2023-2024学年皖豫高二年级下册开学考试数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年天津市西青区高二下册第一次适应性测试数学

模拟试题

一、单选题

1.已知向量。=(3,-4,2),6=(2,-3/)，则"-26=()

A.(7,-10,4)B.(5,-7,3)C.(1,-1,1)D.(-1,2,0)

【正确答案】D

【分析】根据向量线性运算的坐标表示得出答案.

【详解】0-2∕7=(3-2×2,^-2×(-3),2-2×l)=(-l,2,0),

故选：D.

2.若两条直线(：3x+7γ-6=0⅛∕2:0x+14y-2=0平行，则实数”的值为()

A.6B.-6C.4D.-4

【正确答案】A

【分析】若两条直线平行，则两条直线斜率相等，由此列式计算即可.

【详解】若两条直线平行，则两条直线斜率相等，故-5=一已，解得。=6.经检验两直线不

重合.

故选：A

3.若｛a,Ac｝构成空间的一个基底，则下列向量共面的是()

A.a，h+c»a+hB.a，Q+C，a+b

111

C∙Q+b+c，c，bD.b,cι-b，a+h

【正确答案】D

【分析】根据空间向量共面定理逐一验证即可得出结果.

【详解】根据题意可知，对于选项A,假设存在一组实数对满足〃仅+，)+〃(a+〃)，

可知无解，即向量α,b+c,α+6不共面；

对于选项B,假设存在一组实数对大〃满足a=%。+。)+”,+。)，可知人〃无解，即向量°,

4+c，a+6不共面;

对于选项C,假设存在一组实数对4〃满足α+人+c=∕lc+Mb,可知4〃无解，即向量

a+b+c，c，〃不共面；

只有D选项存在一组实数对彳:-摄以:3满足人=-3,-4+3,+^),

即〃，a-h,α+b是共面向量.

故选：D

4.已知数列｛4｝满足%=：,且为M=F^∙,则电023=()

13

A.-B.—1C.一d

42∙I

【正确答案】B

71QO

【分析】计算4=：,%=：，%=T,«4=(>¾=j-确定｛/｝为周期是4的数列，计

算得到答案.

a==,

s2a3L，故｛%｝为周期是4的数列，%∞3=%=T.

故选：B

5.已知直线/与圆C:(x-l)∙y2=9相交于A,B两点,弦AB的中点为M(0,2),则直线/的方

程为()

A.x+2γ+4=OB.x+2y—4=0C.x—2γ+4=0D.x-2y-4=0

【正确答案】C

【分析】由M(0,2)是弦AB的中点,所以0171四,求出CN的斜率,进而求得A8的斜率,根

据AB的中点为M(O,2),根据点斜式即可写出直线/的方程.

【详解】解:由题知,圆C：(X-I)2+V=9,即圆心C(1,O),

因为弦A8的中点为M(0,2),所以±AB,

21

因为%=1=-2,所以％∙L=T,即砥尸不，

—^1λ

因为M(0,2)在A8上,所以2=g(x-0),即Lx-2y+4=0.

故选:C

22

6.已知圆锥曲线工+二=1的离心率e为方程2d-5x+2=0的根，则满足条件的不同加值

m2

有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【正确答案】C

下2J

【分析】解方程2Y-5x+2=O可得出土+上=1的离心率，对曲线的形状进行分类讨论，

m2

结合离心率公式求出机的值，即可得出结论.

【详解】解方程2d-5x+2=O可得x=2或x=g,所以，e=2或，

①若e=2,则曲线上+q=1表示焦点在N轴上的双曲线，

m2

则e=后9=2,解得m=-6；

②若e:，则曲线上+片=1为椭圆，

2m2

若椭圆片+《=1的焦点在X轴上，则e=、悭三=L且加>2,解得机=。；

m2YwJ23

若椭圆《+2=1的焦点在轴上，则e=,且0<m<2,解得“z=∙∣.

m2V222

综上所述，满足条件的m的值有3个.

故选：C.

7.设等差数列｛%｝的前〃项和为S.，若&=1,5«=16,则$6*=（）

A.18B.36C.40D.42

【正确答案】B

【分析】确定为等差数列，得到*一*=3（强-能）代入数据计算得到答案.

«（»-1）,fC）

【详解】s„d..d,故户为等差数列，

^⅜-τ=l⅛-¾>故I=BL-沙解得….

