2023-2024学年深圳市罗湖高二数学上学期12月考试卷附答案

2023-2024学年深圳市罗湖高二数学上学期12月考试卷

（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.12

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.数列1,1,1,...,1,...必为（）

A.等差数列，但不是等比数列B.等比数列，但不是等差数列

C.既是等差数列，又是等比数列D.既不是等差数列，也不是等比数列

2.在等差数列｛%｝中，/+%+%=12,%+%+。6=18,则｛%｝的公差是（）

A.6B.3C.2D.1

3.已知在长方体A"°一A'IGA中，ADJ=xCD+yCCx+zBD,则x+y+z=（）

A.3B.2C.1D.-2

4.己知等比数列｛"/的前”项和为S"，若$3=1。，$6=20,则Sg=（）

A.20B.30C.40D.50

5.已知数列｛%｝满足“"+i=（T）Z+2"，MN*,则（）

A.32B.50C.72D.90

6.已知圆C经过点M（L2），N（3,0）,则点尸（2,-1）到圆心c的距离的最小值为（）

A.2B.Gc.3D.1

22

Xya

—■—I-----——1---

22

7.已知椭圆E：ab（a>b>0）,直线x=2与椭圆E交于A,B两点，且OALOB（O为坐标原点）,

则椭圆E的离心率是（）

A.6B.3c.3D.3

8.某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m,从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰

好在10年间还清，则a的值为（）

A（1+m）10-1B（1+m）10+-1口（l+m）'0+1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.己知数列02#,2声…，则下列说法正确的是（）

A.此数列的通项公式是扬B.8是它的第32项

C.此数列的通项公式是而开D.8是它的第4项

1

10.直线/：尤7+1=°与圆C：（x+4+y2=2（-lWaW3）的公共点的个数可能为（）

A.0B.1C.2D.3

上+上=1

11.方程2-3-机表示的曲线中，可以是（）

A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线

12.已知数列｛叫满足q=2,且。-4+1,则（）

X13

M+1a

A.｛""｝为递增数列B.-C.'出。99D.%+出++。99-4（］）4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

%一

13.已知数列一2吗，出，-8成等差数列，-2也也也,-8成等比数列，贝！jb2的值为

14.双曲线Y-y2=4的离心率为

15.已知平面a经过原点°,且法向量为"=（2，L2）,点P（L2,3）,则点尸到平面a的距离为

bn=-------------

16.已知数列｛凡｝的前兀项和为S”，且满足％=L？=2,S"+*=a,+2-l（〃eN+）,记”（a„+2-l）（aK+1-1）；

数列仍"｝的前”项和为（，若对VxeN+,（恒成立，则左的取值范围为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知圆一+丁=1,求过点尸0,2）的圆的切线方程.

18.己知凡是等差数列｛%｝的前n项和，且S“=-2"2+i5〃.

（1）求数列｛“"｝的通项公式；

（2）〃为何值时，S”取得最大值并求其最大值.

19.如图，在四棱锥尸-中，底面A6。。是矩形，平面ABC。，PD=DA=2,DC=\,M是

BC的中点，点Q在PM上，且PQ=2QM.

2

⑴证明：平面八4M；

(2)求平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值.

20.如果有穷数列痴的，4,am(机为正整数)满足条件，出=。“1,…产”="，即q=q"T+i

(力=1,2,m)，我们称其为“对称数列例如，数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称

数列”.

(1)设他)是7项的“对称数列”，其中々也，4也是等差数列，且4=2,"=11.依次写出也｝的每一项；

(2)设MJ是49项的“对称数列”，其中％，。26，」。49是首项为1,公比为2的等比数列，求上”｝各项的和

S.

21.设数列｛“是等差数列，数列也｝是等比数列，公比大于零，且出=&=3,4="=27.

(1)求数列｛%｝的"｝的通项公式；

(2)设％=log34+1,求数列1"用J的前n项和I.

2

xV,n.

~T=1(〃〉人>0)e=Z7Z72A

22.已知椭圆矿廿的离心率3,左、右焦点分别为片，尸2,且尸2与抛物线旷=4x的焦

点重合.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若过耳的直线交椭圆于3,。两点，过尸2的直线交椭圆于A,C两点，且AC1BD,求卜。+忸口的

最小值.

3

1.c

【分析】根据等差数列和等比数列的定义即可判断.

【详解】数列1,1,1,…，1,…是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列.

