1.2.1 幂的乘方与积的乘方 2023-2024学年北师大版七年级数学

1.2幂的乘方与积的乘方

（第1课时）

七年级

下册木星的半径是地球的10倍，它的体积是地球的103倍！太阳的半径是地球的102倍，它的体积是地球的(102)3

倍！那么，你知道(102)3等于多少吗？(102)3=102×102×102=102+2+2=106=

102×3任务一：幂的乘方的法则（较简单的）（指向目标1)探究新知计算下列各式，并说明理由．（1）(62)4

；（2）(a2)3

；（3）(am)2

．解：（1）(62)4=62×

62×62×62

=62+2+2+2+2=62×4

=68；

（2）(a2)3=a2×a2×a2

=a2+2+2=a2×3=a6；

（3）(am)2=am×am=am+m=a2×m=a2m．做一做:猜想：(am)n=_____.amn归纳总结幂的乘方，底数

，指数

.(am)n=amn

(m,n都是正整数)不变相乘幂的乘方法则注意：公式中的a可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，当底数为多项式时，应将其视为整体。想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？探究新知运算种类公式法则中运算计算结果底数指数同底数幂乘法幂的乘方乘法乘方不变不变指数相加指数相乘

计算：（1）(102)3

；（2）(b5)5

；

（3）(an)3

；（4）-(x2)m

；（5）(y2)3·y；（6）2(a2)6-(a3)4

．例1解:（1）(102)3=102×3=106

；

（3）(an)3=an×3=a3n

；

（5）(y2)3·y=y2×3·y=y6·y=y7

；

（6）2(a2)6-(a3)4=2a2×6-a3×4=2a12-a12=a12

．（2）(b5)5=b5×5=b25

；（4）-(x2)m=-x2×m=-x2m

；注意：符号的位置和底数的确定：是底数符号还是幂的符号．探究新知

方法总结运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，幂的乘方转化为指数的乘法运算（底数不变），同底数幂的乘法转化为指数的加法运算（底数不变）1.判断下面计算是否正确，正确的说出理由，不正确

的请改正.（1）(x3)3

=

x6；(x3)3

=

x3×3

=

x9×

（2）x3

·

x3

=

x9；×x3

·

x3

=

x3

+

3

=

x6（3）x3

+x3

=

x9.×x3

+x3

=

2x3(-a5)2表示2个-a5相乘，结果没有负号.(-a2)5和(-a5)2的结果相同吗?为什么?不相同.(-a2)5表示5个-a2相乘，其结果带有负号.(-a2)5=(-a2)(-a2)(-a2)(-a2)(-a2)=-a10n为偶数n为奇数任务二：幂的乘方的法则（复杂的）（指向目标2）(-a5)2=(-a5)

(-a5)=a10

练习：(1)[(－a)3]5；(2)－(－x2)9.(1)[(－a)3]5＝(－a)15＝－a15.(2)－(-x2)9＝－(-x18)=x18.想一想：下面这道题该怎么进行计算呢？幂的乘方:＝(a6)4=a24[(y5)2]2=______=________[(x5)m]n=______=________练一练：(y10)2y20(x5m)nx5mn探究新知例2

计算：(1)

(x4)3·x6;(2)

a2(－a)2(－a2)3＋a10.解:

(1)

(x4)3·x6=x12·x6=x18；

(2)

a2(－a)2(－a2)3＋a10

=

-a2·a2·a6＋a10

=

-a10＋a10

=

0.忆一忆有理数混合运算的顺序先乘方，再乘除先乘方，再乘除，最后算加减底数的符号要统一

方法总结与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项．探究新知1.计算：(1)（x3）4·x2

；(2)2（x2）n－（xn）2

；

(3)[（x2）3]7

(4)a2(－a)4(－a2)5＋3a16.解：(1)原式=x12·x2=x14.(2)原式=2x2n

－x2n=x2n.(3)原式=(x2)21=

x42.(4)a2(－a)4(－a2)5＋a16=

-a2·a4·a10＋3a16=

-a16＋3a16=

2a16

即时评价2：例3

已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.

(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n．解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27；

(2)102n＝(10n)2＝22＝4；

(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.

方法总结：此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可.任务三：逆用幂的乘方的运算法则解决各种类型题.（指向目标3）1、

已知am=2，an=3,

求:（1）a2m

，a3n的值；解:(1)a2m=(am)2=22=4，a3n=(an)3=33=27；(3)a2m+3n=a2m.a3n=(am)2.(an)3=4×27=108.（3）a2m+3n

的值.（2）am+n

的值;(2)am+n=am.an=2×3=6；即时评价3（检测目标3）例4

比较3500,4400,5300的大小.分析：这三个幂的底数不同,指数也不相同,不能直接比较大小,通过观察,发现指数都是100的倍数,故可以考虑逆用幂的乘方法则.解:3500=(35)100=243100,4400=(44)100=256100,5300=(53)100=125100.因为256100>243100>125100,所以4400>3500>5300.