故选：B

8.已知椭圆C：[+4=l（α>%>0）的左、右焦点分别为"，尸一过E的直线与C交于P,

Crb~

。两点，若|。Pl=杷段（O为坐标原点），且翳=卷，则C的离心率为（）

ʌ√13β√13r,√26n4√13

A∙---t>.---C.----Lf.-----------

542623

【正确答案】A

【分析】设∣M∣=8∕,则IPQI=15『，由IOPl=T耳片可得抽，PQ,然后利用椭圆的定义

和勾股定理即可求解.

【详解】设I尸制=&,则IPQI=I5f,

因为IOPI=J耳闾，所以9J_P。，贝IJlQ用=J∕V+P8=17f,

由椭圆的定义可得：∖QFl∖+∖QF2∖+∖PF^+∖PF[∖=4a=40t,

所以/端，则网=1方喑,∖QF2∖=2a-∖QFi∖=2a-^=^,

所以陶=IPQHQ段=等若哼,因为网=8=?,

在Rt△「片6中，阳用2=户用2+归图2,即4c∙2=噤+噤，

所以£=12,则e=£=巫，

a225a5

故选.A

二、多选题

9.已知｛/｝为等差数列,满足M-4=7,4+%=11,也｝为等比数列，满足4=4,⅛,=演,

贝IJ（）

A.｛q｝的首项与公差相等B.k,a5,即成等比数列

C.也｝的首项与公比相等D.bi,bi,亳成等差数列

【正确答案】BC

【分析】代入4，3,4求数列｛q｝的首项和公差，数列｛〃,｝的通项公式，逐一判断选项可得

结果.

【详解】解：因为｛4｝是等差数列，设公差为d,则44-%=3q+"=7,

a2+aj=2αl+7J=11,解得：α∣=2,d=l,故A错误；

可得q,=2+"-l="+l,所以生=3,05=6,4=12,是等比数列，故B正确;

数列出｝为等比数列，且4=q=2,⅛=αl5=16,所以q=2,则2=2",故C正确；

bi=8也=32也=64,不是等差数列，故D错误.

故选：BC

10.已知圆M：(x-2)2+V=4,直线/经过点尸(1,-1),且直线/被圆/截得的最短弦为AB,

最长弦为CD,则()

A.直线AB的斜率为-1B.直线A8经过坐标原点

C.|4叫=2D.四边形ACBO的面积为4√Σ

【正确答案】ABD

【分析】CD的长为直径，AB与CO垂直，根据垂径定理求出∣A3∣,从而可得四边形ACBO

的面积.

【详解】当直线/圆心”时，直线/被圆M截得最长弦为CD,此时ICOI=4,

当直线/与直线PM垂直时，直线/被圆M截得最短弦为A8,

又kpM=9上D=1,故直线AB的斜率为-1,

2-1

直线直线A8的方程为y-(T)=-(X-I),即)'=一，过原点，故AB正确.

点M到直线AB的距离为£5=√2,

故|A8|=2"^=2&,四边形ACBo的面积为JABHC£>|=gx2&x4=4&,

故C错误，D正确.

故选:ABD.

Il.如图所示，ABCD为正方形，平面ABC£>/平面A8尸，E为A8的中点，AFLBF,

F

A.(CA+Cβ)2=20

B.直线BC到平面Az)F的距离为2

C.异面直线AB与FC所成角的余弦值为辿

14

D.直线AC与平面CEF所成角的正弦值为巫

38

【正确答案】ACD

【分析】根据几何体特征，可利用空间向量对各选项进行求解；以A为坐标原点建立空间直

角坐标系可得(CA+C8『=20,即选项A正确；易知直线BC到平面ADF的距离为BF=B

即B错误；利用向量的夹角计算公式可求得AB,FC所成角的余弦值为主自，即C正确；求

14

出直线AC与平面CEF法向量夹角的余弦值即可得D正确.

【详解】根据题意可知，平面ABCDl平面AB尸，平面ABCDc平面ABF=Λβ,

又ABQ)为正方形，所以ADlA3,即AOl.平面ABF；

又3尸U平面AB尸，AFU平面ABF,所以A£)_L8/，ADLAF-,

过点A作AA/〃BF,过点B作3M〃A尸交AM于点M,所以四边形AFβM是平行四边形；

且Az)J_AM

又AFLBF,所以四边形AEBM是矩形；即AFj

分别以AEAM,AD所在直线为x,%z轴，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所

示:

由AFl.BF,AB=2AF=2可得BF二百;

则A(0,0,0),B(L√3,0),C(l,√3,2),D(0,0,2),F(l,0,0),

由E为A3的中点可知Eɪ,ɪ,θ^j;