故选：C.

2.C

【分析】根据等差数列的性质结合条件即得.

【详解】设等差数列｛“"｝的公差为"，

|大|+a4+“5=3a4=12,+。5+“6=3。5二18

所以的=4吗=6,故d=2,

即数列｛%｝的公差为2.

故选：C.

3.C

【分析】利用空间向量的运算法则即可求解.

【详解】依题知，ADt=AB+BBt+BXDX=-CD+CC｝+BD

•••x=—1,y=z=l，

•x+y+z=1

故选：c.

4.B

【分析】根据等比数列前"项和的性质进行求解即可.

【详解】因为｛%｝是等比数列，所以$3应-53,59-56,6*0)成等比数列，即10,10,69-20成等比数列，

显然Sg-20=10=59=30,

故选：B

5.B

【分析】由递推关系式，求得4+02,%+4,%+%,%+4,%+为，然后相加可得小.

［详解］由已知/=-%+2,4+/=2,%=一/+6,%+%=6,同理%+线=1°,%+/=14,Og+%0=18

以Ro=2+6+10+14+18=50

故选：B.

6.C

【分析】根据给定条件，求出圆心C的轨迹方程，再利用点到直线距离公式求解作答.

【详解】设。(*V),依题意，则J(xT>+(y-2)2="(x-3)2+(y-0)2,

4

/\d=

整理得彳一'一1=°,点尸(2,一1)至ux-y-i=°的星巨离

所以点“2，一1)到圆心C的距离的最小值点.

故选：C

7.D

aa

【解析】将直线x=5代入椭圆方程，可以得到A,B两点的坐标，OALOB并且直线x=5垂直于x轴,

可知在三角形，。钻中，斜边的高等于斜边长度的二分之一，再结合可得离心率e。

2222

axy.6jQA/3cyja-bA/6

x——------——]y—2tzt—b——b7e———------------------

【详解】将,2代入“2苫得.一2，又因为OALOB有22.故离心率aa3.

故选：D.

【点睛】本题考查了椭圆离心率的定义，属于容易题。

8.C

【分析】由已知条件和分期付款公式列方程求解即可

【详解】由已知条件和分期付款公式，可得

a[(l+〃z)9+(l+m)8++(1+m)+1J=Af(1+m)10

.(1+mf-l

故选：C

9.AB

【分析】根据已知条件，结合数列中数字的规律，求出通项公式，即可依次求解.

【详解】数列四，2,遥,2五，，

即V2,/,y/6,而,

则此数列的通项公式为疝，A正确，C错,

令后=8,解得九=32,故B正确，D错.

故选：AB

10.BC

【分析】根据给定条件，求出圆心到直线/距离的取值范围，即可判断得解.

【详解】圆C：(x+a)2+y、2的圆心C(-a,0),半径『=

当一1(。＜3时，点C(-"，°)到直线/的距离V2V2,

因此直线/与圆相切或相交，所以直线/与圆C的公共点个数为1或2.

5

故选：BC

11.AB

【分析】根据圆锥曲线方程的含义一一分析即可.

【详解】因为2-相力3-〃7,则该曲线不表示圆，故C错误；

22

%।y=1

若（2-祖）（3-加）<0,即2<根<3时，方程2-m3-m~表示的曲线是双曲线，故A正确；

[2一“0尤2।9r

若13一即机<2时，方程2-」3-加一表示的曲线是椭圆，故B正确；

该方程为二元二次方程，则不可能表示抛物线，故D错误；

故选：AB.

12.ABC

【分析】作差比较大小判断单调性判断A；推导得4+1一%之1,计算判断B；利用裂项相消法求和判断C；

借助基本不等式及等比数列前n项和公式计算判断D.

【详解】显然“一""一小1一”一字丁°,而"I,则V〃eN*,《>。，

又。同一1=。”（。”一1）,即有与%T同号，而%T>°,则"”>1,

对于A,%-%=&TP>°,即。｛叫为递增数列，A正确；

aa2

对于B,n-i=9则4+]―/=3〃—1）2-I,

凡二（生一6）+（。3-2）+,+（凡一见一1）+%21+1++1+2=〃+1

因此一滔不一，B正确；

1_1]_111

对于C,由q+1—1=〃〃（%一1），得。〃+1-1an-1an,即%Tan,

因此q%〃99_]%_]%一]/一]〃99_]"100_]"100.1,C正确；

an+l_41]>3_an&n-l“2>/3I

-an+~-------------------------------------2（R•2

2

对于D,册"〃,因此4-22（当且仅当〃=1时取等号），

2[1-（1）"]3。

4Z]+/++Clgg>-----------------------=4-（一）99—4

所以-5,D错误.

