高一上学期期末复习【第五章 三角函数】十二大题型归纳（基础篇）（解析版）

高一上学期期末复习第五章十二大题型归纳（基础篇）【人教A版（2019）】题型题型1终边相同的角的表示1．（2023上·吉林长春·高一校考期末）下列各角中，与1850°角终边相同的角是（

）A．40° B．50° C．320° D．-【解题思路】根据1850°=50∘【解答过程】对选项A，1850°-40∘=1810∘对选项B，因为1850°-50∘=1800°=5×360对选项C，1850°-320∘=1530对选项D，1850°--400∘=故选：B.2．（2023下·山东威海·高一统考期末）下列角的终边与60°角的终边关于x轴对称的是（

）A．660° B．-660° C．690° D．【解题思路】根据已知角，利用周期性写出终边相同角，再结合选项判断即可.【解答过程】由题意知，与60°角的终边关于x轴对称的角为θ当k=2时，θ=-60°+720°=660°，A经验证，其他三项均不符合要求.故选：A.3．（2023·全国·高一随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720∘≤(1)60∘(2)-45(3)1303∘(4)-225【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据终边相同角的定义可写出满足条件的角的集合，然后解不等式-720∘≤β<【解答过程】（1）解：与60∘终边相同的角的集合为β由-720∘≤当k=-2时，β当k=-1时，β当k=0时，β所以，适合不等式-720∘≤β<360∘的元素β（2）解：因为-45所以，与-45∘终边相同的角的集合为由-720∘≤当k=-2时，β当k=-1时，β当k=0时，β所以，适合不等式-720∘≤β<360∘的元素β（3）解：因为1303∘所以，与1303∘18由-720∘≤223.3∘+k当k=-2时，β当k=-1时，β当k=0时，β所以，适合不等式-720∘≤β<360∘的元素β（4）解：因为-225所以，与-225∘终边相同的角的集合为由-720∘≤当k=-2时，β当k=-1时，β当k=0时，β所以，适合不等式-720∘≤β<360∘的元素β4．（2023·全国·高一课堂例题）在区间0°,360°内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角．(1)-80°(2)1600°；(3)-819°3【解题思路】通过角α的终边所成角为β=360°k+【解答过程】（1）因为-80°=280°-360°，所以在区间0°,360°内，与-80°角终边相同的角是（2）因为1600°=160°+4×360°，所以在区间0°,360°内，与1600°角终边相同的角是160°，它是第二象限角．（3）因为-819°36'=260°24'-题型题型2角度与弧度的换算1．（2023上·重庆南岸·高一校考期末）315°=（

）A．11π6 B．13π6 C．【解题思路】利用公式可求315°角的弧度数【解答过程】315°角对应的弧度数为315故选：C.2．（2023上·广东深圳·高一统考期末）在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为（

）A．60° B．90° C．120° D．180°【解题思路】根据弧长公式，结合弧度制与角度制互化公式进行求解即可.【解答过程】弧长为π的弧所对的圆心角为π2故选：B.3．（2023·高一课时练习）将下列角度化为弧度，弧度转化为角度(1)780°(2)-(3)67.5°(4)-(5)π(6)7【解题思路】利用π弧度=180°即可得出，即角度化弧度乘以π180，弧度化角度乘以180【解答过程】（1）解：780°=780180×（2）解：-1560°=-1560180（3）解：67.5°=67.5180π（4）解：-103π（5）解：π12弧度=（6）解：7π4弧度4．（2023上·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）（1）将下列角度和弧度进行互化．①50

