高考数学考前20天终极冲刺模拟卷（解析版）含解析

考前20天终极冲刺高考模拟考试卷（1）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

I.已知集合"=口|炉-2>-8<0},7V={x|/nr>0）,则M[N=（）

A.{x|-4<x<1}B.{x|-2<x<l}C.{X|1<X<2）D.{X|1<X<4}

2.若z=l+i,则Z,Z"=（）

z

A.2B.-2C.2/D.-2i

3.如表记录了某产品的广告支出费用尢（万元）与销售额y（万元）的几组数据:

X2356

y15t4045

根据上表数据求出y关于x的线性回归方程为y=7x+2,则表中的/值为（）

A.30B.26C.23D.20

4.已知cos（x一生）=3,贝ijcos（竺一x）=（）

353

3c3c4

A.—B.—C.-D.—

5555

5.在平行四边形ABC。中，AB=2,AD=#），点F为边8的中点，若4尸.。尸=0，则

BFAC=O

A.4B.3C.2D.1

6.学生李明上学要经过4个路口，前三个路口遇到红灯的概率均为《，第四个路口遇到红

灯的概率为:，设在各个路口是否遇到红灯互不影响，则李明从家到学校恰好遇到一次红灯

的概率为（）

A.—B.-C.—D.-

244248

7.四棱锥P-ABCZ）中，底面ABCD为矩形，体积为与，若丄平面A88,且R4=2,

则四棱锥P-A8co的外接球体积的最小值是（）

A160625^„20百

A.-----7rBR.7C.1254Dn.--------1

3163

8.己知实数4，6满足。=1幅4+1。亂9,5"+12"=13",则下列判断正确的是（）

A.a>h>2B.b>a>2C.2>h>aD.a>2>h

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9.已知（3-2x）7=4+q（x—l）+a?。-I）?+则下列结论正确的是（）

A.q）=lB.ai+a2++4+%=—1

C.a。-4+生一+。6_%=3，D.4=—7

10.设x>0,y>o,则下列结论正确的是（）

A.不等式（工+'）（一+—）..4恒成立

B.函数八幻=3'+3一）的是小值为2

x1

c.函数。:，的最大值为:

X-+3x4-15

D.若x+y=2,则宀的最小值为:

2x+ly+16

11.已知曲线C:tnx2+ny2=1.（）

A.若〃。〃>0,则。是椭圆，其焦点在y轴上

B.若〃z=〃>0,则C是圆，其半径为厶

C.若〃加<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±旧X

D.若机=0,〃>0,则C是两条直线

12.在AA8C中，"，b,。分别是角A,B,C的对边，其外接圆半径为尺，内切圆半径

R

为r=3,满足acosA+bcosB+ccosC=w,AA8C的面积48c=6,则（）

A.Q+0+C=4B.R=6

C.sinA+sinB+sinC=—D.sin2A+sin2B+sin2C=-

63

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩J服从正态分布M105,。2）（。>0）,

若<120）=0.75,则P（9源1120）=.

14.在平行四边形ABCD中，E为线段8的中点，AP=yAD,AQ=xAB,其中x,yeR,

且均不为0.若PQ//8E,则)=.

X

15.辽宁省2021年的新高考按照“3+1+2”的模式设置，“3”为全国统一高考的语文、

数学、外语3门必考科目：“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在

思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目.则甲，乙两名考生在选考科目中恰有

两门科目相同的方法数为.

16.在数列｛七｝中，4=1,当几.2时，%=4+10,+?/++」二则数列他“｝的通

23n-1

项公式为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在AABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边.在①(2«—c)cos8=0cosC；

②出BABC=2SMBC；③sin8+sin(8+至=6这三个条件中任选一个，作出解答.

(1)求角3的值；

(2)若A4BC为锐角三角形，且厶=1,求AABC的面积的取值范围.

18.设S,为数列｛%｝的前"项和,已知q=2,对任意“eN*,都有2s,=(〃+1)%.

(1)求数列伍“｝的通项公式;

4

(2)若数列｛｝的前〃项和为I,

”“（4+2）

①求T”；

a

②若不等式苏(对任意的“eN*恒成立，求实数机的取值范围.

19.己知等腰直角AS4B,%=AB=4,点。，“分别为边S3,SA的中点，沿CD将A5C。

折起，得到四棱锥S-ABCD,平面SCD丄平面

(I)过点。的平面a//平面SBC,平面a与棱锥S-舫CD的面相交，在图中画出交线;

设平面a与棱SA交于点M,写出労的值(不必说出画法和求值理由)；

MA

(II)求证：平面S5A丄平面SBC.

