2024届“皖南八校”高三第二次大联考数学试卷带答案

2024届“皖南八校”高三第二次大联考6.已知数列｛%｝是递增数列，且a,,€N"，数列｛aj的前〃项和为S”,若0。=67，则%的最大值为

A.5B.6

C.7D.8

数学7.已知/(2)是定义在R上的偶函数,函数g(z)满足g(x)+g(一力=0,且/(工),g(z)在

(—8,0］单调递减，则

A.在［0,+8)单调递减B.g(g(z))在(-8,01单调递减

.

热C.g(y(z))在［0,+8)单调递减D./(/(工))在(-8,01单调递减

濠考生注意：

8.已知点P在直线工+?—6=0上，过点P作圆O：x2+y=4的两条切线，切点分别为A,B,

O1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。1242

点M在圆+(，+旬=1上，则点M到直线AB距离的最大值为

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

.:滋A.&B.-754-1

中题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

C.2A/2D.272+1

因3.本卷命题范围：春*■孟南。''.................................’’‘.

部

照二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

一、选择题:共8小题,每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合

9.下列说法正确的是

题目要求的.A.一组数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位数为8.5

地

1.已知集合”={工€V一4工一540},N={H|04T44},则MDN=B.在回归分析中，可用决定系数R2判断模型拟合效果,、越小,模型的拟合效果越好

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.若变量£服从N(17,4),P(17VW18)=0.4,则P(e>18)=0.1

网

C.{i|04r&4}D.{x|14%44}D将总体划分为2层,通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为品，品和

中bb

K2.形如我们称为“二阶行列式”，规定运算=ad-6c,若在复平面上的一个点A£4,若云=三,则总体方差/=y<s?+sl)

皋dd

姓Z1-i10.已知函数/(x)=Asin(“r+0)(A>0,3>0,㈤<手)的部分图象如图所示，且八0)=1,若

区对应复数为z,其中复数z满足=i，则点A在复平面内对应坐标为

l+2i1

B.(2,3)

赛A.(3,2)

C.(-2,3)D.(3,-2)

/辐3.已知动点的坐标满足方程，2：2+3—1)2一)一1=0,则动点M的轨迹是

毂A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆

犯4.已知向量。=(2,稗),匕=(a+1,—1),且。，儿若。=(2,1),则。在，方向上的投影向量的坐

标是

A信，卷)B.陶,-)C.(-1，1)口(一卷,-菅)

.

•11.若函数八幻=。寸+/：+8,既有极大值点又有极小值点,则

爆•:'-'

国-::-,5.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富A.ac<Z0B.bc<C,O

然庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台ABCD-C.a(6+c)VOD.c2+4ab>0

?..AiBCiB,上下底面的中心分别为01和O,若AB=2A】Bi=4,NAiAB=60°,则正四棱台12.已知一圆锥，其母线长为Z且与底面所成的角为60°,下列空间几何体可以被整体放入该圆

:-:.-

二

锥的是(参考数值：偌w1.73,夜心1.41)

:-':A.一个半径为0.28Z的球

-B.一个半径为0.281与一个半径为0.09Z的球

辂

*<:-:C.一个边长为0.45Z且可以自由旋转的正四面体

..

一D.一个底面在圆锥底面上,体积为0.04M3的圆柱

皖八”高三二联•数学第1页(共4页)】HD1“皖人”高三二联•数学第2页(共4页)】HD

三、填空题:共4小题,每小题5分，共20分.20.（12分）

13.二项式（工一2"1+工）”的展开式中，所有项系数和为一256,则/的系数为（用数人工智能（AD是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了

字作答）.一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为加SiCN，）分，每轮答2题,都答对

14.随机变量£有3个不同的取值，且其分布列如下：得1分,仅答对1题得o分，都答错得一1分.若该答题机器人答对每道题的概率均为■，每

4sina4cosa2sin2a

e轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X,当X=2m时，答题结束,机器人挑战成

11

pa功，当X=0时，答题也结束，机器人挑战失败.

4T

（D当，*=3时，求机器人第一轮答题后累计得分X的分布列与数学期望；

则E（f）的最小值为.

（2）当加=4时,求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.