故选：ABC

【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、

累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.

\_

13.2##o.5

6

【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到的一4=-2及4=-4,求出答案.

-8-(-2)

生一4-------------=-2

【详解】由题意得'3

因为-2,々也也，-8成等比数列，设公比为4,

则£=-2x(-8)=16且&=-2qZ<0,

解得“=-4,

a?-Q］—21

故瓦-42,

j_

故答案为：2

14.历

【分析】根据双曲线为等轴双曲线可得答案.

22

,,土-匕=1

［详解］由/一旷=4得44,

所以双曲线为等轴双曲线，所以离心率为

故答案为：立.

10

15.3

【分析】利用向量数量积的几何意义，求出点P到平面的距离即可.

【详解】平面a经过原点。，且法向量为"=(2，1，2),°"=(1,2,3),

\OP->T\ip

则点P到平面。的距离为H3

10

故答案为：3.

16.2)

【分析】先利用得到｛”“｝为等比数列，求得通项公式，代入“

%=S“-S“T(«,,+2-1)(«„+1-1),利用裂项求

和法求出T",进而观察可得答案.

7

【详解】由5“+%=*-1,得S向+*=4+3，

两式作差得4+3=2。“+2，

又%=1a2=2S］+%=Q3—1得。3=4

a3_a2_2

贝|Ja2a\.

所以数列｛""｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

\%=2小

b二％_2"_1______1_

代入“(。“+2-1)(见+1-1)-(2向-1)(2"-1)-2"-,

T/11、/11、Z11、，1,

T—(----------5)+(-9-----Q)++(----------j)=1----：<1

所以〃2-122-122-123-12〃-12n+1-l2n+1-l

而无>北恒成立,所以7N1,

故答案为：［1'+0°).

17.x=l或3x-4y+5=°

【分析】若切线的斜率不存在，则切线方程为》=1,若切线的斜率存在，则可利用圆心到切线的距离为半

径可求斜率，从而得到切线方程.

【详解】若切线的斜率不存在，则切线方程为左=1,

若切线的斜率存在，设该斜率为上,

则切线的方程为：、=9-1)+2即履7+24=0,

/0+y2也］卜二

圆心到该直线O，故4,

故切线方程为x=l或3xf+5=0,填x=l或3Iy+5=°

【点睛】过一点作圆的切线，求其方程时，要注意该点是否在圆上，如果在圆上，则可以求出其与圆心的

连线的斜率的负倒数后可求切线的方程，如果该点不在圆上，则可以利用圆心到切线的距离等于半径求出

斜率，注意不要遗漏斜率不存在的情形.

18.⑴4=17-4"；(2)n=4时取得最大值28.

8

Q_产,(〃=1)

【分析】(1)利用公式"ls“-S“T(〃'2,"eN*),进行求解；

(2)对S"=-21+15〃进行配方，然后结合由“eN*,可以求出、”的最大值以及此时”的值.

[详解]。)由题意可知：S“=-2〃2+i5",当〃=1时，q=工=-2+15=13,

当〃22时=_2H2+15H—[—2(n—I)2+15(n—1)]=17—4n

当"=1时，显然成立，...数列｛“,｝的通项公式=17-4〃；

S,,=-2rr+15〃=-2(n-—)2+—

(2)48,

由“eN*,则〃=4时，S"取得最大值28,

当〃为4时，州取得最大值，最大值28.

【点睛】本题考查了已知凡求为，以及二次函数的最值问题，根据〃的取值范围求最大值是解题的关键.

立

19.(1)证明见解析(2)3.

【分析】(1)利用坐标法或几何法利用线面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量计算面面角.

【详解】(1)证明：由题平面ABCD,底面ABCD为矩形，以。为原点，直线ZM,DC,0P所在

直线分别为无轴、了轴、z轴建立空间直角坐标系D-孙z如图:

「222、

则4(2,0,0),0(0,0,0),C(0,l,0)；”(1,1,0),P(0,0,2),。丘

_1222)

以=月司司，AM=(-1,1,0)；"=(-2,0,2),

・.・DQAM=0.・.DQLAM

9

・・DQAP=O・DQLAP

•J••

•：AWAP=A，且平面RIA/,DQ_L平面上4".

