+eyyr-2yyf

x

y'=——1——

x(2y-ey)

(6)y2+l=e*siny

lyy'=excosy.y，+siny.ex

,exsin^

y-

2y-excosy

⑺e>=e'-y3

eyy'-e*-3y2V

y=4+3^2

ey

⑻,=5*+2〉

了=5*拈5+了2丫1112

,5'In5

y—

-1-2yIn2

4.求下列函数的微分dy：

⑴y=cotx+cscx

-1cosx

dy=(—J-----r~)dx

cosxsin%

Inx

(2)y=

sinx

—sinx-lnxcosx

dy=—---------------dx

sinx

.1-x

⑶yarcsin----

1+x

-l.l-^_1+%*23*51「

dy=(+x)(x)=------------7dx

(1+江x(1+x)2

1-x

(4)y=3

1+X

两边对数得：Iny=；[ln(l-%)-ln(l+x)]

1117/11、

yf=-QA1---(~i----+:|)

3V1+x1-x1+x

⑸y=sin2ex

力=2sinexex"exdx—sm(2ex)exdx

(6)y—tane"

dy=sec2ex3x2dx=3x2exsec2xdx

5.求下列函数的二阶导数:

(1)y-xlnx

y'=1=Inx

7

X

(2)y=xsinx

yr=xcosx+sinx

y"-一1sinx+2cosx

(3)y=arctanx

,1

y〃=————

'(1+x2)2

(4)y=3’

y=2x3,ln3y〃=4/3/In23+21n3.3-

(四)证明题

设是可导的奇函数，试证/'(X)是偶函数.

证：由于f(x)是奇函数因此/(—X)=-/(%)

两边导数得：/'(一%)(—1)=-f\x)=/'(—%)=/(%)

因此/'(X)是偶函数。

【高等数学基础】形考作业3答案：

第4章导数日勺应用

（一）单项选择题

1.若函数/(x)满足条件(D),则存在份，使得/•'©=:(')—/⑷.

b-a

A.在(a,与内持续B.在(a,Z?)内可导

C.在(a,0内持续且可导D.在［凡切内持续，在(a,b)内可导

2.函数/(x)=x2+4x—1时单调增长区间是(D).

A.(—8,2)B.(-1,1)

C.(2,+oo)D,(-2,+oo)

3.函数y=/+4x-5在区间(一6,6)内满足(A).

A.先单调下降再单调上升B.单调下降

C.先单调上升再单调下降D.单调上升

4.函数/(x)满足广(x)=0的点,一定是/(x)的(C).

A.间断点B.极值点

C.驻点D.拐点

5.设/(x)在(a,Z?)内有持续的|二阶导数，x0e(a,b),若/(x)满足(C),则/(x)在/取到极小值.

A.r(Xo)〉O,/"(Xo)=OB.r(x0)<0,/"(/)=0

c./U)=O，r(xo)>OD.r(x°)=0,/"(/)<0

6.设/(x)在(a,句内有持续的二阶导数，且/'(%)<0,/"(x)<0,则/(x)在此区间内是(A).

A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的

C.单调增长且是凸的D.单调增长且是凹的

(-)填空题

1.设f(x)在(a,Z?)内可导,x0e(a,b),且当x</时f'(x)<0,当x>/时f'(x)>0,则与是f(x)

的极小值点.

2.若函数/(x)在点为可导，且/是/(x)的极值点，则/'(/)=_0_____.

3.函数y=ln(l+x2)的单调减少区间是(—oo,0).

4.函数/(%)=e，的单调增长区间是(0,+oo)

5.若函数/(%)在［a,句内恒有f'(x)＜0,则/(%)在［a,切上的最大值是/(«).

6.函数/(x)=2+5x—3/时拐点是x=0.

(三)计算题

1.求函数y=(x+1)(x—5＞的单调区间和极值.

令y=(x+1)2(%+5)2=2(%-5)(%-2)

二＞驻点x=2,x=5

X(7,2)2(2,5)5(5,+oo)

y+极大-极小+

y上升27下降0上升

极大值：/(2)=27

极小值：/(5)=0

2.求函数y=炉—2x+3在区间［0,3］内的极值点，并求最大值和最小值.

令：y'=2x-2=Qnx=l(驻点)

/(0)=3"3)=6/(1)=2

=＞最大值/(3)=6

n最小值/(1)=2

3.试确定函数y=ax3+bx2+cx+d中的Ja,dc,d,使函数图形过点(一2,44)和点(1,一10),且x=-2

是驻点，x=l是拐点.

44=-8Z?+4b-2%+da=1

-10-a+b+c=db=-3

0=12a-4b+cc=16

0=6〃+2bd=-24

4.求曲线V=2%上的点，使其到点A(2,0)时距离最短.

解：设p(x,y)是V=2x上的点，d为p到A点的距离，则:

d=+/=J(X-2)2+2X

A2(x—2)+2x—1八

令dt=—====0nx=1

2«x—2尸+2%-2)2+2%

y2=2x上点(1,2)到点A(2,0)的距离最短。

5.圆柱体上底的中心到下底的边缘的距离为L,问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大?

设园柱体半径为R,高为h,则体积

V=7rR2h=-h2)h

令：/=》[九(—2丸)+2?—r]=万口2一3丸2]=。nL=h=^L

R=2:当h=g,R=怖工时其体积最大。

6.一体积为V的圆柱体，间底半径与高各为多少时表面积最小？

设园柱体半径为R,高为h,则体积

Y二版hS表面积=2成”+2成2=2：+2成2

n上=KnR=

令；S'=—2VR-2+4成=0

2〃A

答：当R=:---时表面积最大。

7.欲做一种底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设底连长为x,高为h。则：

62.5=x2/z=h='I

x

250

侧面积为：S=x2+4xh=x2+——

令S'=2x------=0=>x，=125=>x=5

x

答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。

(四)证明题

1.当x>0时，证明不等式x>ln(l+x).

、丁ln(l+x)ln(l+x)-ta11广八、

证：由中值定理得：------=-----------=-----<1(•.<4>0)

X(l+x)-l1+J

=>“0+X)<1nx>ln(l+x)(当x>0时)

x

2.当x>0时，证明不等式e*>x+l.

设/"(x)="-(x+l)

/(x)="-1>0(当x>0时>=>当x>0时/\x)单调上升且/(0)=0

二/(x)>0,即e*>(x+1)证毕

【高等数学基础】形考作业4答案：

第5章不定积分

第6章定积分及其应用

(-)单项选择题

1.若/(%)的一种原函数是L则/'(x)=(D).

X

.ill112

A.InxB.-----C.—D.——

XXX

2.下列等式成立的是(D).

Aj/,(x)dx=/(x)B.j'd/，(%)=/(x)C.dj/(x)dx=f(x)D.白/(x)ck=/(x)

3.若/(%)=cos%,贝！jj/'(x)dx=(B).

A.sinx+cB.cosx+cC.—sinx+cD.—cosx+c

4.Ax2/(x3)dx=(B).

dx

A/2B3/2C.1/(X)d.l/(%3)

5.若j/(x)dx=F(x+)c,贝(B).

A.F(Vx)+cB.2F(Vx)+cC.F(2A/X)+cD.—^F(Vx)+c

6.由区间［a,切上的两条光滑曲线y=/(x)和y=g(x)以及两条直线x=a和尤=〃所围成的平面区域的

面积是(C).

brb

"(X)-g(x)]dxB.j[g(x)—/(x)]dx

aJa

fb