行列式展开定理与法则

关于行列式展开定理与法则

一、余子式与代数余子式

定义1

在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a

ij

所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij

的余子式，记作Mij.令Aij

(

1)i

jMij，Aij称为元素aij的代数余子式.a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

再如，求4阶行列式中a13的代数余子式a21a31a41

a22a32a42

a24a34a44

M13

A13

(-1)1+3M13=M13下页第2页,共32页，2024年2月25日，星期天观察三阶行列式下页第3页,共32页，2024年2月25日，星期天二、展开定理

定理3

n阶行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都为0，则行列式等于aij与其对应的代数余子式的乘积.即D

aijAij第4页,共32页，2024年2月25日，星期天

定理3

n阶行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都为0，则行列式等于aij与其对应的代数余子式的乘积.即D

aijAij二、展开定理第5页,共32页，2024年2月25日，星期天

定理3

n阶行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都为0，则行列式等于aij与其对应的代数余子式的乘积.即D

aijAij二、展开定理第6页,共32页，2024年2月25日，星期天

定理4

n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即D

ai1Ai1

ai2Ai2

ainAin(i=1,2,

,n)，D

a1jA1j

a2jA2j

anj

Anj(j=1,2,

,n).下页二、展开定理第7页,共32页，2024年2月25日，星期天

定理4

n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即D

ai1Ai1

ai2Ai2

ainAin(i=1,2,

,n)，D

a1jA1j

a2jA2j

anj

Anj(j=1,2,

,n).下页二、展开定理第8页,共32页，2024年2月25日，星期天

定理5

n阶行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积的和等于零.即ai1Aj1

ai2Aj2

ainAjn

0(i

j)，a1iA1j

a2iA2j

ani

Anj

0(i

j).下页二、展开定理？第9页,共32页，2024年2月25日，星期天

例1．分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D=解：按第一行展开13311-2311-213

a11A11

a12A12

a13A13D=1

(-1)1+1+0

(-1)1+2

(-1)1+3+(-2)=1

(-8)+0+(-2)

5=-18.三、利用展开定理计算行列式下页第10页,共32页，2024年2月25日，星期天按第二列展开1-2311-2-2111-23

=0+1

(-3)+3

(-1)

5=-3-15=-18.

例1．分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D=解：按第一行展开

a11A11

a12A12

a1nA1nD=1

(-8)+0+(-2)

5=-18.

(-1)3+2+3

(-1)2+2+1

(-1)1+2=0

a12A12

a22A22

a32A32D下页第11页,共32页，2024年2月25日，星期天解：

将某行(列)化为一个非零元后展开例2．计算行列式1

2

34120-53-1-101

012D==

-2-2-20-3-9-7-10-121

110-3-9

-20-3

-5=-24.1

2

3400-3-90-7-10-120-2-2-21

2

34120-53-1-101

012D=下页第12页,共32页，2024年2月25日，星期天解：

将某行(列)化为一个非零元后展开例2．计算行列式1

2

34120-53-1-101

012D==(-1)(-1)3+2

7

147-2-51

126

029

0-11

12=1

(-1)2+2

692-1=-6-18=-24.7

0

1470-2-53-1-101

0121

2

34120-53-1-101

012D=下页第13页,共32页，2024年2月25日，星期天例3.计算行列式解：下页第14页,共32页，2024年2月25日，星期天例4

计算行列式解：下页第15页,共32页，2024年2月25日，星期天下页第16页,共32页，2024年2月25日，星期天(D2=5)解：例5.计算行列式下页第17页,共32页，2024年2月25日，星期天证明：从最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得例6.

证明范得蒙德（Vandermonde）行列式下页第18页,共32页，2024年2月25日，星期天下页第19页,共32页，2024年2月25日，星期天下页第20页,共32页，2024年2月25日，星期天由此推得…

…即…

…下页第21页,共32页，2024年2月25日，星期天例7下页解第22页,共32页，2024年2月25日，星期天例8过平面上的n个互异点能否惟一确定一条n-1次曲线：解假设曲线过平面上的n个点分别为：下页即得：过平面上的n个互异点惟一确定一条n-1次曲线。第23页,共32页，2024年2月25日，星期天

求解行列式的基本方法☆对角线法——仅对二、三阶行列式适合．☆定义法——对一般行列式可利用定义进行求解，利用该方法对行列式进行计算通常会比较麻烦．☆公式法——对一些行列式可利用性质将其转化为上(下)三角形行列式、范德蒙德(Vandermonde)行列式等特殊行列式，利用公式进行计算．☆降阶法——利用按行(列)展开定理，把高阶行列式转化为低阶行列式进行计算．☆递推法——对规律性强且元素多的行列式，可用按行(列)展开公式建立递推关系式求解行列式的值．下页第24页,共32页，2024年2月25日，星期天行列式阶数余子式消元法加法乘法

加法乘法和除法2121335951042340142351192053044103687996235300285339公式法与降阶法计算效率的比较：下页第25页,共32页，2024年2月25日，星期天j=1,2,…,n.有且仅有一个解第3节

克拉默法则定理1含有n个未知量n个方程的线性方程组当其系数行列式时,

其中，Dj是把系数行列式D的第j列换为方程组的常数列b1,b2,…,bn所得到的n阶行列式（j=1,2,…,n）.

下页第26页,共32页，2024年2月25日，星期天例1.

解线性方程组

下页解:

方程组的系数行列式

因为D≠0,

故方程组有唯一解..

第27页,共32页，2024年2月25日，星期天故方程组的解为下页进一步计算(计算过程，略)，有

第28页,共32页，2024年2月25日，星期天推论含有n个未知量n个方程的线性方程组

如果无解或非唯一解,则系数行列式D=0.

例如

解线性方程组

下页显然，此方程组无解.

其系数行列式为第29页,共32页，2024年2月25日，星期天定理2含有n个未知量n个方程的线性方程组,如果其常数项都为零，即形如当其系数行列式时,