（法二）证明：由题即，平面ABC。，底面.CD为矩形，以。为原点，直线八4,DC,0P所在直线

分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。一盯z如图：

(222、

则4(2,0,0),£)(0,0,0)；C(0,l,0)；M(1,1,0)；P(0,0,2),司

设"=(x,y,z)是平面pAM的一个法向量.

AM=(-1,1,0)"=(-2,0,2)

x=l

n.AM=-x+y=0<y=l

w.AP=-2x+2z=0取％=1,有〔z=l

2

则乂3,DQ//n

：.O—平面PAM.

(法三)证明：连接

PD，平面ABCD,AMu平面ABCD,;.PDJ_AM.

在.AMD中，AM=DM=0,AD^2

•;AM2+DM2=AD2,：.AMYDM,且PDcDM=D,

：.AM2平面PDA/,

又...DQu平面PDM；-AMYDQ

10

V6

DM_丘一迅2MTV1

cosZDMQ===

cosZPDM=-

又•:DM-7/2V

.../\PDMSADQM...DQ±PM

且AMPM=M,且4河,下须=平面/＞人做，/.。0，平面上4”.

（2）（接向量法）由（1）可知平面上4M的法向量为了可（也可为"=（W））.

平面尸CO的一个法向量为加=（1，°，°）.

2

3

:.平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为3.

（法二）延长AM,DC,交于点N,连接PN.

,,,NeAM,:.Nw平面PAM,<NwCD,：.NG平面PCD

：.平面PAMc平面PCD=PN

过D做OT'PN于T,连接AT.

P£)J_平面ABCD,j.PDYAD.

又AD_LC£>,CDPD=D,

二平面PC。，又PNu平面PC。，ADLPN

XVDT1PN,DTr>AD=D,平面的7,

二.尸N人平面ADT,.•.WAT,

11

NATO为二面角A-PN-。的平面角.

在必△A7D中，AT=娓,

DT_也

cosZATD=

AT-?6-T

B

平面与平面PDC的夹角的余弦值为3.

20.(1)数列也｝为2,5,8,11,8,5,2；(2)5=226-3,

【分析】(1)由仇心&也是等差数列，且4=2,々=11,先求出々也也也，然后由对称数列的特点可写

出数列的各项；

(2)由025，。26，、。49是首项为1,公比为2的等比数列，先求出侬，。26,，，09的通项，结合对称数列的对应

项相等的特点，可知前面的各项，结合等比数列的求和公式可求出数列的和.

【详解】⑴设数列色｝的公差为d,贝照=4+34=2+33=11,解得"=3,

所以数列也｝为2,5,8,11,8,5,2.

242526

(2)5=<?j+c2++c49=2(C25+c26++C49)—025=2(1+2+2?++2)—1=2(2—1)—1=2—3

了二〃

21.(1)"”=⑵-21也=3"।；(2)77+1.

【分析】(1)由题意求出数列｛"/的首项和公差及数列抄"｝的首项与公比，进而得到通项公式；(2)由

11

(1)可得gc用"(w+1),然后利用裂项相消法求出数列的和.

［详解】(1)设数列｛%｝的公差为d，数列｛>｝的公比为q

q+d=3

%+3d=27d=12

b、q=34=1

M=27,解得［=3

由题意得

,a“=-9+12(〃-1)=12〃-21也=3"T

nl

⑵由⑴知或=log3bn+1=log33~+\=n

12

1_1_1__1_

C〃%+1〃(〃+1)rin+1

n

几+1.

【点睛】使用裂项相消法求和时，一是要注意数列满足的特征，二是要注意正负项相消时消去了哪些项，

保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项.未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法

的根源与目的.

166

22.(1)32.(2)最小值为5.

【分析】(1)求出抛物线的焦点，即可得到C,再根据离心率求出。，最后根据。2=/-廿，求出"，即

可得到椭圆方程；

(2)当直线8。的斜率左存在且左时，设直线3。的方程为，=穴*+1),BQ，％),。伉，％),联立直

线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出怛口，再根据AC/3D,得到MC|,利用基本

不等式求出\AC\+\BD\的最小值，再计算直线的斜率不存在或等于零时He"忸"，即可得解；

【详解】解(1)抛物线丁=©的焦点为。,0),所以c=l,

-£-1-2^.

又因为6_0一々_3,