2023-2024学年江西省吉安市桥头中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2023年江西省吉安市桥头中学高二数学理上学期期末

试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知四棱柱池co-44Gq中，侧棱■底面.CD,陷=2,底面四边形

四CD的边长均大于2,且NZXB=45*,点P在底面兑5co内运动且在＜5,上的射

影分别为Af,",若"X|=2,则三棱锥尸-。1村体积的最大值为()

|(2-＞/2)；(0+1)

A.3B.3C.3

；(2+播)

D.3

参考答案：

A

略

2.下列命题中正确的是()

①喏一+.dW0,则x,y不全为零"的否命题

②"奇函数的图像关于原点对称"的逆命题

③“若例＞0,则「一,、;-切=0有实根"的逆否命题

④"矩形的对角线相等"的逆命题

A.①②③B.②③④C.①③④D.①④

参考答案：

A

略

3.定义P1+P2+…+Pn为n个正数pi,p”…p0的''均倒数”.若已知数列瓜｝的前n项的

“均倒数”为2n+l,又“n-4,则bib2b2b3b10bll=()

J__9W_11

A.11B.10C.11D.12

参考答案:

C

【考点】类比推理.

【专题】新定义；点列、递归数列与数学归纳法.

【分析】由已知得ai+a?+…+an=n(2n+l)=S„,求出S.后，利用当n22时，a„=Sn-S„-i,

即可求得通项a,,最后利用裂项法，即可求和.

n二1

【解答】解：由已知得&1+@2+…+&n2n+1,

,e*

/.ai+a2++an=n(2n+l)=Sn

当n22时,an=Sn-Sn-i=4n-1,验证知当n=l时也成立，

••an=4n11,

11-1

bn'bn+lnn+1

：.blb2b2b3biobll=223+(34)+•••+(1011)=1-

110

u=Ti.

故选c.

【点评】本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键.

4.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直

到红球出现10次时停止，设停止时共取了C次球，则P(C=12)等于()

3_5111

A.C/。(石)10?(京)2B."(石)9(京)2?京

_53__35_

C.Cn9(8)9?(8)2D.Cn9(8)9?(8)2

参考答案：

B

【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.

【分析】根据题意，P(&=12)表示第12次为红球，则前11次中有9次为红球，由n次

独立重复事件恰好发生k次的概率，计算可得答案.

【解答】解：根据题意，P(&=12)表示第12次为红球，则前11次中有9次为红球，

53

从而P(&=12)="?(石)9(0)2X~3,

故选B.

【点评】本题考查n次独立重复事件恰好发生k次的概率，解本题须认真分析P(1=12)

的意义.

71

5.在△/%中，a,b,c分别为4B,C的对边，如果e=&r,B=6,那么C等于

nnn

A.TB.TC.6D.7

参考答案:

A

6.直线"a-.2^+1=0经过一定点，则该点的坐标是()

A.(-2,1)B,(2,1)C,(2,-1)D.(1,-2)

参考答案:

A

略

7.若函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()

A.(-1,2)B.(-8,-3)U(6,+8)C.(-3,6)D.(--1)U

(2,+8)

参考答案:

B

【考点】利用导数研究函数的极值.

【专题】计算题；导数的综合应用.

【分析】由题意求导f'(x)=3x2+2ax+(a+6)；从而化函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1

有极大值和极小值为△=(2a)2-4X3X(a+6)>0；从而求解.

【解答】解：(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,

f'(x)=3x2+2ax+(a+6)；

又•函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，

；.△=(2a)2-4X3X(a+6)>0；

故a>6或a<-3；

故选B.

【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题.

8.对于R上可导的函数/(X),若满足则必有()

A.〃0)+/⑵<2/(nBJ(°)+/⑵>2/(1)

C./(0)+/(2)<2/(DD./(0)+/(2)>2/(D

参考答案：

D

9.如图所示，正四棱锥尸一ABC。的底面积为3,体积为，E为侧棱尸。的中点,

则P4与5E所成的角为()

A.B.C.D.

参考答案：

C

连结47、即交于点0,连结阳易得施〃阳.

•••所求角为/鹿〃由所给条件易得加=，OE=PA=,BE=,

：.cosZOEB=,：.NOEB=60°,选C.

£

10.对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶如图所示，给出

关于该同学数学成绩的以下说法：

①中位数为83；②众数为83；③平均数为85；④极差为12.

其中正确说法序号是（）

9I0

A.①②B.③④C.②③D.①③

参考答案：

C

【考点】众数、中位数、平均数.

【专题】计算题；图表型；概率与统计.

【分析】根据已知中的茎叶图，求出中位数，众数，平均数及极差，可得答案.

【解答】解：由已知中茎叶图，可得：

①中位数为84,故错误；

②众数为83,故正确；

③平均数为85,故正确；

④极差为13,故错误.

故选：C.