15.已知双曲线E：1一£=l（a>0,b>0）的左,右焦点分别为B,B,过左焦点B作直线I与

双曲线交于A,B两点（B在第一象限），若线段AB的中垂线经过点Fz,且点玲到直线I的

距离为高则双曲线的离心率为.

16.已知函数f（.x）=a\n工+$^一2H+1,Q>0）有唯一零点，则a的值为.21.（12分）

四、解答题:共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图，已知椭圆的左右顶点分别为A、B,P是椭圆M上异于A、B

17.（10分）激

的动点，满足为m•碗=一/，当P为上顶点时,AABP的面积为2.

已知正项数列｛oj的前“项和为S”,且满足2W=%+1,"CN*.

（1）求数列｛%｝的通项公式；（1）求椭圆M的方程；

（2）若数列｛勾｝满足b„=a„+―2一，求数列｛〃｝的前n和T„.（2）若直线AP交直线/：2=4于C点，直线CB交椭圆于Q点，求证:直线PQ过定点.

O-n,%+1

18.（12分）

在中，角A,B,C的对边分别为且〃-a2=ac.

⑴求证:B=2A;郭

⑵如图:点D在线段AC上，且AD=BD=aCD,求cosC的值.

芮

22.（12分）

已知函数/（z）=ae，-e-，，（aeR）.

掰

（1）若外工）为偶函数,求此时,〈外在点处的切线方程；

19.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，棱PAJ_平面ABCD，底面四边形ABCD是矩形,PA=AD=（2）设函数g（z）=/（H）-（a+Dz,且存在办,5分别为gCr）的极大值点和极小值点.

6,点N为棱PD的中点，点E在棱AD上,AD=3AE.（I）求实数a的取值范围；

⑴求证:PCJLAN；（ii）若ae（0,l）,且g（Hi）+kg（Nz）>0,求实数4的取值范围.

（2）已知平面PAB与平面PCD的交线，与直线BE所成角的正切值为方，求二面角

N-BE-。的余弦值.

1"皖人"高三二联•数学第3页（共4页）】HD【“皖八”高三二联•数学第4页供4页）】HD

2024届“皖南八校”高三第二次大联考-数学

参考答案、解析及评分细则

1.B4比一5WO,解得：-所以M={iGN*1W尤W5}={1,2,3,4,5},N={1|OW支W4},所以

MDN={1,2,3,4).故选B.

2.A由题意得之一(l+2i)(l—i)=i,・,•之=3+2i.故选A.

3.C等式变形为不为二1产=了+1，表示动点M(z,jO到点F(O,1)和直线、=—1的距离相等，所以动点

M的轨迹是抛物线.故选C.

4.Aa_Lb,故2(加+1)—m=O,解得加=—2,所以。=(2,—2),则a在c方向上的投影向量为

2X2—2义1(2,1),42、痂、*卜

l=(yy).故选A.

V57555

-4-(AB—AiBi)I

5.B"22AB=2,因为ABCD-A出GA是正四棱台.A8=2A出=4,所以A°=毋AC=

g^AB=27^,A1O1=g^AiBi=北■，所以OOi—JAA彳一(AO—AiOi)之=声，所以该四棱台的体积为V—

AI

•yOOiCSABCD+S]B]C]E)+SABCDSA1B1C1D1)=停(16+4+8)=a.故选B.

6.C因为aaGN*,为使恁取最大，贝ll=1,。2=2,。3=3,々4=4,。6=。5+1，。7=〃5+2,〃8=恁+3,〃9=。5+

400=a5+5,所以Sio—(2i+。2+…+aio=10+6恁+15=67,则(恁)而=7.故选C.

7.C由题意知/(%)在[0,+8)单调递增,g(N)为奇函数，在R上单调递减.设0Wn<%2，则g(%2)Vg(%i)40,

/(g(22))〉/(g(g)),所以/(8(1))在[0,+8)单调递增，故A错误;设须〈支240,则g(ii)>g(12),

目(8(21))<8(8(22))，8(8(1))在(-8,01单调递增，故B错误;不妨设0*亚V/2，则/(©)</(g),

g(/(尤l))>g(/(l2))，所以g(/(G)在[0，+8)单调递减，故C正确；取/(i)=/—1,则/(“£))=

(f一1)2——2))=8,/(/(—1))=—1"("外)在(一8,01可能不单调，故D错误.故选C.