所以CA+CB=(—1,—>/5,-2)+(0,0,—2)=(-1,—G,-4),

所以(C4+CB)2=(-l)2+(-√3)2+(-4)2=20,故A正确；

易知BeHAD,8C<Z平面ADF,ADU平面AD尸，所以5C7/平面ADP,

由A尸<LR7,AD-LBF可知，3/，平面AGF,

所以直线BC到平面AZ)尸的距离为BF=E即B错误；

Lr-/.dγλ,∖AB.FC33√7

易知AB=(l,√3,0),FC=(0,√3,2),所以c。S(AB,FC)=网附=百万=ɪ

所以异面直线A3与FC所成角的余弦值为3］，即C正确；

14

设平面CEF的一个法向量为〃=(x,y,z),FC=(O,G,2),EF=Iɪ-ɪ,θ

ħ∙FC=∖∣2>y+2z=0厂

则1ʌ/ɜ，令V=I,可得无=ʌ/ɜ,z=--,

ιl∙EF=-x-y=02

22

即“=(⑸,手

AC=(LG,2),设直线AC与平面CEF所成的角为6,

“∙AC∣6√ΠZ

sin，=

则眄=B2&市一，即D正确.

故选：ACD

12.己知抛物线V=4x的焦点为尸，过点尸任作一直线交抛物线于A,B（A在8的上方）

两点，点B关于X轴的对称点为C（舁于点A）,直线/为抛物线的准线，则（）

A.西+画为定值B.∣A目忸目的最小值为4

C.直线Ae恒过点（T,0）D.直线Ae的斜率的取值范围是（0,2）

【正确答案】AC

【分析】运用韦达定理及抛物线的定义分析选项A、B,对于选项C,点斜式写出AC方程,

令y=0解得X是一个定值即可判断，对于选项D,运用斜率公式及韦达定理将其转化为求函

数值域即可.

【详解】由已知可设直线AB方程为x=（y+l,f*0,

fX=（y÷1,

\24ny9-4"-4=。，则χ+%=4f,y%=^4,

[y=4x

所以为+々=«%+%）+2=4/+2,χlχ2=看~*¥=（U=1，

由题意知，A在B上方，设A（Xl,弘），B（X2,%），则X>0,%<。，

由抛物线的定义知，I4尸1=为+1,∣BF∣=x2+l,

对于选项A,」一+」-=-*—+」-=GL+»2.=区+∙S)+2=与，,即

IAF∣IBF∖x1+1x2+1(xl+l)(x2+1)x1x2÷(x1+x2)+l4广+4

+为定值，故选项正确；

IAFlIBFIA

2

对于选项BI-AFHBFI=(x1+l)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=4r+4,因为r≠0,所以户>0,

所以4*+4>4,BP∣AF∣∣^F∣>4,故选项B错误；

对于选项C,直线AC的方程为：y-X=Aj(X-N),令y=0得:

Xi-X2

xy,+x¼2ty.V+y+M—8/+4/.

X=一μ1![1==.必7人l=——=T,所以直线AC恒过点(-1,0).故选项C正确;

J,+y2X+必4r

对于选项D,

X+%=%+%=4∖=4=4=4=]

ff22τ

X-X2yl-(y2(yl-y2)yl-y2↑∕(yl+y2)-4yly2√i6z+i6√r+T

即炉ΓT>],所以。〈后丁

因为“O,所以产+ι>ι,即直线AC斜率的取值范围为

(0,1),故选项D错误.

故选：AC.

三、填空题

13.已知向量α=(m,-6,2),⅛=(4,M,1),且则

【正确答案】-24

【分析】根据空间向量平行的坐标运算公式，计算可得答案.

【详解】因为向量。=(，*,-6,2),6=(4,〃』)，且"〃6,

所以一=一=—,解得∕%=8,/:=-3,所以“九=一24.

4n1

故答案为.-24

14.圆G：Y+/+4)，=5与圆G:f+y2-2χ-2y=2的公共弦长为.

【正确答案】巫##Wm

22

【分析】首先求出两圆公共弦方程，利用点到直线距离公式求出圆心到直线距离即可得出弦

长.

【详解】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为2x+6y-3=0,

圆G：W+y2+4y=5的标准方程为V+(y+2)2=9,其圆心G(0,-2),半径N=3；

圆心G(0,-2)到公共弦2Λ+6>-3=0的距离d=["-H==痴

√22+624

所以公共弦长为2府方==当•

故述

2

γι_1_2

15.已知数列｛4｝的前几项和S,,=-y-%(“≥2),且q=l,贝Mo=.

