中考数学复习高频考点精讲精练（全国通用）：二次函数（解析版）

专题16二次函数

一、二次函数的图象特征及性质

【高频考点精讲】

关系式一般式（aWO）顶点式y=a(x-/z)2+攵(a#0)

开口方向当。>0时，抛物线开口向上；当"VO时，抛物线开口向下。

b4ac-b2

顶点坐标(h,k)

2a4a

b

对称轴直线直线x=h

2a

b

x<----时，y随x增大而减小；x<h时，y随x增大而减小；

2a

a>0

x>—2时，y随X增大而增大。x>h时，y随x增大而增大。

2a

增减性

b

x<——时，y随x增大而增大；x<h时，y随x增大而增大；

2a

a<0

X>—2时，y随x增大而增大。x>h时，y随x增大而减小。

2a

、命b24ac-b2

。〉0当x—时，y最小值=。当x=h时，y最小值=%。

2a4a

最值

、“b.4ac-b2

«<0当x=------时,y品大他=--------o当x=h时，y最大值二々。

2a最大值4a

【热点题型精练】

1.（2022•株洲中考）已知二次函数），=«?+"-c（aWO）,其中b>0、c>0,则该函数的图象可能为（）

解：Vc>0,

-c<0,

故4,。选项不符合题意;

当”>0时，

'：b>0,

对称轴x=<0,

故8选项不符合题意;

当。<0时•，b>0,

♦,•对称轴x=-2^>0，

故C选项符合题意，

答案：C.

2.(2022•哈尔滨中考)抛物线y=2(x+9)2-3的顶点坐标是()

A.(9,-3)B.(-9,-3)C.(9,3)D.(-9,3)

解：'：y=2(.r+9)2-3,

抛物线顶点坐标为(-9,-3),

答案：B.

3.(2022•广州中考)如图，抛物线>=以2+或+'(a#0)的对称轴为x=-2,下列结论正确的是()

A.a<0

B.c>0

C.当x<-2时，y随x的增大而减小

D.当尤>-2时，y随x的增大而减小

解：；图象开口向上，

.,.67>0,故A不正确；

•.•图象与y轴交于负半轴，

.,.c<0,故8不正确；

•.•抛物线开口向上，对称轴为直线x=-2,

...当x<-2时，y随x的增大而减小，x>-2时，y随x的增大而增大，

故C正确，。不正确：

答案：C.

4.(2022•陕西中考)已知二次函数了=/-2x-3的自变量xi,X2,刈对应的函数值分别为yi,)2,>3.当-1<XI

<0,1<X2<2,用>3时，yi,y2,y3三者之间的大小关系是()

A.y\<y2<y3B.y2Vy3VyiC.y3<yi<y2D.y2<y\<y3

解:•抛物线y=f-2x-3=（x-1）2-4,

，对称轴x=l,顶点坐标为（1,-4）,

当y=0时，（x-1）2-4=0,

解得x=-1或x=3,

・••抛物线与x轴的两个交点坐标为：（-1,0）,（3,0）,

・••当-IVxiVO,1<X2<2,13>3时，y2<y\<y3,

答案：D.

5.（2022•郴州中考）关于二次函数y=（x-1）2+5,下列说法正确的是（）

A.函数图象的开口向下

B.函数图象的顶点坐标是（-1,5）

C.该函数有最大值，最大值是5

D.当x>l时，y随x的增大而增大

解：y—（x-1）2+5中，

/的系数为I,1>0,函数图象开口向上，A错误；

函数图象的顶点坐标是（1,5）,8错误；

函数图象开口向上，有最小值为5,C错误；

函数图象的对称轴为x=l，x<l时y随x的增大而减小；x>l时，y随x的增大而增大，Q正确.

答案：D.

6.（2022•衢州中考）已知二次函数y=a（x-l）2-a（“#0）,当-1WxW4时，y的最小值为-4,则a的值为（）

14141

A.一或4B.一或一尚C.一号或4D.一卷或4

2323Z

解：y=a（x-1）2-。的对称轴为直线x=l,

顶点坐标为（1,-4）,

当〃>0时，在-1WXW4,函数有最小值-a,

的最小值为-4,

/--a=-4,

，。=4；

当aVO时，在-1W元W4,当工=4时，函数有最小值，

：.9a-a=-4,

解得a--

综上所述：a的值为4或-分

答案：D.