方法总结比较底数大于1的幂的大小的方法有两种:(1)底数相同,指数越大,幂就越大;(2)指数相同,底数越大,幂就越大.故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其转化为同底数的幂或同指数的幂，然后再进行大小比较.探究新知2、比较大小：233____322233=(23)11=811322=(32)11=911＜3、比较大小：435____528435=(45)7=10247528=(54)7=6257＞例2已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值.解：∵2x＋5y－3＝0，

方法总结：本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，整体代入求解也比较关键．∴2x＋5y＝3，∴4x·32y＝(22)x·(25)y

＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.底数不同，可以化成同底数幂，再进行运算.1.（2020•河北）若k为正整数，则（k+k+…+k）k＝（

）A．k2k

B．k2k+1

C．2kk

D．k2+k2.（2020•衢州）计算（a2）3，正确结果是（）A．a5

B．a6

C．a8

D．a9连接中考ABk个k1．计算：(1)(102)8；(2)(xm)2；解：(1)(102)8＝1016.(2)(xm)2＝x2m.基础巩固题一、导入新课情境导入问题：地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为6×103km，它的体积大约是多少立方千米?那么，(6×103)3=？这种运算有什么特征？

二、新知探究我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？做一做：(1)(ab)2；

(2)(ab)3.我们只能根据乘方的意义及乘法交换律、结合律可以进行运算.这两道题有什么特点？底数为两个因式相乘，积的形式.这种形式为积的乘方.探究一：积的乘方二、新知探究同理：（乘方的意义）（乘法交换律、结合律）（乘方的意义）（乘方的意义）（乘法交换律、结合律）（乘方的意义）二、新知探究(ab)

n=(ab)·(ab)·····(ab)n个ab=(a·a·····a)·(b·b·····b)n个a

n个b=anbn.证明：思考：积的乘方(ab)n=?猜想结论：

因此可得：(ab)n=anbn

(n为正整数).

(ab)n=anbn

(n为正整数)（幂的意义）（乘法交换律、结合律）（乘方的意义）二、新知探究知识归纳积的乘方法则:

(ab)n=anbn（n为正整数）

想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？

(abc)n

=anbncn

（n为正整数）积的乘方乘方的积积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.二、新知探究1.计算下列各式:(1)(3x)2

；(2)(－2b)5

；

(3)(－2xy)4

；(4)(3a2)n；(5)(-3xy3n)2+(xy6)n.

(4)原式==3na2n.

解：(1)原式==9x2；32x2

(2)原式==－32b5；

(－2)5b5(3)原式==16x4y4；(－2)4x4y43n(a2)n跟踪练习(5)原式=9x2y6n+xny6n.积的乘方运算的“三注意”：(1)运用积的乘方法则时，应是每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式.(2)当底数中的因式是幂时，要运用到幂的乘方法则.(3)进行积的乘方时，勿忽略系数的“-”号.方法归纳二、新知探究二、新知探究探究二：积的乘方的应用问题解决：地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为6×103km，它的体积大约是多少立方千米?

=？

答：地球的体积大约是9.05×1011立方千米.二、新知探究

跟踪练习

二、新知探究解：原式逆用幂的乘方的运算性质幂的乘方的运算性质逆用同底数幂的乘法运算性质逆用积的乘方的运算性质计算:提示：可利用简化运算二、新知探究逆用积的乘方法则的条件:(1)必须是两个或两个以上的幂相乘;(2)相乘的幂的指数必须相同,若指数不同,需先逆用同底数幂的乘法法则转化为指数相同的幂,然后逆用积的乘方法则计算.积的乘方法则的逆用：an·bn=(ab)n

.知识归纳三、典例精析例1计算:(1)(a2bm)3·b2;

(2)(-2xy2)6+(-3x2y4)3.解:(a2bm)3·b2=a6b3m·b2

=a6b3m+2.解:(-2xy2)6+(-3x2y4)3=64x6y12-27x6y12

=37x6y12.混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后加减.三、典例精析例2：计算下列各式.（1）82022×(-0.125)2022；

（2）解:82022×(-0.125)2022=[8×(-0.125)]2022=(-1)2022=1.三、典例精析例3：若n为正整数，且x2n=2，求(3x3n)2-3(x2)2n的值.解:因为x2n=2,所以(3x3n)2-3(x2)2n=9x6n-3x4n=9(x2n)3-3(x2n)2=9×23-3×22=72-12=60.方法总结：当所求式子的值不易求出时,观察已知条件与所求代数式之间的关系,正用或逆用幂的乘方和积的乘方法则,采用转化思想或整体思想化简求值.四、当堂练习1.计算(x3y)2的结果是 (

)A.x5yB.x6y2

C.x8y2

D.x9y22.下列各式计算正确的是 (

)A.(-3x2)2=6x4 B.(-2ab)3=8a3b3C.-(-4a3)2=-16a6 D.(-ab2c)3=-a3b6cBC3.计算a·a5-(2a3)2的结果为 (

)A.a6-2a5 B.-a6C.a6-4a5 D.-3a6D

四、当堂练习36.一个正方体的棱长是1.5×102cm,用a×10n