【正确答案】7

【分析】先通过J=割4(〃£2)求出。2的值，然后利用S“与的关系证明当"≥3时

口；=也成立，从而求出数列｛%｝的通项公式，写出%).

n+∖n

/7+2

【详解】因为S,,=—,,("≥2),当〃=2时，有4+出=2『，∙∙∙%=4=1;

n+∖/?+9H÷1

当〃≥3时，S„­,=-,两式相减得S,-S“T=%=下一α,,一一rα,ι,

即卫=%L(“≥3),

nS+ll∖ns'/

当〃=3时，/=；，所以4,=F("≥3),

所以α20=7.

故7

16.若《，鸟是双曲线C：兰一卫=1的两个焦点，P,。为C上关于坐标原点对称的两点,

且IPa=I片段，设四边形尸耳。鸟的面积为5，四边形WQ行的外接圆的面积为巨，则

垦=

s、----

Q

【正确答案】—

【分析】根据给定条件，探求四边形PHQ鸟的形状，结合双曲线的定义及勾股定理求出5,

再求出邑作答.

【详解】依题意，点P与。，6与尸2都关于原点。对称，且IPa=阳闾，因此四边形尸EQg

是矩形，如图，

由双曲线C：?啧=1得：IPQI=忻闾=2∣OK∣=2j4+16=4G,IlP耳|-|也||=4,

于是

A=IP耳HP间=IW问在IyPKHp闻)2=∣∙F-(附HPz<=(4W-42

32,

22

显然四边形PKQF2的外接圆半径为OF?,因此S2=裾0鸟∣=π×(2√5)=20π,

~Sl328

所以F=右—=「

∂220π5π

四、解答题

17.在等差数列｛q｝中，已知々+%-，=4且%-4+%=44.

(1)求｛。”｝的通项公式；

C

⑵设｛4｝的前"项和为S),,求满足王-4,-1320的”的最小值.

【正确答案】(IM=8〃-4

(2)9

【分析】(1)利用等差数列的基本量计算出首项和公差，然后代公式即可求通项；

(2)先求出等差数列的前〃项和，然后化简不等式，利用一元二次不等式即可求解.

【详解】(1)由题意，设等差数列｛q｝的公差为d,

…-弋，得4=4

则由

a5-a6+a1=4q+5d=44'

解得所以q=4+8(〃-l)=8∕ι-4.

(2)由(1)及等差数列前”项和公式得S,,=出色二也=4r,

2

S

由才一。“一13≥O,BPH2-8/7-9≥O>

解得〃≥9或〃≤-l(舍去)，

所以满足条件的〃的最小值为9.

18.已知圆。与y轴相切，且过点(3,3),圆心C在直线y=2x上.

(1)求圆C的方程;

(2)若圆心C的横坐标与纵坐标都为整数，直线/：3x+4y-m=0与圆C交于AI两点，且

∣AB∣=2√5,求实数机的值.

【正确答案】⑴卜—|)+(y-3)2=⅛(x-3)2+(γ-6)2=9

(2)，〃=23或/M=43

【分析】(1)求出圆心和半径，即可求出圆C的方程;

(2)利用几何法求弦长，即可求出实数机的值.

【详解】(1)设圆心坐标为C(4,20).

因为圆C与y轴相切，所以圆心C到y轴的距离等于半径，即r=∣α∣

所以圆C的方程为(x—a)?+(y-2α)2=〃.

又圆C过点(3,3),所以(3-4+(3-2α)2=",

化简得(24-3)(α-3)=O,解得“=∙∣或α=3,

所以圆C的方程为[X-I]+(y-3)2=(或(X-3f+(y-6)2=9.

(2)由已知得圆C：(x-3)2+(γ-6)2=9.

设圆心C(3,6)到直线/的距离为d,因为IAfiI=2后,

所以d=2.

∣3×3÷4×6-m∣

由点到直线的距离公式，得d==2,

解得m=23或/篦=43.

19.已知数列｛%｝中，4=1,%=25+D%+”+ι.

n

(1)求证：数列｛%+l｝是等比数列；

n

(2)求数列｛%｝的前“项和为S,.

【正确答案】(1)证明见解析;

⑵S“=(〃_1)2”“一空芈+2.

【分析】(1)将已知化为央=2∙N→1,两边加1变为餐+1=2(2+1],由此判断出数

列/+11是等比数列.

(2)由(1)可求得(?+11的通项公式，由此求得％的通项公式，利用分组求和法和错位

相减法可求得S,的值.