7.(2022•岳阳中考)已知二次函数卜=加』-4机2'-3(胆为常数，/nWO),点、P(xp,»)是该函数图象上一点，

当0W布W4时，ypW-3,则，〃的取值范围是()

A.或机<0B.m21C.，/-1或m>0D.〃zW-1

解：二次函数？=,小-4m2x-3,

...对称轴为x=2m,抛物线与y轴的交点为(0,-3),

；点P(xP,yP)是该函数图象上一点，当0WxpW4时，ypW-3,

...①当山>0时，对称轴x=2m>0,

此时，当x=4时，yW-3,即,“•42-4,"2.4-3W-3,

解得，“21；

②当m<0时，对称轴x=2〃?V0,

当0WxW4时，y随x增大而减小，

则当0Wx°W4时，后-3恒成立；

综上，，”的取值范围是：，"N1或"?<0.

答案：A.

8.(2022•盐城中考)若点PGw,n)在二次函数y=?+2r+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2,则”的取值

范围是W0.

解：y—x2+2x+2=(jc+1)2+1,

.•.二次函数y=/+2x+2的图象开口向上，顶点为(7,1),对称轴是直线x=-l,

■：P(m,n)到y轴的距离小于2,

-2<m<2,

而-1-(-2)<2-(-1),

当？n=2,n—(2+1)2+1=10,

当m--1时，n—1>

：.n的取值范围是

答案：l^n<10.

9.(2022•长春中考)已知二次函数尸-7-2x+3,当a^x<拊，函数值y的最小值为1,则。的值为-1-V3.

解：Vy=-x2-2r+3=-(x+1)2+4,

.••图象开口向下，顶点坐标为(-1,4),

根据题意，当时，函数值y的最小值为1,

当y=l时，-(x+1)2+4=1,

.*.x=-1±V3,

V-1+V3>1,

，-1-V3；时，函数值y的最小值为1,

：.a=-1-V3.

答案：-1一代.

10.(2022•北京中考)在平面直角坐标系中，点(1,加)，(3,〃)在抛物线y=4/+/»+c(«>0)上，设抛物

线的对称轴为直线x=f.

(1)当c=2,时，求抛物线与y轴交点的坐标及，的值；

(2)点(xo,m)(xoWl)在抛物线上.若机V〃Vc,求，的取值范围及xo的取值范围.

解：(1)当"?=〃时，点A(I,w),B(3,〃)的纵坐标相等，

由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为x=岑，

Vc=2,

・••抛物线与y轴交点的坐标为(0,2).

(2)VW<77<C,

a+b+c<9a+3h+c<cf

解得-4a〈b<-3a,

•9.3a<-b<4a,

3ab4a„3

/•—V——<T—,ri即一<7<C2.

2a2a2a2

当U/时，x0=2;

当t=2时，刈=3.

・・・刈的取值范围2<刈<3.

综上，/的取值范围为：|<r<2；刈的取值范围2VxoV3.

二、二次函数图象与系数的关系

【高频考点精讲】

1.。决定抛物线的开口方向及大小

(1)〃>0,抛物线开口向上；aVO,抛物线开口向下。

(2)|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。

2.a,6共同决定抛物线对称轴的位置

(1)当6=0时，对称轴x=------=0,对称轴为y轴。

2aA

<o

(2)当4、人同号时，对称轴X=-对称轴在y轴左侧。

2±«

>o

(3)当4、6异号时，对称轴x=-对称轴在y轴右侧。

2a

b=O

a,b同号a、b异号

3.c决定抛物线与y轴的交点位置

（1）当c=0时，抛物线过原点。

（2）当c>0时，抛物线与y轴交于正半轴。

（3）当c<0时，抛物线与y轴交于负半轴。

4.从―4公决定抛物线与x轴的交点位置

(1)当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有唯一交点。

当人2—4。。＞0时,抛物线与X轴有两个交点。

(3)当。2—4acV0时,抛物线与X轴没有交点。

5.特殊值

(1)当x=l时，y=a+b+c；当x=-1时，y=a-b+c；当x=2时，y=4a+2b+c；当x=-2时，y=4a-2b+Co

(2)当对称轴为直线x=l时，2a+b=0；当对称轴为直线x=-1时，2a-b=0o

【热点题型精练】

11.(2022•黔东南州中考)若二次函数(aWO)的图象如图所示，则一次函数y=or+b与反比例函数

；・40,

・・,抛物线对称轴在y轴左侧,

：.b>0,

•・•抛物线与y轴交点在入轴下方,

Ac<0,

...直线y=or+6经过第一，二，三象限，反比例函数y=-提图象经过一，三象限，

答案：C.

