高一上学期期末复习【第一章 集合与常用逻辑用语】九大题型归纳（拔尖篇）（解析版）

2023-2024学年高一上学期期末复习第一章九大题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型1集合中元素的个数问题题型1集合中元素的个数问题1．（2023下·湖北·高二统考期末）已知集合A=0,2，B=1,2,3，C=aba∈A,b∈B，则集合CA．6 B．5 C．4 D．3【解题思路】由列举法列出集合C的所有元素，即可得答案.【解答过程】因为A=0,2，a∈A,b∈B，所以故C=aba∈A故选：C.2．（2023·高一课时练习）由a2，2-a，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（A．-1 B．1 C．3 D．【解题思路】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案.【解答过程】由题意由a2，2-a，3组成的一个集合A，A中元素个数不是因为a2=2-a=3无解，故由a2，2-a，故a2≠2-a≠3，即a≠-2,即A，B，C错误，D正确，故选：D.3．（2023上·福建泉州·高一校考阶段练习）已知集合A=(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；(3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围.【解题思路】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根；（2）（3）讨论a=0、a≠0【解答过程】（1）A是空集，∴a≠0且Δ<0，∴9-8∴a的取值范围为：（（2）当a=0时，集合A当a≠0时，Δ=0，∴9-8a=0，解得综上所求，a的值为0或98，当a=0时，元素为23，当a（3）当a=0时，A当a≠0时，要使关于x的方程ax2-3综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为-∞4．（2023上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）已知集合An=x1,x2,⋯,xnxi∈-1,1i=1,2,⋯,(1)若x=1,1,1,1，写出A4(2)令B=x⊙y|(3)若A⊆An，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，【解题思路】（1）由定义可写出A4中与x正交的所有元素（2）令δi=1,xi=yi,0,xi≠yi，（3）先考虑n=4时，共有四种互相正交的情况，设这4种情况的排列为z则按x=z1,z2,当n=14时，不妨设y1=(1,1,⋯1)（有14个1），y2=(-1,-1,⋯,-1,1,1,⋯1)（有7个-1，7个1），则y1,y2正交，再令a=(a【解答过程】（1）A4中所有与x正交的元素为-1,-1,1,1,（2）证明：对于m∈B，存在x=x1令δi=1,当xi≠yi时，xi那么m=所以m+（3）n=8时，不妨设x再考虑n=4即1111-11-11则按x1即x=x'=-z所以n=8时，A中最多可以有8n=14时，不妨设y则y1与y假设a=设a，b，c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外．a，b相应位置数字都相同的共有m个，b，c相应位置数字都相同的共有n个，则a⊙所以m+k=7可得n=由于a⊙可得2m所以除y1综上，n=14时，A中最多可以有2题型题型2根据元素与集合的关系求参数1．（2023上·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知A是由0，m，m2-3m+2三个元素组成的集合，且2∈AA．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【解题思路】由2∈A，可得m=2或m2【解答过程】因为集合A是由0，m，m2所以A=0,m所以m=2或m2-3m+2=2，解方程可得当m=2时，A当m=0时，A当m=3时，A=0,3,2，满足题意，∴故选：B.2．（2023上·广东惠州·高三统考阶段练习）集合A=x∈Rx-a2xA．a<3 B．a≤-1 C．a≤3【解题思路】根据元素与集合的从属关系列出限制条件可得答案.【解答过程】因为3∈A且-1∉A，所以3-a6+1故选：B.3．（2023·高一课时练习）已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值．【解题思路】（1）由-3∈A，得-3=a-（2）由a∈A，得a=a-3【解答过程】(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为1.4．