20.为了对学生进行劳动技术教育，培养正确的劳动观点和态度，养成自立、自强、艰苦奋

斗的思想作风，加强理论联系实际，使学生掌握一定的生产知识和劳动技能，某学校投资兴

建了甲、乙两个加工厂，生产同一型号的小型电器，产品按质量分为A,B,C三个等级,

其中A,3等级的产品为合格品，C等级的产品为次品.质监部门随机抽取了两个工厂的

产品各100件，检测结果为：甲厂合格品75件，甲、乙两厂次品共60件.

(1)根据所提供的数据完成下面的2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为产品的合格

率与生产厂家有关？

合格品次品合计

甲厂

乙厂

合计200

(2)每件产品的生产成本为30元，每件A,B等级的产品出厂销售价格分别为60元，40

元，C等级的产品必须销毁，且销毁费用为每件4元.若甲、乙两厂抽到的产品中各有10

件为A级产品，用样本的频率代替概率，分别说明甲，乙两厂是否盈利.

2

5n(ad—he)亠,

附：«=(〃+力(c+")(a+荷(6+d)'其中〃=a+"c+d-

20.1000.0500.0100.005

P(K..k0)

k。2.7063.8416.6357.879

21.已知焦点为尸的抛物线C:y2=2px(p>0)经过圆D:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)的圆

心，点£是抛物线C与圆。在第一象限的一个公共点，且|EF|=2.

(1)分别求P与「的值；

(2)点M与点E关于原点O对称，点A,8是异于点O的抛物线C上的两点，且M,A.

3三点共线，直线E4,分别与x轴交于点p,Q,问：IP尸I”。尸I是否为定值？若为

定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

22.已知函数f(x)=J-/"(or-a)+l(a>0)(e为自然对数的底数).

a

(I)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率；

(II)若f(x)>0恒成立，求实数”的取值范围；

(IH)设函数g(x)=/"(x—1)一5一1,且〃*)=/(x)+g(x).若玉，々为函数函“)的两个零

点，且力(幻的导函数为〃'*),求证：//(土豊)<0.

2

考前20天终极冲刺高考模拟考试卷(1)答案

1.解：M={x|-2<x<4},N={x|x>l},

故选：D.

2.解：因为z=l+i,

由口产巨―2i(l+z)(l-z)-2z2—2，2(1-冴

所以-------=-------------=-----=----------=-2/.

Z1+/1+Z(14-0(1-0

故选：D.

3.解：由已知可得：x=-(2+3+5+6)=4,

4

代入9=7X+2,得》=3。，

:15+1+40+45=30x4,

解得：f=20,

故选：£>.

TT3

4.解：因为cos(x——)=-,

35

所以COS(半_x)=COS[万一(X—g)]=-COS(X_3)=_1.

故选：A.

5.解：在平行四边形ABCD中，AB=2,AO=石，点尸为边CD的中点，若AF.。尸=0,

可知AF丄M，建立如图实数的坐标系，则B(2,0),C(l,0),F(0,2),

BF=(-1,2),AC=(1,2),

所以8尸-AC=-lxl+2x2=3.

故选：B.

6.解：学生李明上学要经过4个路口，前三个路口遇到红灯的概率均为;，第四个路口遇

到红灯的概率为g,

设在各个路口是否遇到红灯互不影响，

，李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为：

p=*)(i一吴(1一扣(1一吴x

故选：A.

7.解：底面为矩形的四棱锥P-AB8的体积为与，若R4丄平面ABC。，且*2,

可得底面面积为：8,设BC=b,则H?=8,

四棱锥的外接球就是扩展的长方体的外接球，尸。就是外接球的直径，

可得：2R=厶2+/+22..j4+2"=，4+2x8=2逐，当且仅当a=b=20，取等号,

R..A/5•

外接球的体积的最小值为：网x(&)3=3返.

33

故选：D.

log,92

8.解：a=log；4+log,29=log,4+-~--=log34+—~

iog312l+log,4

(logs4)2-log.,4

故a-2=log,4+-------------2=

1+log,41+log,4

2

log,4>log,3=1,(log,4)>log34,

故a-2>0,即。>2,

5"+12"=13"，且a>2,

r.13">52+O=圧，2,

令g(x)=5*+12*—13*(x>2),

2222J2X-2

则g(x)=52•+12!2,々-13-13,-2<(5+12)-l2--16913<0,

故134=5"+12"<13",即a>6,

故a>6>2,

故选：A.

9.解：令x=l时，则(3-2)7=/=1,故A正确；

令x=2时，得(3-4)7=%+q+…+%=-1,所以4+/+…+%=_]—=,故8错误,

令x=0时，得4-6+%-…+q-%=3,，故C正确，

令x-1=♦时，则(3-24=(1-2/)7的展开式的通项公式为*=(-2)/了，

所以必=(-2)64=448,故。错误，

故选：AC.