12.（2022•青岛中考）已知二次函数y=o?+公+c,的图象开口向下，对称轴为直线x=-1,且经过点（-3,0）,

则下列结论正确的是（）

A.b>0B.c<0C.a+b+c>0D.3a+c=0

解：选项A：•・•抛物线开口向下，

：.a<0.

•・•对称轴为直线工=-1,

.b_

：.b=2a.

：.b<0.故选项A错误;

选项8：设抛物线与x轴的另一个交点为（xi,0）,

则抛物线的对称轴可表示为x=95-3）,

-1=1（XI-3）,解得xi=l,

.•.抛物线与x轴的两个交点为（1,0）和（-3,0）.

又•••抛物线开口向下，

.•.抛物线与y轴交于正半轴.

/.c>0.故选项B错误.

选项C：；抛物线过点（1,0）.

'.a+b+c—0.故选项C错误；

选项£>：'：b=2a,且“+〃+c=0,

••.3o+c=0.故选项O正确.

答案：D.

13.（2022•烟台中考）二次函数y-f+bx+c（»0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=-表且与x轴的

一个交点坐标为（-2,0）.下列结论：①“历>0；②”=b；③2a+c=0；④关于x的一元二次方程af+fex+c-1

=0有两个相等的实数根.其中正确结论的序号是（）

A.①@B.②④C.③④D.②③

解：①由图可知：。>0,c<0,<0,

：.b>0,

abc<0,故①不符合题意.

②由题意可知：-名=一上

：.b=a,故②符合题意.

③将（-2,0）代入），=a?+匕x+c,

・・.4。-2b+c=0,

■:a=b,

2〃+c=0,故③符合题意.

④由图象可知：二次函数的最小值小于0,

令y=1代入y-f+fcr+c,

・・・以2+版+c=l有两个不相同的解，故④不符合题意.

答案：D.

14.（2022•巴中中考）函数yTaf+bx+d（4>0,tr-4ac>0）的图象是由函数y=a/+bx+c（Q>0,b1-4«c>0）

的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）

①2。+6=0；

②c=3；

③出?c>0；

④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点.

解：,・,图象经过（-1,0）,（3,0）,

；・抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,

・_A

**•b—~2ch即2a+Z?=0,①正确.

由图象可得抛物线y=a^hx+c与y轴交点在x轴下方,

.,.c<0,②错误.

由抛物线的开口向上可得〃>0,

：.b=-2a<0f

；・abc>0,③正确.

设抛物线的解析式为y=〃（x+1）（x-3）,

代入（0,3）得：3=-3〃，

解得：a=-1,

；・y=-（x+1）（x-3）=-7+2x+3=-（x-1）?+4,

・・・顶点坐标为（1,4）,

・・,点（1,4）向上平移1个单位后的坐标为（1,5）,

・••将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；

答案：D.

15.（2022•济南中考）抛物线y=-W+2〃t”m2+2与），轴交于点C,过点C作直线/垂直于），轴，将抛物线在）；轴

右侧的部分沿直线/翻折，其余部分保持不变，组成图形G,点M-1,yi）,N（m+1,”）为图形G上两点，

若yiV”，则机的取值范围是（）

A.%V-1或加>0B.-1<|C.0^/77<V2D.-l<m<l

解：在y=-/+2/虹-〃?2+2中，令得y=-（zn-1）2+2/n（zn-1）-"+2=1,

令1="任1,得^=-（tn+1）2+2WI（/??+1）2+2=],

（〃L1,1）和（团+1,1）是关于抛物线y=--毋+2对称轴对称的两点，

①若加-1N0,即（m-1,1）和（力2+1,1）在y轴右侧（包括（m-1,1）在y轴上），

则点（/%-1,1）经过翻折得知（/H-1,yi）,点（加+1,1）经过翻折得N（加+1,”），

・・・此时不满足yiV”；

②当m+1<0,即Cm-1,1）和（zn+1,1）在y轴左侧（包括（m+1,1）在），轴上）,

则点（阳-1,1）即为M（w1,yi）,点（m+1,1）即为N（m+1,中）,

・・川=”,

，此时不满足yiV”；

③当IVOVm+l,B|J（w-1,1）在y轴左侧，（m+1,l）在y轴右侧时，如图:

此时1）,（5+1,1）翻折后得M满足）“<”；

由加-1<0<巾+1得：

答案：D.