试题解析：

【详解】(1)由己知得乜=2-%+1,

n+∖n

♦〃+]I1

λ⅛+l=2K+l∖又4+1=2,得%+1X0,;.21±]_=2,.∙.数列[2+1]是首项为

n+1kn)n¾,+1InJ

n

2,公比为2的等比数列.

n

(2)由(2)得%+l=2∙2"T=2",.∖an≈n-2-n,

n

S,,=2+2×22+3×23++(n-∖)2n^'+n-2"一[1+2+3++(«-ɪ)+«],

设Z,=2+2x2?+3x23++gι)2"T+∕ι∙2",-------------①

则27；=22+2x23+3x24++(n-])2z,+n∙2,,+l,---------②

①式减去②式得-/=2+22+2^++2n-n∙2n+'

=2(「2")_“*=_(〃-1)2'用—2,

得(=(〃-1)2"”+2,

C/、n(l+n]

又1+2+3++(H-1)+Π=~,

ΛS,,=(n-l)2"tl-≤^+2.

22

20.已知。为坐标原点，双曲线C：A-与=14>06>0的左、右焦点分别为Fl,F2,点

a2Ir

户在双曲线C上，A,3分别是线段P耳，”的中点，且中=2,||。AHo邳=3∙

(1)求双曲线C的标准方程:

(2)已知点M(—3,0),N(3,0),当P与M,N不重合时，设直线PM,PN的斜率分别为仁,

&2,证明：尤&为定值.

【正确答案】(I)W-E=I

927

(2)证明见解析

【分析】⑴由∣3H3∣=3可得II"HWII=6,即可求出然后由牛=2可求出C,

即可得到答案；

(2)设尸(x。,几)，然后可得&此=一⅛-⅛,结合双曲线的方程可证明.

∙,VztI‰z√vr∣wz

【详解】(1)因为A,β,。分别是线段P6，PF2,百弱的中点，

所以网=如用，∣08∣=%用.

因为IloAITO叫=3,所以IIP闾TPM=6,

所以由双曲线的定义知2α=6,解得α=3.

设双曲线C的半焦距为c(c>()).

因为网=2,所以£=2,

aa

所以c=6,所以Zr2=c?-a?=27.

V22

所以双曲线C的标准方程为匕一v匕=1.

927

22

(2)设尸伍,几)(x0κ±3),则五喙=1,

所以3x；-y；=27,所以3x；-27=y：,所以石一9=与.

因为M(-3,0),N(3,0),所以匕=白，&=/，

∙Λι√IJ人nJ

2

所以K%2=3∙°⅛=Y⅛=3,为定值.

%+3AO-3X0-9

21.如图，在长方体ABCo-A耳Gp中，点E为Ao的中点，且AA=4,AB=BC=2,

点尸在线段BA上.

B、--------------3C

（I）H:是否存在一点P,使得直线BDi平面PEC?若存在，请指出点尸的位置；若不存在,

请说明理由.

（2）若P是线段8R的中点，求平面PEC与平面ECA的夹角的余弦值.

【正确答案】（1）不存在，理由见解析

【分析】（1）假设直线BAL平面PEC,利用线面垂直的性质则有8。∙LCE,进而可证明

CElBD,与实际情况不符，从而证明不成立；（2）分别以A8,AD,AA所在的直线为X,

y,Z轴建立空间直角坐标系.空间向量法求平面PEC与平面ECR的夹角的余弦值即可.

【详解】（1）不存在.

理由如下：若直线BAJ.平面P£C,则必有BRLCE.

如图，连接3。，假设8。口CE,

因为OR，平面ABa）,所以。RLCE,

又因为BRCDR=R,BR,DRU面BDR,所以CEL平面8。。，

所以CE_L8£>,显然不成立，

所以线段BD1上不存在点P,使得直线BD、，平面PEC.

（2）分别以A8,AD,AA所在的直线为X,y,Z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

易知点C(2,2,0),£(0,1,0),β(2,0,0),D1(0,2,4),P(知点),

则EC=(2,l,0),EP=(1,0,2),ED1=(0,1,4).

设平面PCE的法向量为∕n=(x,y,z),

m-EC=(x,y,z)∙(2,1,0)=2x+y=0,

w∙EP=(x,y,z)∙(l,0,2)=x+2z=0,

令X=-2,得平面尸CE的一个法向量为，〃=(-2,4,1).

设平面ECD,的法向量为〃=(Ey,z'),

n-EC=2x'+y'=0

则,',

,

n∙ED1=∕+4z=0

令y'=-4,得平面ECR的一个法向量为“=(2,Y,1)∙

m∙n(-2,4,1)-(2,-4,1)19

所以cos∕n,n=--=-----J—~-=-----,

r同π同r√21×√2121

19

所以平面PEC与平面ECD1的夹角的余弦值为［.

22.已知椭圆C：捺+营=1(a>6>0)的离心率e=乎，且经过点P(2,l).

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点。为坐标原点，点M,N是椭圆C