【点评】本题考查的知识点是茎叶图，统计数据计算，难度不大，属于基础题.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知空间三点A(0,2,3),8(—2,1,6),C(l,一1,5),则心与芯的夹角

为▲

参考答案：

n

3

12.边长为4的正四面体产中，£为％的中点，则平面仍。与平面ABC所成

锐二面角的余弦值为

参考答案：

此

3

略

020

13.不等式组)4TxI+2的解集对应的平面区域面积是.

参考答案：

4

略

在

14.在△ABC中，边AB=2,它所对的角为60°,则此三角形的外接圆直径

为.

参考答案：

1

【考点】正弦定理.

【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形.

【分析】直接利用正弦定理求出三角形的外接圆的直径即可.

V3

2

AB近

【解答】解：由正弦定理可知：2R=sin60°=~2^1.

故答案为：1.

【点评】本题是基础题，考查三角形的外接圆的直径的求法，正弦定理的应用，考查计算

能力.

15.青年歌手大奖赛共有10名选手参赛，并请了7名评委，♦||z

如图

gf14•I4<4•9

是7名评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩的

茎叶图，

去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙选手剩余数据的平均成绩

分别为.

参考答案：

84.2,85；

16.已知椭圆4’¥的短轴长为2,离心率为2,设过右焦点的直线।与

椭圆C交于不同的两点4",过48作直线x=2的垂线〃JQ,垂足分别为上0,

ZAP^HQ

记PQ,若直线1的斜率.4上4有，则N的取值范围为.

参考答案：

乎后

M-y-i-liO

17.已知实数x,y满足,若使得ax-y取得最小值的可行解有无数个，则实

数a的值为.

参考答案：

1或

【考点】简单线性规划.

【分析】作出不等式组表示的平面区域，令z=ax-y,则y=ax-z则-z表示直线y=ax-z

在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合图象可求a的范围.

【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：

若使得ax-y取得最小值的可行解有无数个，结合图象可知，

1

则z=ax-y,与约束条件的直线x-y+l=O与x+2y-8=0平行，a=l或2

故答案为：1或-2.

x-2y~8=0'x-y-l=0

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1〜50编号，

并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样.

(1)若第5组抽出的号码为22,写出所有被抽出职工的号码；

(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样

本的方差；

(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(N73公斤)的职

工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率.

81

703689

6257

59

参考答案:

⑴由题意，第5组抽出的号码为22.

因为k+5X（5—1）=22,所以第1组抽出的号码应该为2,抽出的10名职工的号

码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.

（2）因为10名职工的平均体重为

10(81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71,

22222222222

所以样本方差为：s=-0(10+1+2+5+7+8+9+6+4+12)=52.

(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取

法:(73,76),(73,78),(73,79),(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),

(78,79),(78,81),(79,81).

记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A,它包括的事件有(73,76),(76,78),

(76,79),(76,81)共4个.

4__2

故所求概率为p（A）=i^'5.

19.

甲108999

乙1010799

（本小题满分12分）

甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如

下表（单位：环），如果甲、乙两人中只有1人入选，计算他们的平均成绩及方

差。问入选的最佳人选应是谁？

参考答案：

解：甲、乙、两人成绩的平均数分别为

==9

==9

故二人的平均水平相当........4分

甲、乙两人成绩的方差分别为

S=[(10-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(9-9)2]=0.4..............7分

22

S=[(10-9)+(10—歹+(7-9尸+(9—歹+(9-9)]==1.2..............10分

S<S

显然甲的成绩比乙稳定。

所以入选的最佳人选应是甲.............12分

20.(10分)用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中的3个正方形随机涂色，每个正方形只涂

一种颜色，求：

(1)3个正方形颜色都相同的概率；

(2)3个正方形颜色都不同的概率.

参考答案:

(1)<)；(2)<).

21.已知集合Af={/(x)|在定义域内存在实数X。，使得/(%+】)=>/(/)+/(»成立}

/(x)=l

(I)函数-X是否属于集合M?说明理由；

(II)证明：函数/(x)=2F%Af；.

/(x)=1g——€M

(III)设函数・2'+1,求实数a的取值范围.

参考答案：

11,1

-----=—+一，

解：(1)假设了⑶^时，则存在%,使得/+1X。1

即X；+041=］，而此方程的判别式△=1-4=-3<0,方程无实数解，

令岭)=/(x+l)-〃x)-/(l),

则方(x)uZZ+G+O*-2*-xi-2—2(2,-1+x-1),

又A(0)=-L%(D=2,故以0)翻1)<0,

A(x)=/(x+l)-/(x)-/O)=0在上有实数解而，也即存在实数加使得

/(4+1)=/(/)+/①成立,

.•J(X)=2F%M。

因为函数2+1

a.a

1g--------1g2、+1+95,

所以存在实数%,使得-4+1=-

aaa父2**+1)3(2*+1)

2%'】+1=2'・+13,所以，+12x2**+1,

一%+1)「3|3

令£=2",则t〉0,所以，a21+122(2t+l),

3>

-vav3

由t>0得2,即a的取值范围是

略

/(l^=aBX€O5K-COi