8.B根据题意,设点尸(机,加，则加+〃=6,过点P作圆0：兴+3；2=4的切线，切点分别为A,B,则有OA_L

PA,OBJB,则点A,B在以OP为直径的圆上，以OP为直径的圆的圆心为D(背，夕)，半径一|Op=

'-2+"，则其方程为(尤一勺)+(?--g)=，变形可得f―九)=0,联立

(，可得圆。和圆O公共弦AB为:族r+”-4=0,又由根+〃=6,则有mz+(6一m)了一

\ar~ry-True—ny=Q

(x—v^O999

4=0,变形可得加(1一3/)+6)—4=0,则有八,可解得支=了=W，故直线AB恒过定点Q(W，W)，点

[6y—4=0§33

M在圆C：(iH~~^-)+(y-\^-)=1上,C(——,则点M到直线AB距离的最大值为|CQ|+1=

J(—---1~)+(--3--1~)+1=西+1.故选B.

9.AC对于A,数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11共10个数，因为10义80%=8,因此,这组数据的第80百分位数

为号=8.5,故A正确;对于B,在回归分析中，可用决定系数R的值判断模型拟合效果,R越大,模型的

拟合效果越好，故B错误;对于C,因为变量S服从N(17,/),P(17<fW18)=0.4,则P(f>18)=0.5-

P(17<e<18)=0.5-0.4=0.1,故C正确;对于D,不妨设两层的样本容量分别为加，力总样本平均数为五

贝US?=加第%[4+(五—五)21+加]九[会+传—五)2],易知只有当m=n,~x1=五时，有/(sf+&)，故D

错误.故选AC.

【“皖八”高三二联-数学试卷参考答案第1页(共6页)】HD

10.BD由图象可得A=2,再根据/(0)=2sin中=1,|如<号,故勺=卡，又7=孑>医冗，则0<0(胃，又sX

;/+太=2标/GZ,得3=2,故/(z)=2sin(2i+/).要使g(i)=/(%+〃)为奇函数，则g(O)=/(a)=

0,所以2aH■■^=£兀,£62,得。=等一得，当氏=。时a=-^,当4=1时。=答,B、D符合,其它选项不符

UCi\.U1Li1.乙

合.故选BD.

11.ACD由题知方程f{jc}=a^+c=ae---^=0今碇2"+*—6=0有两不等实根x\q，令t=

A=c2+4a6>0

2

11>0,则方程atct~b=Q有两个不等正实根Zi"2,其中h=e^i,t2=0?，1%+々=一~1>00

a

£由=>0

Ia

d+4a6>0

(6c>0

<ac<0，一、,,…，故ACD正确，B错误.故选ACD.

[a(6+c)=ab-rac<ZO

(ab<0

12.ABC如图1,球Oi与圆锥侧面、底面均相切，球。2与球01、圆锥侧面相切，作圆锥的轴截面如图2,设小

球。半径为n，球Oi与BC边相切于点后,/。34=60°,/。6刀=30°,01瓦113。,所以CO1=2r1,CD=

=

3n=喙2,・"=喀/>0.282,故A正确;设小球。半径为r2，同理可知r2~^n=冬2〉0.091,故B正确；已

知棱长为a的正四面体外接球半径为亨a,则亨。凳一则边长腔痣1：鼻>。.45/,故C正确;如图3,一圆

柱内接圆锥,作圆锥的轴截面如图4,设圆柱底面半径为"高为心则〃=专/一①门，圆柱的体积V(n)=

7td/i=7tH•{-l—/3r3)=/71<7再一23),令1'(厂3)=年江(2/一6£)=0,得r3=0或。=(/，则体积在

13.-48令h=1可得二项式(工一2)(1+/”的所有项系数和为一2”=—256,所以附=8.二项式(1+工尸的展

开式的通项公式为7；+1=&•炉，r=O,l,…,8,所以(z—2)(1+1)"的展开式中的系数为C—2魅=

—48.