16.（2022♦遂宁中考）抛物线丫=以2+云+。（“，b,c,为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c,则，〃的取值

范围是-4<〃?<0.

.,.a>0,

•••抛物线对称轴在y轴左侧，

•••一义/

：.b>0,

•.•抛物线经过(0,-2),

-2,

•・•抛物线经过(1,0),

〃+0+c=0,

/.a+h=2,h=2-a,

：.m=a-b+c=a-(2-a)+(-2)=2a-4,

.•・y=or2+(2-a)x-2,

当x=-1时，y=a^-a-2-2=2〃-4,

：.0<a<2,

：.-4V2a-4V0,

答案：-4V〃zV0.

17.（2022•锦州中考）如图，抛物线'=苏+法+。（〃W0）与x轴交于点（-1,0）和点（2,0）,以下结论：①abc

<0；②4a-2Hc<0；③a+〃=0；④当xV*时，y随x的增大而减小.其中正确的结论有①②③.（填写

解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab<0,而c>0,故a/>c<0,故正确：

②工二-2时，函数值小于0,则4a-2b+c<0,故正确；

③与x轴交于点（7,0）和点（2,0）,则对称轴乂=一/=二*=,故"+6=0,故③正确；

④当XV；时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而增大.故④错误；

综上所述，正确的为①②③.

答案：①②③.

18.（2022•呼和浩特中考）在平面直角坐标系中，点C和点。的坐标分别为（-1,-1）和（4,-1）,抛物线y

=7?zx2-2加x+2（m#0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是m=3或-1<〃?三一五.

解：抛物线的对称轴为：户-需=1,

当x=0时，y=2,

・••抛物线与y轴的交点坐标为（0,2）,顶点坐标为（1,2-/H）,直线。。的表达式y=-1,

当机>0时，且抛物线过点D（4,-1）时，

16/n-8"i+2=-1,

解得：“一看（不符合题意，舍去），

O

当抛物线经过点（-1,-1）时，

ni+2m+2=-L

解得：-1（不符合题意，舍去），

当m>0且抛物线的顶点在线段CO上时,

2-m=-1,

解得："?=3,

当机<0时，且抛物线过点D(4,-1)时，

16m-8团+2=-1,

解得：/〃=一1，

o

当抛物线经过点(-1,-1)时，

用+2/九+2=-1,

解得：m=-1,

综上，加的取值范围为"?=3或-IV"理一|,

答案：加=3或-1〈根

O

三、二次函数图象上点的坐标特征

【高频考点精讲】

bAnr*—b2

二次函数丫=。/+云+。QW0)的图象是抛物线，顶点坐标是(——，一■——)。

2a4a

i.抛物线关于直线x=-2对称，所以抛物线上的点关于直线》=-2对称。

2a2a

2.抛物线与y轴交点的纵坐标是解析式中的c。

3.抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是(西，0),(々，0),则对称轴为x=三产。

【热点题型精练】

19.(2022•宁波中考)点A(m-1,yi),B(优，”)都在二次函数y=(x-1)?+”的图象上.若山<”，则〃?的

取值范围为()

33

A.ni>2B.m>fC.m<lD.一<m<2

22

解：•・•点4(//I-I,yi),B(见y2)都在二次函数y=(九-I)?+〃的图象上，

Ayi=(/n-1-1)2+〃=(6-2)2+〃，

y2=(〃7-1)2+〃，

Vyi<y2,

/.-2)2+n<(/w-1)2+n,

Z.(/«-2)2-(m-1)2<0,

即-2m+3<0,

答案：B.

20.（2022•温州中考）已知点A（a,2）,B（b,2）,C（c,7）都在抛物线y=（x-1）2-2±.,点A在点8左侧，

下列选项正确的是（）

A.若c<0,则q<c<bB.若c<0,则

C.若c>0,则a<c<bD.若c>0,则a<b<c

解：•.•抛物线>=（x-1）2-2,

•••该抛物线的对称轴为直线x=l,抛物线开口向上，当x>l时，y随x的增大而增大，当x<l时，y随x的增

大而减小，

•.•点4（a,2）,B（b,2）,C（c,7）都在抛物线y=（尤-1）2-2上，点A在点8左侧，

...若c<0,则故选项A、B均不符合题意；

若c>0,则“<0Vc,故选项C不符合题意，选项。符合题意：

答案：D.

