理学2-初等方法建模

第二章初等方法建模2.1比例分析模型2.2代数模型2.4简单优化模型2.1

比例分析模型2.1.2

划艇比赛成绩赛艇2000米成绩t(分)种类1234平均单人7.167.257.287.177.21双人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇长l

艇宽b(米)(米)l/b

7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

浆手数n

16.313.618.114.7对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现成绩与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。问题准备调查赛艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不变2.1.2划艇比赛成绩问题分析

前进阻力~浸没部分与水的摩擦力

前进动力~浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆功率

赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量艇重浸没面积

对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定

运用合适的物理定律建立模型2.1.2划艇比赛成绩模型假设1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比2）v是常数，阻力f与Sv2成正比符号：艇速v,浸没面积

S,浸没体积A,空艇重w0,阻力f,浆手数n,浆手功率

p,浆手体重

w,艇重W艇的静态特性艇的动态特性3）w相同，p不变，p与w成正比浆手的特征模型建立f

Sv2p

wv

(n/S)1/3S1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

nS

n2/3v

n1/9比赛成绩

t

n

–1/9np

fv2.1.2划艇比赛成绩模型检验n

t17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型

t

n

–1/9进行检验tn12487.216.886.325.84••••与模型巧合！2.1.2划艇比赛成绩2.2代数模型森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度，开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值？森林管理问题

模型假设1）把树木按高度分为n类，第1类树木的高度为

[0,h1]，它是树木的幼苗，第k类树木的高度为

（hk

-1,hk]，k=2,3,…,n-1，第n类树木的高度为

（hn-1,∞）；2）幼苗的经济价值为p1=0，第k类的经济价值为

pk

,k=2,3,…,n；3）每年对森林中的树木砍伐一次，且只砍伐部分树木，每砍伐一棵树木就补种一棵幼苗.森林管理问题

5）在一年的生长期内，树木最多生长一个高度类,

即第k类的树木可能进入第k+1类，也可能停留

在第k类，进入第k+1类的比例为;

4）补种的幼苗和未被砍伐的树木经过一年的生长期后，与砍伐前树木的高度状态相同；6）忽略两次砍伐期间树木的死亡情况.模型假设森林管理问题

设为第t年森林中第k类树木的数量，每年砍伐第k类树木数为建立模型S为森林树木总数没有砍伐时，树木第t+1年的数量是(2)森林管理问题

(1)有砍伐时，树木第t+1年的数量是(3)建立模型森林管理问题

引入树木状态向量x(t)、收获向量y、生长矩阵G和种植矩阵R如下建立模型森林管理问题

（2）式和（3）式分别写为考虑到假设4），又有（5）本问题即是求满足（1）式条件下的（5）式的解。建立模型树木状态向量x(t)、收获向量y、生长矩阵G、种植矩阵R森林管理问题

模型求解由于幼苗无经济价值，故不对其砍伐，即由（5）式可得(6)森林管理问题

利用收获向量和价值向量，得所收获树木的价值为(8)为了获得最大的收益,要在条件(1)和(7)式限制下,求（8）式的最大值。(7)模型求解森林管理问题

在实际中，往往只砍伐一种类别的所有树木，设为k类，且此时及（6）式得解得模型求解即森林管理问题

代入（1）式得此时，收获树木的价值为比较各即可获得最佳砍伐方案。模型求解森林管理问题

求出对其进行最优采伐的策略。例题

已知森林具有6年的生长期，g1=0.28,

g2=0.32,

g3=0.25,g4=0.23,

g5=0.37,p2=50元，p3=100元，p4=150元，p5=200元，p6=250元。问题森林管理问题

f2=14.0S,f3=14.7S,f4=13.9S,f5=13.2S,f6=14.0S，比较得f3最大，收益是14.7S。因此应砍伐第三年中的全部树木。求解例题

按上述方法计算得此时，x2=0.475S，森林群体x=(0.525,0.475,0,0,0，0)T，即第一年树木占树木总数的52.5%，第二年树木占树木总数的47.5%。森林管理问题

2.4简单的优化法2.4.1

存贮问题2.4.2

森林救火

现实世界中普遍存在着优化问题

静态优化问题指最优解是数(不是函数)

建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数

求解静态优化模型一般用微分法静态优化模型问题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。2.4.1

存贮问题问题分析与思考

每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。

10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元。

50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100=122500元，准备费5000元，总计127500元。平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用5000元

这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数——每天总费用的平均值

周期短，产量小

周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2；3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建模目的设r,c1,c2已知，求T,Q

使每天总费用的平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用每天总费用平均值（目标函数）离散问题连续化一周期贮存费为A=QT/2模型求解求T使模型分析模型应用c1=5000,

c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)

回答问题

经济批量订货公式（EOQ公式）每天需求量r，每次订货费c1,每天每件贮存费c2，用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型

问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费c3,

缺货需补足T一周期贮存费一周期缺货费周期T,t=T1贮存量降到零一周期总费用每天总费用平均值（目标函数）一周期总费用求T,Q使为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T′,Q记作Q‌′不允许缺货模型记允许缺货模型不允许缺货允许缺货模型0qQ

rT1tT注意：缺货需补足Q

~每周期初的存贮量R每周期的生产量R

（或订货量）Q~不允许缺货时的产量(或订货量)森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).

损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.

救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小2.4.2森林救火

关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形t1t20tBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0

t

t1,dB/dt

与t成正比，系数

(火势蔓延速度）2）t1

t

t2,

降为

-x

(

为队员的平均灭火速度）4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3假设1）的解释

rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比面积B与t2成正比，dB/dt与t成正比.模型建立b0t1tt2假设1）目标函数——总费用假设3）4）假设2）模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小结果解释

/

是火势不继续蔓延的最少队员数b0t