（2022·高一课时练习）（1）如果集合A={x|x=（2）如果集合B=xx=m+2n，整数m,【解题思路】(1)设，x1=a(2)设x=m+2n（整数m，n互素），则有1x=mm2-2【解答过程】解:（1）证明：因为x1所以可设x1=a1+2b1，x2则x1由a1，a2，b1，b2∈因此x1（2）设x∈B，则x=m+所以1x若1x∈B，则m又m与n互素，所以m2所以当m，n互素，且m2-2n2如取m=3，n=2，得x=3+2综上，存在x，使得x与1x都属于集合B，如x=3+22题型题型3有限集合子集、真子集的确定1．（2023上·江苏镇江·高一校考阶段练习）若集合M=x∣m+1x2A．-1 B．233 C．±233【解题思路】根据题意，由条件可得集合M有且只有一个元素，然后分m+1=0与m+1≠0【解答过程】因为集合M=x∣m+1当m+1=0时，即m=-1，则当m+1≠0时，即m≠-1，则关于x的方程则Δ=m2综上所述，m=-1或m故选：D.2．（2023上·湖北孝感·高一校联考阶段练习）定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合A=8,23,81,153,254,370，B={x∈A|A．7 B．15 C．31 D．63【解题思路】根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合B，进而即得.【解答过程】81=8，所以22+382+113+523+533+73所以集合B=所以真子集个数：23-故选：A.3．（2022上·陕西西安·高一校考阶段练习）已知集合A=a-(1)求实数a的取值的集合M；(2)写出（1）中集合M的所有子集.【解题思路】（1）利用-3∈A可求出a，再验证合理性，进一步确定（2）利用子集的概念作答即可【解答过程】（1）因为-3∈A，且所以a-3=-3或2a2+5a=-3当a=0时，2a2当a=-1时，A当a=-32∴实数a的取值的集合M（2）因为M=-1,-32，所以集合M的子集有：∅,4．（2022上·北京西城·高一校考阶段练习）设集合Sn={1,2,3,…,n}，若X是Sn的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称(1)写出S3(2)写出S4(3)求证：Sn的奇子集与偶子集个数相等【解题思路】（1）根据子集的定义,以及对应题目中偶子集的定义,即可得S3（2）根据题意,分析S4的子集,对应奇子集的定义,即可得S（3）设S为Sn的奇子集,根据奇子集和偶子集的定义,按1是否属于S进行分类,则得到奇子集和偶子集之间的关系,分析即可证得结论【解答过程】（1）S3={1,2,3}，则S3的所有子集为：∅、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}S3的所有偶子集为：∅、{2}、{1,3}、{1,2,3}（2）由题意可知,当n=4时,S∵X的容量为奇数,则X为Sn∴.所有的奇子集应为为{1}、{3}、{1,2}、{1,4}、{3,4}、2,3、{1,2,4}、{2,3,4}.（3）对于Sn的每个奇子集A当1∈A时,取B当1∉A时,取B则B为Sn的偶子集反之，若B为Sn的偶子集当1∈B时,取A当1∉B时,取A则A为Sn的奇子集Sn所以Sn的奇子集与偶子集的个数相等题型题型4根据集合间的关系求参数1．（2023上·甘肃白银·高一校考期末）已知集合A=x∈R2x-3-a≥0，集合BA．a≥-72C．a≤-72【解题思路】根据一元一次不等式的解法化简集合A，根据二次函数值域求解集合B，然后利用集合关系列不等式求解.【解答过程】集合A=集合B=因为A⊆B，所以3+a故选：A.2．（2023上·浙江绍兴·高三统考期末）已知集合A={x∈N*∣x=y+2A．1 B．3 C．6 D．10【解题思路】将方程平方整理得4y2-8xy+x2【解答过程】解:根据题意将x=y+继续平方整理得：4y2所以Δ=64x2-16因为x∈N*当x=1时，22xy-y2当x=3时，4当x=4时，y故A={2,3,4}，因为B⊆A且集合B所以B集合可以是{2,3}，{2,4}，{3,4}.故选：B.3．（2023上·山西太原·高一校考阶段练习）已知集合A={x|（1）若A⊆B，求（2）若B⊆A，求a【解题思路】（1）由题A={-4,0}，集合B最多两个元素，A⊆B，则A=B（2）分类讨论：B为空集，单元素集合，两个元素的集合三种情况分别求解即可.【解答过程】（1）由题集合B最多两个元素，A={-4,0}，A⊆B，则A=B，所以集合B中的方程两根为-4,0，△=4(a（2）由题B⊆A，B当集合B=∅△=4(a+1)2-当集合B中只有一个元素时：△=4(a+1)2-4(a当B中有两个元素时：△=4(a+1)2-此时则A=B，所以集合B中的方程两根为x1=-4,x综上所述：a≤-1或a4．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考阶段练习）已知A=a1,a2,a3,a(1)判断B=0,2,1,4是否为5-连续生成数组？