21.（2022•西安模拟）已知抛物线丫=/+3-1经过（-1,〃）和（2,n）两点，则加+〃的值为（）

A.-2B.0C.1D.2

解：,••抛物线经过（-1,"）和（2,〃），

抛物线对称轴为直线x=-$=二/=

Aw=-1,

2

/.y=x-x-\f

将（-1,〃）代入y=/-工-1得〃=1+1-1=1,

m+n=09

答案：B.

22.（2022•淄博中考）若二次函数），=/+2的图象经过户（1,3）,Q（机，"）两点，则代数式M-4层-4”+9的

最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

解：..•二次函数y=af+2的图象经过尸（1,3）,

3=a+2,

ci—1,

.,.y=x2+2,

Vg（m,n）在y=7+2上，

.".??=W2+2,

A/?2-4/n2-4n+9=（/n2+2）2-4m2-4（nz2+2）+9=m4-4m2+5=Cm2-2）2+l,

（加2-2）220,

.〃2-4m2-4/7+9的最小值为1.

答案：A.

23.（2022•厦门模拟）已知抛物线>="2+法+0经过点P（2,yo）,且对于抛物线上任意一点（xi,yi）都有yi2yo,

若点A（-2,zn+2）与点B。，n）均在该抛物线上，且〃l〃<-2,则t的值可以是（）

A.7B.4C.1D.-I

解：...抛物线旷=/+法+。经过点尸（2,和），且对于抛物线上任意一点（xi,yi）都有yieyo,

...点P（2,州）为抛物线的最低点即顶点，此时。>0,

抛物线的对称轴为直线x=2.

根据抛物线的对称性可得点（-2,w+2）与点（6,m+2）关于抛物线的对称轴对称，

,：a>0,

...当x>2时，y随x的增大而增大，

m-n<-2,

，〃任2V〃，

Ar>6或/V-2.

答案：A.

24.（2022•徐州中考）若二次函数-2x-3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于〃，，则m的值为4.

解：Vy=jr2-lx-3=（JC-1）2-4,

...抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=l,顶点为（1,-4）,

顶点到x轴的距离为4,

•..函数图象有三个点到x轴的距离为m,

・"?=4,

答案:4.

四、二次函数图象与几何变换

【高频考点精讲】

1.抛物线平移后形状不变，所以系数。不变，平移后抛物线的解析式有两种求法

（1）求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式。

（2）求出平移后的顶点坐标，求出解析式。

2.平移规律：左加右减，上加下减。

【热点题型精练】

25.（2022•通辽中考）在平面直角坐标系中，将二次函数尸=（x-1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平

移2个单位长度，所得函数的解析式为（）

A.尸（x-2）2-1B.产（%-2）2+3C.y=/+lD.y=7-1

解：将二次函数y=（x-I）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解

析式是y=（x-1+1）?+1-2,即y=7-l.

答案：D.

26.（2022•玉林中考）小嘉说：将二次函数），=/的图象平移或翻折后经过点（2,0）有4种方法：

①向右平移2个单位长度

②向右平移I个单位长度，再向下平移1个单位长度

③向下平移4个单位长度

④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度

你认为小嘉说的方法中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

解：①向右平移2个单位长度，则平移后的解析式为丫=（x-2）2,当x=2时，y=0,所以平移后的抛物线过

点（2,0）,故①符合题意；

②向右平移1个单位长度，再向下平移I个单位长度，则平移后的解析式为），=（x-1/-1,当工=2时，y=0,

所以平移后的抛物线过点（2,0）,故②符合题意；

③向下平移4个单位长度，则平移后的解析式为y=/-4,当x=2时，y=0,所以平移后的抛物线过点（2,0）,

故③符合题意；

④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度，则平移后的解析式为y=-f+4,当x=2时，y=0,所以平移后的抛

物线过点（2,0）,故④符合题意；

答案：D.

27.（2022•泸州中考）抛物线y=-"+x+l经平移后，不可能得到的抛物线是（）

AA.y=12.Bn.y=—*12-4A

J—T2ZX^+XJ2

C.y=-9+202lx-2022D.y=-?+x+l

解：•.•将抛物线尸^x+l经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，

抛物线y=—岁+x+l经过平移后不可能得到的抛物线是产-/+x+i.