②－950°

③-（2）已知角α=2000°，将α改写成β+2kπ（【解题思路】（1）根据角度和弧度互化公式进行求解即可；（2）根据终边相同角的性质进行求解即可.【解答过程】（1）①50∘=50×π180③-5（2）α=2000°=2000×因为109πrad是第三象限角，因此α题型题型3任意角的三角函数的定义及应用1．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）已知角α终边经过点Px,-6，且cosα=-5A．±25 B．±52 C．【解题思路】根据余弦函数的定义列式计算即可.【解答过程】因为角α终边经过点Px,-6，所以cosα解得x=-故选：C.2．（2023下·江西抚州·高一统考期末）若角α的终边经过点P(-3,4)，则sinα+A．-815 B．815 C．-【解题思路】根据三角函数定义可得.【解答过程】因为角α的终边经过点P(-3,4)，则r所以sinα所以sinα故选：A.3．（2023上·云南丽江·高一统考期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(-4,3)（1）求sinα，cos（2）求f(α【解题思路】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果；（2）利用诱导公式对原式进行化简，代入sinα，cosα【解答过程】解：（1）因为角α的终边经过点P(-4,3)∴sincos（2）诱导公式，得f(4．（2023·高一课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B．(1)若点B的横坐标为-45，求(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β【解题思路】（1）先利用已知条件得到B-（2）由△AOB为等边三角形，所以∠AOB【解答过程】（1）因为角α的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，可知角α纵坐标为正数，设B-45,m，则-根据三角函数的定义得：tanα（2）因为△AOB为等边三角形，所以∠则与角α终边相同的角β的集合为ββ题型题型4同角三角函数的基本关系1．（2023上·天津红桥·高一校考期末）已知tana=2，则4cosA．4 B．109 C．83 D【解题思路】根据条件，利用齐次式即可求出结果.【解答过程】因为tana=2，所以故选：C.2．（2023上·广东广州·高一仲元中学校考期末）已知sinα+cosα=13A．-13 B．-173 C．173【解题思路】利用同角三角函数之间的关系式可得sinαcosα=-【解答过程】将sinα+cos可得sinα又α∈0,π易知sinα-cos又sinα>0,cosα故选：C.3．（2023下·四川乐山·高一期末）已知tanα(1)2sin(2)sinα【解题思路】（1）同除以cosα（2）先添加分母sin2α+cos【解答过程】（1）2sin（2）sinα4．（2023上·四川成都·高一校联考期末）已知sinα(1)求tanα(2)求2sin2【解题思路】（1）上下同除cosα（2）借助sin2α+cos2α【解答过程】（1）∵sinα-解得tanα（2）2=2题型题型5三角函数的诱导公式1．（2023上·重庆·高一统考期末）sin-2022πA．32 B．-32 C．1【解题思路】直接利用诱导公式计算得到答案.【解答过程】sin-故选：B.2．（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）化简cosα-3A．1tan2α B．-1tan2【解题思路】利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【解答过程】cosα故选：C.3．（2023上·北京·高一校考期末）已知cosα=13，且-【解题思路】利用同角三角函数的基本关系求出tanα，然后利用诱导公式化简可得出所求代数式的值【解答过程】解：因为cosα=13，且所以，tanα故cos-4．（2023上·广东汕头·高一统考期末）已知角α是第三象限角，且f(1)化简fα(2)若sinα-π【解题思路】（1）利用三角函数的诱导公式，可得答案；（2）根据角的所在象限，利用同角三角函数的平方式以及三角函数的诱导公式，可得答案.【解答过程】（1）fα（2）因为sinα-π又角α是第三象限角，所以cosα所以fα题型题型6三角函数的定义域、值域与最值问题1．（2023下·内蒙古包头·高一统考期末）函数y=tan2A．xx≠5C．xx≠π【解题思路】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案.【解答过程】由题意可得：2x-π函数y=tan2故选：A.2．（2023下·陕西渭南·高一统考期末）已知函数fx=12sinA．-1,22 B．-1,22【解题思路】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，根据分段函数求出每一段的定义域，由三角函数的性质分别求值域，从而可得结果.【解答过程】由函数fx可得fx当x∈2k当x∈2k故fx值域为-故选：C.3．（2023上·山东泰安·高一校考期末）已知函数fx(1)求fx(2)若x∈-π3,π【解题思路】（1）根据正弦型三角函数的最小正周期与单调区间求法计算直接得出答案；（2）根据正弦型三角函数的在区间上最值的求法直接得出答案.【解答过程】（1）因为T=2π|ω由-π2+2故fx的单调递增区间为：-（2）因为x∈-π3,故当2x+π6=-π24．（2023上·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知函数g(x)=(1)求gx(2)若关于x的方程g2(x【解题思路】（1）根据余弦函数的性质结合整体思想即可求得函数的值域；（2）令t=gx，则t∈0,3【解答过程】（1）当x∈-π所以cos4所以g(故gx的值域为0,（2）令t=gx令f(根据题意Δ=2-m此时ft有两个不同的零点，而t=g所以22题型题型7三角函数的单调性问题1．（2023上·宁夏银川·高一银川二中校考期末）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π2,πA．y=sinx B．y=cosx【解题思路】根据三角函数的最小正周期以及单调性，一一判断各选项，即得答案.【解答过程】对于A∶对于函数y=sinx，sin|π6|=对于B：函数y=cosx的最小正周期为2π对于C∶函数y=-tanx以π为最小正周期，在(对于D∶y=sinx2的最小正周期为故选：C.2．