10.解：因为x>0,y>0,

(x+y)(-+-)=2+^+-..4,当且仅当上=2时取等号，A正确；

xyxyxy

因为3*>1，则/（X）=3*+3一。.2打•3f=2,当且仅当3*=3一3即x=0时取等号，但x>0,

故5错误;

7^二F”彳三当且仅当xj即z时取等号，C正确;

因为x+y=2,所以2x+2y=4,

则

11121z12、八，一、、1-2y+22x+l1”、

1=1=-(1)(2x+1+2y+2)=—(3+1-(34-2,

2x4-1----y+12x+l---2y+2---72x+l---2y+272x+l----y+l----7

当且仅当誓!=上4时取等号，。错误.

2x+1y+i

故选：AC.

02

ii^2.22-1

ii.解：A.若根>〃>0,则丄(丄，则根据椭圆定义，知丁]表示焦点在y轴上的

mn

tnn

椭圆，故A正确;

B.若m=">0,则方程为f+y2=±,表示半径为的圆，故B错误;

—+—=1

C.若〃7V0,〃>0,则方程为丄丄，表示焦点在）'轴的双曲线，故此时渐近线方程

若根>0,〃<0,则方程为T+T=1,表示焦点在X轴的双曲线，故此时渐近线方程为

tnn

y=土，1勺,

n

故c正确；

D.当帆=0,〃>0时，则方程为y=±丁表示两条直线，故£)正确；

7n

故选：ACD.

13

12.解：因为％=/(a+h+c)"=/(a+6+c)=6,解得：a+b+c=4,故A正确；

R

acosA+hcosB+ccosC=—,

R1

所以2HsinAcosA+2Rsin3cos3+2HsinCcosC=—,即sin2A+sin2B+sin2C=-,。正

确;

若A4BC为锐角三角形，S=-R2sin2A+-R2sin2B+-R2sin2C=-7?2-=6,

MBC22223

所以R=6,若AABC为直角三角形或钝角三角形时可类似证明，故5正确;

ma+b+C—c._

因为----------------=2/?=12,

sinA+sin3+sinC

所以丄，故

sinA+sinB+sinC=C错

3

故选：ABD.

13.解：；学生的数学成绩J服从正态分布N(105,〃)(b>0),P(^<120)=0.75,

<90)=>120)=1-0.75=0.25,

则「(频听120)=1-0.25x2=0.5.

故答案为：0.5.

14.解：如图所示，

.ABC力中，E为C£)的中点，AP=yAD,AQ=xAB,

所以PQ=AQ-AP=xAB-yAD,

BE=BC+CE=AD+-CD=--AB+AD,

22

又PQ//BE,

所以xT-(-/)•(—y)=0,解得2x=y,

又xxO且"0,所以2=2.

X

故答案为：2.

15.解：根据题意，分2种情况讨论：

①甲乙两人选考科目相同的1科在物理或历史，另1科在“思想政治、地理、化学、生物学

4门”中，C；C：&=48种方法，

②甲乙两人选考科目相同的为“思想政治、地理、化学、生物学4门”中两科，有C；&=12

种方法，

则甲，乙两名考生在选考科目中恰有两门科目相同的方法有48+12=60种，

故答案为：60.

16.解：由于数列｛。“｝中，4=1,当”..2时，a=a+—-a,+—a；+H----~a„-t<①

n]23n-\

当〃=2时、%=4=1,

当几.3时，=q+1旳+1％++」■有。〃-2②，

23n-2

①一②得：见「%=-^—afl_l(n.,3),

n-\

an

整理得亠=-7s..3),

%〃T

所以《=殳〃..3),

当”=2时，满足该通项公式，

当”=1时，不满足通项，

1(〃=1)

故为=(”,.、•

2(“•⑵

1(〃=1)

故答案为：a“=*〃.

-(«..2)

12

17.解：(1)若选择条件①，

由正弦定理得：2sinAcosB—sinCeosB=sinBcosC,即

2sinAcosB=sinCeosB+sinBcosC=sin(B4-C)=sinA,

又AG(0,^r),可得sinA>0,

1_jr

cosB=—,由5w(0,%)，可得5=,.

若选择条件②，

6BABC=2S故BC，

...RoccosB=2­—acsinB,

2

sinB=\/3cosB，

8e(0,〃)，tanB=6，可得8=q.