14.—:依题意知a=[-，则E(f)=sina+cosa+sin2a,设t=sina+cosa=至sin(a+£),贝！]

I2r1

tQ\i-42,72-1»sin2a—(sina+cosa/—1=於-1,所以£；(£)=〃+/—]=(z+—)--1，当力=弧时，

E(£)取最小值一■

15.空设双曲线E的半焦距为C,C>0,\BF2\=\AF21.根据题意得\BF1\~\BF2|=2a*又|AF?|一|

\BFi\-\AFi|=2a,：.\AB\=\BF1|-|AFj=4a,设AB的中点为C,在△ACF?中，|CF?|=V5a,

\AC\=2a,：.|AF2|=，(2a)?+(而a)：=3a,则|AFi|=a,|CFj|=3a,根据|CR|+|CF?|?=|居F?/,

r皖八”高三二联•数学试卷参考答案第2页(共6页)】HD

可知(3a)2+C/^a)2=(2C)2,.*.e=—=.

aN

16.2由题意知<2In=1有唯一解,龙〉0,故言]'=2]—1—aln<z=lne2j?—Ine-Inxa=ln袅J，设

与=Z(X>0),即上=lnx,设F⑺=上一Ini,则F\t)=——-当小(0,e)时,F'Q)<0,函数F(z)单调

ereeet

递减；当tG(©,+8)时国'(力>0,函数F⑺单调递增;F(力!!1山=尸(©)=0,故方程5=111t有唯一解方=e,

即旦~^=e有唯一解，即alnI=一2有唯一'解，设g(%)=alnx—24+2,g'(%)=-2,。〉0,当

exx

iG)时,g'(z)>o,函数g(l)单调递增；当(号，+8)时,gL<o,函数g(l)单调递减;当i趋

近于0和1趋近于+8时,g(%)趋近于一8,故只需满足g(~1~)=a\n—。+2=0,设h(a)=aln—。+

2,/i'(a)=ln,当aG(0,2)时,，(。)<0,函数7I(Q)单调递减；当aS(2,+oo)时,，(a)>0,函数次a)单调

递增;故人(a)min=%(2)=0,故a=2成立.

17.解:⑴由2石=④+1得S"=!(a〃+1)2,则m=卷3+1)2,解得「1,

22

当二22时,S〃_i+1)2,所以an=S„—S„-1=-^-(<2„+1)i-(a„-i+1),

整理得(a〃~an-i)(a„+(2„-i)=2(an+a„-i),

因为｛an>是正项数列，所以〃"+④-1〉0,所以an—a„-i=29

所以&｝是首项为1,公差为2的等差数列,所以为=1+25—1)=2"—1,"GN*.5分

(2)由(1)可得皿”=2〃-1,

所以+=⑵_1)2(2〃+1)=2〃—1+白一熹,

所以T=”(1+2〃-1)+(」---L_[--1---1--|----1----1-------—)

所以"2十(13十35十十2L12〃+1)

]

=n2-Fl—

2驾+1

="十^TT...........................................................................10分

22

18.(1)证明：由余弦定理得/+c-b=2accosB,

22

又"一a=ac,可得c~ac=2accosB,即c—a=2acosB,

由正弦定理得sinC—sinA=2sinAcosB,

而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入上式，

可得sinA=cosAsinB一sinAcosB=sin(B—A),

所以A+B—A=7T(舍)或A=B—A,

即B=2A................................................................................6分

(2)解：因为B=2A,AD=BD,所以NA=/ABD=NCBD,

由正弦正理得而=sin/C=而左=1.

而8£>=母8,可得a=2c,

代入b2~a2=ac,可得b=Ac,

由余弦定理得cosd艺JC2=，c)2£!：-=*.................................12分

19.(1)证明：因为PA_L平面ABCO,CDU平面ABC。,所以PA±CD,

又因为四边形ABCD是矩形，所以AD±CD,

因为PAnAD=A，所以CQ,平面FAD,

【“皖八”高三二联-数学试卷参考答案第3页(共6页)】HD

因为ANU平面PAD,所以CDJ_AN.

因为N为PD中点*PA=AD所以PD±AN,

因为PL>nCD=D,所以AN_L平面PCD,

因为PCU平面PCD,所以AN_£PC...............................................................6分

(2)解:在矩形ABCD中,AB〃CD,CDU平面PCD,ABC平面PCD,

所以AB〃平面PCD

又ABU平面PAB.平面PABA平面PCD=/，所以AB//1.

所以I与直线BE所成角即为/ABE.