答案：D.

28.（2022•黔东南州中考）在平面直角坐标系中，将抛物线y=7+2x-1先绕原点旋转180°,再向下平移5个单

位，所得到的抛物线的顶点坐标是（1,-3）.

解：将抛物线y=7+2x-1绕原点旋转180°后所得抛物线为：->,=（-x）2+2（-x）-1,即y=-x2+2x+l,

再将抛物线y=-x1+2x+\向下平移5个单位得丫=-x2+2x+l-5--f+2x-4--（x-1）2-3,

...所得到的抛物线的顶点坐标是（1,-3）,

答案：（1,-3）.

29.（2022•荆州中考）规定：两个函数yi,"的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“丫函数”.例如：函数

）i=2x+2与”=-2r+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“丫函数”.若函数丫=履2+2（k-1）x+k-3Ck

为常数)的“y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“y函数”的解析式为y=2x-3或丫=-/+4X-4.

解：•.•函数)，=4+2(k-I)x+k-3(人为常数)的函数”图象与x轴只有一个交点，

函数^=小+2Ck-\)x+k-3(&为常数)的图象与x轴也只有一个交点，

当女=0时，函数解析式为y=-2r-3,它的“F函数”解析式为y=2x-3,它们的图象与x轴只有一个交点，

当AW0时，此函数是二次函数，

•••它们的图象与x轴都只有一个交点，

...它们的顶点分别在x轴上，

.4fc(/c-3)-[2(fc-l)]2

・・-------------------------=0,

4k

解得：k--1,

工原函数的解析式为y=-x2-4x-4=-(x+2)2,

・•・它的“丫函数”解析式为y=-(x-2)2=-?+4x-4,

综上，“丫函数”的解析式为y=2x-3或y=-7+41-4,

答案：y=2x-3或y=-7+4x-4.

30.(2022•湘西州中考)已知二次函数y=-?+4x+5及一次函数y=-x+b,将该二次函数在x轴上方的图象沿x

轴翻折到尢轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象(如图所示)，当直线y=-x+b与新图象有4个交点

时，b的取值范围是竽<b<-1.

解：如图，当y=0时，-f+4x+5=0,解得xi=-1,也=5,贝jiA(-1,0),B(5,0),

将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到X轴下方的部分图象的解析式为y=(.r+1)(x-5),

即y=7-4x-5(-1,

当直线y=-x+b经过点A(-1,0)时，l+b=0,解得6=-1；

当直线尸与抛物线尸/-4x-5(7«5)有唯一公共点时，方程/-以-5=-x+b有相等的实数

解，解得b=一竽，

所以当直线y=-x+b与新图象有4个交点时，匕的取值范围为一竽4V-1.

答案：一竽<b<-1.

31.(2022•河北中考)如图，点P(«,3)在抛物线C：y=4-(6-%)2±,且在C的对称轴右侧.

(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求“的值；

(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点尸及C的一段，分别记为P',C.平移该胶片，使

C所在抛物线对应的函数恰为y=-7+6x-9.求点P'移动的最短路程.

解：⑴:抛物线C：y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,

抛物线的顶点为。(6,4),

...抛物线的对称轴为直线x=6,y的最大值为4,

当y=3时，3=-(x-6)2+4,

；.x=5或7,

•.•点P在对称轴的右侧，

：.P(7,3),

：.a=1；

(2)•.•平移后的抛物线的解析式为)，=-(x-3)2,

平移后的顶点(3,0),

•••平移前抛物线的顶点Q(6,4),

...点尸移动的最短路程=。。'=V32+42=5.

五、二次函数的最值

【高频考点精讲】

1、当。＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，)，随x的增大而增大，因为图象有最低

点，所以函数有最小值，当x=—2h时，尸Acic—b~

2a4a„

2、当a<0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随尤的增大而减少，因为图象有最高

hA-cic—b~

点，所以函数有最大值，当x=—N时，产•L

2a4a。

3、确定二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；

当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值的大小，从而获得最值。

【热点题型精练】

32.（2022•贺州中考）已知二次函数1在OWxWa时，y取得的最大值为15,则a的值为（）

A.1B.2C.3D.4

解：：二次函数y=2?-4x-1=2（x-1）2-3,

抛物线的对称轴为x=L顶点（1,-3）,

当y-—3时，X—1,

当y=15时，2（x-I）2-3=15,

解得x=4或工=-2,

■:当OWxWa时,y的最大值为15,

；.a=4,

答案：D.