是否为(2)若C=0,1,a,2为(3)数组A=a1【解题思路】（1）根据m-（2）根据题意，得出PC（3）根据题意PA=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，从而a1,a【解答过程】（1）B=0,2,1,4，∵1,2,3,4,5⊆PB，∴B∵1,2,3,4,5,6不是PB的子集，∴B=0,2,1,4不是（2）C=0,1,a,2，若C=0,1,a,2为则a=3（3）若A=a1,a又PA=a则PA=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10∴a1+a即4(a∵a1,a2而55为奇数，4(a∴数组A=a1,题型题型5交、并、补集的混合运算1．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）设全集U=R，集合A=xx<2，B=A．xx<2 BC．x-2<x【解题思路】先求出∁UB，再求【解答过程】∁U所以A∩故选：C.2．（2023上·云南昆明·高一统考期末）图中U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分表示的集合是（

）A．A∩∁UC．∁UA∩【解题思路】由阴影部分的元素特点可直接得到结果.【解答过程】由Venn图知，阴影部分的元素既不属于集合A，也不属于集合B，所以阴影部分表示的集合是∁U故选：D.3．（2023下·山东滨州·高二校考期末）已知集合P=x|-1<(1)P(2)P(3)((4)(【解题思路】（1）根据并集的定义计算可得；（2）根据交集的定义计算可得；（3）根据补集、交集的定义计算可得；（4）根据补集、并集的定义计算可得.【解答过程】（1）因为P=x|-1<所以P∪（2）因为P=x|-1<所以P∩（3）因为P=x|-1<所以∁RP={所以(∁（4）因为P=x|-1<所以∁RP={x|x≤-1所以(∁RP4．（2022上·北京密云·高一统考期末）已知集合M=x|(1)当a=1时，求M∩N(2)当a=0时，求M(3)当N⊆M时，求【解题思路】（1）化简集合M，即可得到M∩N（2）化简集合M，求出CRN（3）化简集合M，根据N⊆M，即可求出【解答过程】（1）由题意，在M=x|x2∴M=∴M∩N=（2）由题意及（1）得，在M=x|x2∴M=∴CR∴M∩（3）由题意及（1）（2）得，在M=x|x2∵N⊆∴2a解得：a≤-∴a的取值范围为-∞题型题型6集合混合运算中的求参问题1．（2023上·广西贵港·高一统考期末）若全集U=-1,2,4,5,19，集合∁A．4 B．-C．-1,2,4 D．【解题思路】先由已知条件求出A∩B，则可求得集合A中的元素，从而可判断集合【解答过程】因为全集U=-1,2,4,5,19所以A∩所以-1,4∈所以只有选项C的集合-1,2,4故选：C.2．（2022上·山西朔州·高三统考期末）已知集合A={x|1<x<2}，B={xA．(-∞,1] B．(-∞,1) C．【解题思路】由题可得A⊆B【解答过程】解：由题知A∩得A⊆B，则故选：A．3．（2023上·浙江台州·高一统考期末）已知集合A=x∈(1)若a=0，求A(2)若A∩CR【解题思路】（1）根据交集的定义，即可求得本题答案；（2）由A∩CRB=A，得A⊆C【解答过程】（1）若a=0，则A因为B=x∈（2）由题，得CRB=xx若A=∅，则2a-若A≠∅，即a<4时，则有a+1≤-1，或2a-综上，a∈4．（2022上·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知A=xx(1)若a=1，求A(2)从①A∪∁RB=R；②问题：若，求实数a的所有取值构成的集合C.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解题思路】（1）当a=1时，求出集合B、A，利用补集和交集的定义可求得集合A（2）选①，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=1a选②，分析可知B⊆A，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=选③，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=1a【解答过程】（1）解：当a=1时，B又因为A=xx（2）解：若选①，当a=0时，B=∅，则∁R当a≠0时，B=1a，若A∪∁RB=综上所述，C=若选②，∵A∩B当a=0时，B=∅，满足当a≠0时，B=1a，因为B⊆A，则1a综上所述，C=若选③，当a=0时，B=∅，满足当a≠0时，则B=1a，因为B∩∁RA=∅综上所述，C=题型题型7由充分条件、必要条件求参数1．（2023下·湖南长沙·高二校联考期末）已知p:x≥k,q:2-xA．2,+∞ B．C．1,+∞ D．【解题思路】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系求解.