（2023上·江苏宿迁·高一校考期末）已知函数其中ω>0．若fx=2sinωx+π4A．0,4 B．0,13 C．5【解题思路】利用正弦函数的单调性求出单调递增区间，然后分类讨论可得.【解答过程】由-π2+2所以函数fx的单调递增区间为-因为fx在区间π2,3π当k=0时，由fx在区间π2,3当k=1时，由5π4当k=2时，13π4易知，当k≤-1或k≥2综上，ω的取值范围为0,故选：D.3．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）已知函数fx=2cosωx+(1)求函数fx(2)求函数fx的单调区间【解题思路】（1）由已知及最小正周期求求参数，即可得解析式；（2）应用整体法求余弦函数的单调区间.【解答过程】（1）由f0=2cosφ=1⇒函数fx图象相邻两对称轴之间的距离为π2，故∴f（2）令-π+2kπ≤2x+令2kπ≤2x+π3故fx的单调递增区间为-2π4．（2023上·山东临沂·高一校考期末）己知函数f(x)=(1)求函数f((2)求函数f(x)在【解题思路】（1）由函数图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为π4，可得函数解析式，进而根据正弦函数的对称轴方程和对称中心,求出函数f(（2）由（1）知函数解析式，进而根据正弦函数的单调区间，求出f(x)在【解答过程】（1）由题a=1,b=0∵f(x∴T4=令2x+π所以f(x)令2x+π3=所以f(x（2）由（1）知，f(令2kπ当k=0时，-5π12≤函数f(x)在[0,题型题型8两角和与差的三角函数公式的应用1．（2023下·江西·高一统考期末）cos82°cos22°+A．-32 B．-12 C．【解题思路】利用两角差的余弦公式求解即可【解答过程】cos82°故选：C．2．（2023上·吉林长春·高一校考期末）若0<α<π2，-π2<β<0A．33 B．-33 C．-【解题思路】根据sinβ=【解答过程】因为cosα=33，因为0<α<π2，又因为sinα+β所以sin=1故选：B.3．（2023下·江苏淮安·高一统考期末）已知sinα=513，(1)求cosα(2)求cosβ【解题思路】（1）由已知函数值以及角的范围可得cosα=-（2）根据β+【解答过程】（1）因为π2<α所以cosα（2）由（1）可得：sinα因为0<β<π可得cosα所以cos=-34．（2023下·湖北十堰·高一统考期末）已知cosπ(1)求sin2(2)求cosα【解题思路】（1）利用和差公式将cosπ（2）根据诱导公式、平方关系和和差公式可解.【解答过程】（1）因为cosπ所以cosπ4cos所以(cosα+sinα所以sin2（2）因为α∈π4又因为cosπ4-因为sin5π4又β∈0,π4，则则cos==5故cosα题型题型9利用二倍角公式化简、求值1．（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）若sinα=-13，且α∈A．-429 B．-229【解题思路】根据同角三角函数基本关系及诱导公式、二倍角正弦公式求解.【解答过程】因为sinα=-1所以cosα所以sinπ故选：D.2．（2023上·内蒙古包头·高三统考期末）已知α∈0,π2，2sinA．127 B．1225 C．247 【解题思路】先利用倍角变形求得tanα，再利用二倍角的正切公式求tan2【解答过程】∵2∴4即4sin∵α∈0,∴4sinα∴tan故选：C.3．（2023上·河南新乡·高一校联考期末）已知sinα=7(1)求β；(2)求sin2【解题思路】（1）依题意，先确定α+β的取值范围，利用同角三角函数的平方关系，求得cosα+β和cos（2）结合（1）中结论，利用二倍角公式求得sin2α和cos【解答过程】（1）因为α∈0,π又因为sinα+β=3因为sinα=7210则sinβ=sin又因为β∈-π（2）由（1）可得cosα=2因为sin2则cos2所以sin2α4．（2023下·江苏宿迁·高一统考期末）已知2sin(1)求cos2(2)已知3tan2β【解题思路】（1）利用二倍角公式化简得2sin（2）利用二倍角公式和两角和的正切公式即可求解.【解答过程】（1）法一：2sin得tanαcos2法二：2sin由sin2α+cos2cos2（2）法一：由3tan2β1-tan2β由（1）知，tanα得tan(法二：由3tan2βtanβ=3或当tanβ=3时，当tanβ=-1故tan2β=-34得tan(题型题型10三角函数间图象的变换1．（2023上·北京·高一校考期末）要得到函数y=sin3x-A．向左平移π3个单位； B．向右平移πC．向左平移π9个单位； D．向右平移π【解题思路】根据三角函数平移变换规则计算可求解.【解答过程】由题意知：y=所以只需y=sin3x的图像向右平移π9个单位就可以得到故选：D.2．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）要得到函数y=3cosx的图象，只需将yA．横坐标变为原来的12（纵坐标不变）再向左平移πB．横坐标变为原来的12（纵坐标不变）再向左平移πC．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移π4D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移π8【解题思路】y=3cosx=3sinx【解答过程】因为y=3cosx=3sinx+再向左平移π4个单位长度得y=3sinx故选：C.3．（2023下·江西·高一校联考期末）已知函数fx(1)求fx的最大值及相应x(2)若把fx的图象向左平移π3个单位长度得到gx的图象，求gx【解题思路】（1）化简函数，然后结合三角函数函数的性质判断函数最值；（2）根据“左加右减”平移函数图像，然后整体代入求解函数的单调递增区间；【解答过程】（1）因为f=所以当2x即x=kπ+3（2）gx由2k得:kπ取k=0,1得：gx在0,π4．（2023下·江西赣州·高一统考期末）已如函数fx(1)用“五点法”作出函数fx在区间-(2)将函数fx的图像向右平移π6个单位长度，再将图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数gx的图像，求g【解题思路】（1）根据题意列出“五点法”对应的表格，从而得解；（2）利用三角函数平移伸缩变换的性质得到gx的解析式，从而利用三角函数的性质即可得解【解答过程】（1）依题意，列表如下：x-ππ7520ππ32f31-13所以数fx在区间-