在RtAABE中,AE=《AD=2,AB_LAE,

所以AB=+,彳口下=4...................................................................................分

tan/A_B上8

以｛麓，病，谶〉为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

则8(4,0,0),E(0,2,0),N(0,3,3),所以差=(—4,2,0),前=(—4,3,3).

设平面BNE的法向量为根=(Z,),n),

(m•BE=-4]+2)=0

则一>，取之=2,可得m=(一3,—6,2).............................................................10分

I机•BRU-4i+3y+32=0

又年=(0,0,6)为平面BDE的一个法向量，

所以cos<m,AP>=--=-^--z=—.

\m\\AP\6X77

9

由图可知,二面角N-BE-。为锐角，所以二面角N-BE-。的余弦值为多.................12分

20.解：(1)当m=3时，第一轮答题后累计得分X所有取值为4,3,2,

(2)当相=4时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A,

此时情况有2种，分别为：

情况①:前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；

情况②:前4轮答题中，得1分的有3轮，得一1分的有1轮，第5、6轮都得1分；

所以P(A)=&(y)X(y)X(y)+01(y)X(y)X(y)=磊,..................12分

21.(1)解:设椭圆上顶点Po(O,6),

贝曝P°A-kp0B=^--£=£=一?，

=

又SMBP0~^X2a6=2,

两式联立可解得Q=2,6=1,所以椭圆M的方程为7十)2=1................................................................4分

(2)证明：设P(处，加)，Q(i2,2)，C(4,力,

当直线PQ斜率不存在时，须=5，例=—北，

则直线AC：岁=-1■(久+2)9BC：y=-^~(^—2),

【“皖八”高三二联-数学试卷参考答案第4页(共6页)】HD

pi=卷（11+2）,

所以，，可解得阳=1,

1一0—2）

此时直线PQ方程为尤=1,过定点（1,0）;.................................................6分

下面证明斜率存在时，直线PQ也经过（1,0）,

法1（设而求点）：

1=春（1+2）,

联立直线AC与椭圆方程X整理得（产+9）/+4於1+位2—36=0,

〕2?=1，

△=16-4（「+9）⑷2—36）＞0,

由韦达定理有N1—2=产驾，即备=号+彳*所以=25+2）=.

所以p点坐标为（军誓,M）；

同理可得Q点坐标为（当言......................................................8分

设点则标=（却普，3）荻=（图,洋），

因为三普-U—普9M=°'所以.〃碱,

所以直线PQ过定点MQ,0）,证毕.........................................................12分

法2（直曲联立）：

当直线PQ斜率存在时,设直线PQ为y=kx+m,

"_

由4pA=卷，々明=|，可知kea=3kpA，而kPA,kpB=

可得上BQ•kPB=—-1■，即一^^•一"2=7----六资---苏=--

4Xi—乙x\—L3—2)5—4)4

整理得3皿12+4)1?2-6(e+42)+12=0①，.............................................8分

(y=kx-\-m

联立直线PQ与椭圆方程

U=1

整理得(4/+1)d+84„u：+4根2—4=0,

所以△=64//—4(4/+1)(452—4)=16(4〃+1—加2)>0,则«2+l>m2,

由韦达定理有4+J：2=-4^+15a1X，i=：々+：②,

——4》2

所以丁1•北=(£©+『)(£12+加)=/乃22+左加(龙1+12)+加2=4,2+]③,.................10分

8km

将②③代人①得3X誓青+4X器著+6X+12=0,

tt2+l

可得（2为+"力（氏+»1）=0,所以m=—2k或„?=—左，

当"z=—24时，直线PQ为》=近一23经过B（2,0）,舍去，

所以加=—3此时直线PQ为、=妨一3经过定点（1,0）,

直线PQ过定点得证......................................................................12分

法3（构造对偶式）：

由kpA=-g-MfiQ=~2，可知卜m=36PA,

又£PA-kpB=--；,由椭圆对称性易知kQA,kQB=--},

所以kpB—3后出，............................................................................7分

【“皖八”高三二联-数学试卷参考答案第5页（共6页）】HD

(北=3义-_

可彳目J—2冗1+2今(©北一3例。=162-2”①

——八/北屋22一3皿2=—22-62②

〔乃