【解答过程】q:2-xx+1≤0，即q:所以k≥2，即k的取值范围是2,+故选:A.2．（2023下·浙江·高一期末）已知条件p:|x+1|>2，条件q:x>a，且¬A．a≤1 B．a≥1 C．a≥-1【解题思路】解不等式得到p:x<-3或x>1，根据题意得到q是【解答过程】由条件p:x+1>2，解得因为¬p是¬q的充分不必要条件，所以q是故A=xx>a则a的取值范围是a≥1故选：B．3．（2023上·湖北武汉·高一武汉市第十七中学校联考期末）已知p:x2(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）先化简条件p，再利用p是q的充分条件列出关于实数m的不等式，解之即可求得实数m的取值范围；（2）按实数m分类讨论，利用p是q的必要条件列出关于实数m的不等式，解之即可求得实数m的取值范围.【解答过程】（1）由x2-5x又q:1-m≤x≤3+可得1-m≤-16≤3+m，解之得m≥3（2）由（1）得p:-1<x当m<-1时，1-m>3+m，q:当m≥-1时，由p是q可得1-m>-16>3+综上，实数m的取值范围为-∞4．（2023上·湖北襄阳·高一统考期末）已知集合A=x∣a-1≤x≤2a+1,B=x∣-2≤x≤4.在(1)当a=3时，求∁(2)若______，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）利用集合的交并补运算即可得解；（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件推得集合的包含关系，再结合数轴法即可得解.【解答过程】（1）当a=3时，A=x所以A∩B=x∣2≤（2）选①：因为A∪B=当A=∅时，则a-1>2a+1，即a当A≠∅时，a≥-2，由A⊆B得综上：a<-2或-1≤a≤3选②：因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以当A=∅时，则a-1>2a+1当A≠∅时，a≥-2，则a-综上：a<-2或-1≤a≤3选③：因为A∩所以当A=∅时，则a-1>2a+1，即a当A≠∅时，a≥-2，由A∩B=∅得2a+1<-2又a≥-2，所以-2≤a综上：a<-32或a>5，实数题型题型8充要条件的证明1．（2023上·贵州黔东南·高二统考期末）已知x,y都是非零实数，且x>y，求证：【解题思路】根据充要条件的定义进行证明即可．【解答过程】（1）必要性：由1x<1y，得又由x>y，得y-（2）充分性：由xy>0及x得xxy>y综上所述，1x<12．（2022上·江苏苏州·高一校考阶段练习）求证：方程mx2-【解题思路】先证明充分性，即当0<m<13时，方程mx【解答过程】先证明充分性：若0<m<13，设方程的两个实根为则x1+x2=故方程mx再证明必要性：若方程mx令f(当m>0时，其图象是开口方向朝上，且以x若关于x的方程mx则必有两个不等的正根，则函数f(则2m>03当m<0时，其图象是开口方向朝下，且以x若关于x的方程mx则必有两个不等的负根，则函数f(则2m故关于x的方程mx2-2x∴方程mx2-3．（2023·高一课时练习）设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a⩽b⩽c.我们知道,如果△ABC为直角三角形,那么a2+b2=c2(勾股定理).反过来,如果a2+b2=c2,那么△ABC为直角三角形【解题思路】根据勾股定理易得△ABC为锐角三角形的充要条件是a2+b2>c【解答过程】解:(1)设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c证明如下:必要性:在△ABC中,∠C是锐角,作AD⊥BC,D显然A=AC2+充分性:在△ABC中,a2+b假设∠C为钝角,如图(2).作AD⊥BC,交BC则A=A即c2>b2+a2故∠C为锐角,即△ABC

(2)设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c证明如下:必要性:在△ABC中,∠C为钝角,如图(2),AB2=AD2充分性:在△ABC中,a∴∠C不是直角,假设∠C为锐角,则A=AC2-CD2+CB2+CD2-2CD4．（2023·全国·高一专题练习）当m,n∈Z时，定义运算⊗：当m,n>0时，m⊗n=m+n；当m,n<0时，(1)计算-2(2)证明，“a=0,b=-2或a=-2,b=0【解题思路】（1）先理解⊗的运算，然后求解即可；（2）先证充分性，再证必要性即可．【解答过程】（1）-2（2）先证充分性：当a=0,b=-2或a即a=0,b=-2或a再证必要性：当a⊗显然当ab>0时，a⊗b>0，当即ab>0与ab当a=0时，由a⊗b当b=0时，由a⊗b即“a=0,b=-2或a=-2,b=0综上，命题得证．题型题型9全称量词与存在量词中的含参问题1．（2023上·山西太原·高二统考期