.（2）因为fx所以将函数fx的图像向右平移π6个单位长度，可得到再将得到的图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得到gx因为-π24≤x故g(x)题型题型11由部分图象求函数的解析式1．（2022上·河南周口·高一校联考期末）已知函数fx=A

A．fB．直线x=π是C．fx图象的对称中心为D．将fx的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数【解题思路】对A，根据图最大值为3可得A=3，再根据周期求得ω=2，再根据最高点判断可得对B，代入x=对C，根据正弦函数对称中心的公式求解即可；对D，根据三角函数图象平移性质判断即可.【解答过程】对A，由最大值为3可得A=3，由图知T4=π12由图象最高点可得2×π12+又φ<π2，故φ故f0=3sin对B，fπ=3sin2π+π对C，令2x+π3=kπ对D，fx=3sin2x+π故选：C.2．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知函数fx=sinωx+φ(ω>0,0<φ<π)

A．图像关于y轴对称B．图像关于23C．在0,πD．在-π6【解题思路】根据图像得出32<ω<94，由过0,【解答过程】由图知T2<2又f则φ=π3f2π若φ=若φ=2π所以fx=sin2x因此A、B、C错，D对.故选：D.3．（2023上·吉林长春·高一校考期末）若函数fx=sin

(1)求函数fx(2)将函数fx的图象向左平移2π3个单位，再将所有图象上各点的横坐标缩短为原来的14倍，得到函数y【解题思路】（1）根据三角函数的部分图象求出T和ω,（2）根据函数图象平移变换法则，写出函数y=g【解答过程】（1）由f(x)的部分图象知，1因为T=2πω=4所以f(又因为f-所以-π所以φ=又因为φ<π2所以fx（2）将函数f(x)的图像向左平移2πy再将所有图像上各点的横坐标缩短为原来的14倍，得到函数y令-π+2k所以g(x)综上gx=cos4．（2023上·吉林长春·高一校考期末）已知函数f(

(1)求fx的解析式并求出f(2)先把fx的图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数gx的图象，若且关于x的方程gx-【解题思路】（1）由图象结合正弦函数的性质求得f(x)（2）先由图象的变换得出函数gx的解析式，再由正弦函数的性质得出gx【解答过程】（1）由图象可知，A=2,T4又ω>0，所以ω=2因为点π12,2在fx上，则2所以π6+φ=π2+2所以f(令-π2+2所以fx的增区间为-（2）先把fx的图象向右平移π4个单位得到的图像对应的解析式为再向下平移1个单位，得到的图像对应的解析式为gx∵x∈-所以-3≤2sin2因为gx-m=0在x∈所以m∈-3,0，即m题型题型12三角函数在物理学中的应用1．（2023上·广东·高一统考期末）如图，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈．则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是（

）A．y=2sinC．y=2sin【解题思路】设点P的纵坐标为ft=Asinωt+φ，根据题意可求【解答过程】设点P的纵坐标为ft由题意可得T=2π因为起始点P在第四象限，所以初相φ=-由图可知A=2所以ft所以该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是y=故选:A.2．（2023上·江苏宿迁·高一统考期末）声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y=Asinωt．音有四要素：