33.（2022•包头中考）已知实数a,6满足b-a=l,则代数式d+Z36a+7的最小值等于（）

A.5B.4C.3D.2

解：

**•Z?=〃+l,

J+2。-6a+7

=a1+2（a+1）-6〃+7

=〃2+2〃+2-6a+7

=a2-4a+4+5

=（a-2）2+5,

.•.代数式a2+2b-6a+7的最小值等于5,

答案：A.

34.（2022•嘉兴中考）已知点A（a,b）,B（4,c）在直线y=fcr+3（&为常数，�）上，若用的最大值为9,

则c的值为（）

35

A-C2-

B.2D.2

解：•.•点A(a,b),B(4,c)在直线y="+3上,

,(ak+3=b①

"(4k+3=c②’

由①可得：cih—ci(4左+3)=k/+3a=k〜—^

•.•帅的最大值为9,

9

••*<0.一最=9,

解得仁一,，

把《=—J代入②得：4X(—+3—<?,

4-4

；.c=2,

答案：C.

35.（2022•六盘水中考）如图是二次函数），=/+法+。的图象，该函数的最小值是-4.

y

\对称轴kt/

±b

解：由函数图象可得:----

2a2

解得：b=2,

•••图象经过(-3,0)点,

二0=(-3)2-3X2+c,

解得：c=-3.

故二次函数解析式为：y=/+2x-3,

4ac-b24xlx(-3)-22

则二次函数的最小值为:-4.

4a4x1

答案：-4.

36.(2022•凉山州中考)已知实数〃、b满足G-/?2=4,则代数式/-3■74的最小值是6

解：・"-庐=4,

h2=a-4,

.,.原式=/-3(a-4)+a-14

-3a+12+q-14

=/-2a-2

=a2-24+1-1-2

3,

Vl>0,

又•.•/=a-420,

VI>0,

...当a24时，原式的值随着”的增大而增大，

...当〃=4时，原式取最小值为6,

答案：6.

37.(2022•绍兴中考)已知函数)，=-f+fcv+c(。，c为常数)的图象经过点(0,-3),(-6,-3).

(1)求匕,c的值.

(2)当-4<xW0时，求y的最大值.

(3)当/时，若y的最大值与最小值之和为2,求机的值.

解：(1)把(0,-3),06,-3)代入y=-f+bx+c,

得b=-6,c=-3.

(2)-?-6x-3=-(x+3)2+6,

又：-4WxW0,

...当x=-3时，y有最大值为6.

(3)①当-3<%W0时，

当x=0时，.y有最小值为-3,

当x—m时，y有最大值为-，〃2-6，，?-3,

-nr-6m-3+(-3)=2,

.'.m--2或m--4(舍去).

②当mW：-3时，

当x=-3时y有最大值为6,

•.》的最大值与最小值之和为2,

最小值为-4,

-(5+3)2+6=-4,

.*./«=-3-VlOsgm=-3+V10(舍去).

综上所述，，〃=_2或—3—VTU.

六、二次函数的应用

【高频考点精讲】

1、利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题，解决此类题目的关键是通过题意，确定二次函数的

解析式，然后确定其最大值。实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此，在求二次函数的最值时，一

定要注意自变量x的取值范围。

2、几何图形中的最值问题

①几何图形中面积的最值；②用料最佳方案；③动态几何中的最值讨论。

3、构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地将这些实际问题中的数据落实到平面直角

坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式解决问题。

【热点题型精练】

38.(2022•自贡中考)九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙

(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这

二种方案，最佳方案是(

方案1

A.方案1B.方案2

C.方案3D.方案1或方案2

解：方案1：设AD=x米，则A8=(8-2x)米,

方案1

则菜园面积=x(8-2x)=-2，+8x=-2(x-2)2+8,

当x=2时，此时菜园最大面积为8米2；

方案2：过点A作于。，

iSCD—x,AD—y,则/+)2=16,

'/(x-y)2=jc2+y2-2孙20,

A16-2xy^0,

...孙W8,

...当且仅当x=y=2近时，菜园最大面积=8米2；

B

方案2

方案3：半圆的半径=，米，

82

.•.此时菜园最大面积=当L=配米2