若选择条件③，

]-U^3

sinB+—sinB+cosB=V3,

22

61jr

••—sinBT—cosB=1,可得sin(8+—)=1,

226

B£(0,4)，可得B+看e717"

IN"

_7TTC—|*zpq_7V

BT—=—，可彳导3=一,

623

，■亠亠/ahc2

(2)由正弦定理得：—7=—T=—=,

sinAsinBsinC

22

.a=—?=sinA,c=—^sinC,

y/3y/3

S=-acsinBsinAsin(--A)=—sin(2A-,

2V336612

锐角三角形ABC,

0<A<-

271,7t

=>—<A<—,

2乃7t62

0<C=------A<-

32

•••2A—金(J,*

66

S

18.解：(1)q=2,对任意〃wN*,都有2s“=(〃+1)4，

当九.2时,2s“t=nan_}

可得2afi=2S〃-2S-1=5+i)atl-nat

化简可得出(九.2),

n

••・熟练｛组｝为常数列，又2=2,

n!

—=2,即4=2",neN*；

n

441

(2)①令2=

an(arl+2)2n(2n+2)n(n+1)'

则a=

n{n+1)n〃+1

11n

可得前〃项和为7；=1-----1-------------F...H-------

223nn+l〃+l

_n_1

②，"-〃+l-i丄1在〃eN*上为增函数,

1-r一

n

Q41

若不等式"，—，〃一7；对任意的”eN*恒成立，则4-m-±

即a2-机-2,0,解得一掇如2.

即实数机的取值范围是[T,2].

19.解：(I)平面。与棱锥S-M8的交线如图所示，含=1.

MA

(II)证明：未折起时，在等腰直角AS4B中，CD是AS4B的中位线，

所以CE>//AB,S.CD=-AB=2,

2

所以NSl=ND4B=90。，即8丄S4,

折起后仍满足8丄SD,CDYAD,

折起后，因为平面SCDC平面他CZ)=Cr>,且8丄SZ),所以SD丄平面AfiCZ),

又AOu平面ABC。，所以S。丄A£>,综上所述，直线4),SD,CD两两垂直，

故可建立以点。为原点，A4为x轴，10c为N轴，DS为z轴的空间直角坐标系，如图,

由题意可得。(0,0,0),A(2,0,0),5(0,0,2),C(0,2,0),B(2,4,0),

则S8=(2,4,-2),A8=(0,4,0),CB=(2,2,0),

设平面SAB的法向量为〃?=(X1,必，zj,平面SBC的法向量为"(％,y2,z2),

m-SB=0%=0

则可得令X=1可得加=(1,o,1),

n-CB=02Xj+4y_2Z]=0

n-SB=0\2x>+4y9-2z?=0

(，可得£+2%=。一,令日，可得〃=(】，f»

n-CB=0

因为血”=1+0-1=0,

所以zn丄〃，

所以平面S8A丄平面SBC.

20.解：(1)2x2列联表如下:

合格品次品合计

甲厂7525100

乙厂6535100

合计14060200

----------------------------------------------------------------------------------------------------(2分)

因为宀端篇需A…,

(4分)

所以没有95%的把握认为产品的合格率与生产厂家有关....................(6分)

(2)对于甲厂，抽到的100件产品中有A等级产品10件，B等级产品65件，C等级产品

25件,

设生产一件产品的利润为X元，则X可能取得的值为30,10,-34,X的分布列为:

X3010-34

P0.10.650.25

因为E(X)=30x0.1+10x0.65+(-34)x0.25=1>0,

所以甲厂能盈利."''——••---—-.(9分)

对于乙厂，抽到的100件产品中有A等级产品10件，8等级产品55件，C等级产品35件,

设生产一件产品的利润为y元，则y可能取得的值为30,10,-34,y的分布列为：

Y3010-34

P0.10.550.35

因为E(y)=30X0.1+10X0.55+(-34)x0.35=-3.4<0,

所以乙厂不能盈利.---------------......--------------------------(12分)

21.解：(1)由已知得抛物线C过点。(4,-4),所以16=8。，解得，=2,

所以抛物线的方程为V=4x,设E(x0,%)(%>0),

则|历|=%>+1=2,所以%=1,于是%=庆=2,即E(l,2),

将E的坐标代入圆D的方程，得戸=(1-4)2+(2-4)2=13,

所以r=V13;

(2)设A.,y),B(x?,y2),由已知可得M(T,-2),

由题意可得直线AB的斜率存在且不为0,

设直线的方程为>=Mx+1)-2**0),

由尸=尸八c可得砂2-4y+4"8=0,

[y=k(x+l)-2

△>。，BPk~-2k—1>0>可得1—>/2<k<1+>/2，

48

因为A,B异于O,所以Zw2,则乂+%=：，扌必=4-丁，

kk

因为A,8在抛物线上，

可得y>=4X|,y>2=4x,，

k=y,-2=y,-2=44

则占-i支一］y+2，噎=73姮，

因为EF丄x轴，

pppp4

所以I尸用IQF冃厂II厂l=「1n

(EAKEBIKEAKEBI

-8