随机变量矢量和序列

关于随机变量矢量和序列12随机变量定义3.1随机变量x(ξ)是一个映射，这个映射为每个来自抽象概率空间的结果ξ赋予一个实数x。该映射满足的如下条件：(1)对于任一x，区间{x(ξ)≤x}为概率空间中的一个事件(2)Pr{x(ξ)=∞}=0,且Pr{x(ξ)=－∞}=0第2页,共59页，2024年2月25日，星期天3随机变量随机变量映射示意图抽象空间S实数空间R随机变量x(ξ)ξ1x(ξ1)ξ2x(ξ2)ξ3x(ξ3)ξ4x(ξ4)第3页,共59页，2024年2月25日，星期天4分布密度与密度函数分布函数(Cummulativedistributionfunction,cdf)概率密度函数(probabilitydensityfunction,pdf)第4页,共59页，2024年2月25日，星期天5分布密度与密度函数对于离散的随机变量，采用概率质量函数(probabilitymassfunction,pmf)概率函数满足：第5页,共59页，2024年2月25日，星期天6统计值数学期望数学期望具有线性特征第6页,共59页，2024年2月25日，星期天7统计值矩(moments)特殊情况第7页,共59页，2024年2月25日，星期天8统计值中心矩特殊情况第8页,共59页，2024年2月25日，星期天9统计值方差与矩的关系:方差主要表征随机变量围绕中心值的分布（或散布）程度的度量倾斜度(skewness)：表明随机变量与中心分布的不对称程度。向右倾斜，其值为正，向左则其值为负。第9页,共59页，2024年2月25日，星期天10统计值峰度(kurtosis)：表明随机变量在均值附近的相对平坦程度或峰值程度。相对于正态分布而言，正态分布的峰度值为0，比正态分布陡峭，则峰度值大于0，否则小于0。第10页,共59页，2024年2月25日，星期天11均值、方差、倾斜度和峰度示意fx1(x)µ1fx2(x)µ2数学期望fx1(x)fx2(x)方差σ1σ2fx1(x)fx2(x)倾斜度负正fx1(x)fx2(x)峰度负正第11页,共59页，2024年2月25日，星期天12切比雪夫(Chebyshev)不等式随机变量偏离其平均值k倍标准偏差的概率，小于或等于1/k2,与概率密度函数的具体形式无关：第12页,共59页，2024年2月25日，星期天13特征函数定义采用s代替将上式的jξ，得到矩的生成函数在s=0处按泰勒级数展开，假设各阶矩存在第13页,共59页，2024年2月25日，星期天14特征函数从上式可知，只要随机变量的所以矩都已知（且存在），那么可以求出生成函数，然后进行拉普拉斯反变换就可以确定密度函数通过生成函数对s的微分可以求出矩第14页,共59页，2024年2月25日，星期天15累积量累积量生成函数是矩的生成函数的自然对数用jξ代替s得到第二特征函数累积量为累积量生成函数的导数第15页,共59页，2024年2月25日，星期天16累积量零均值随机变量的前5个累积量为第16页,共59页，2024年2月25日，星期天17常用分布——均匀分布概率密度函数pdf累积分布函数cdfabfx(x)x第17页,共59页，2024年2月25日，星期天18常用分布——均匀分布特征函数均值与方差abfx(x)x第18页,共59页，2024年2月25日，星期天19常用分布——正态分布概率密度函数pdf特征函数正态分布完全由均值和均方差决定，可表示为µxfx(x)x第19页,共59页，2024年2月25日，星期天20常用分布——正态分布正态分布的所有高阶矩可用前两个矩来表示，换言之正态分布高于2阶的矩并不能提供额外的信息。四阶中心矩为第20页,共59页，2024年2月25日，星期天21常用分布——柯西分布概率密度函数pdf累积分布函数cdf柯西分布的均值为µ。但偏差、矩等不存在第21页,共59页，2024年2月25日，星期天22MATLAB随机函数采用rand函数模拟0～1均匀分布采用randn函数模拟高斯分布第22页,共59页，2024年2月25日，星期天23MATLAB随机函数x=-3.8:0.1:3.8;%随机高斯密度y1=randn(1,30000);z1=hist(y1,x)/(30000*0.1);bar(x,z1),xlabel('bar')%标准高斯密度y2=1/sqrt(2*pi)*exp(-x.^2/2);holdon,plot(x,y2);holdoff%均匀分布y3=rand(1,30000);z3=hist(y3,x)/(30000*0.1);figure,bar(x,z3),xlabel('bar');第23页,共59页，2024年2月25日，星期天24随机矢量M维随机矢量分布函数和密度函数第24页,共59页，2024年2月25日，星期天25随机矢量边缘分布随机变量独立，则有第25页,共59页，2024年2月25日，星期天26随机矢量均值矢量自相关矩阵第26页,共59页，2024年2月25日，星期天27随机矢量随机矢量的协方差矩阵（二阶矩）协方差矩阵元素相关系数随机变量独立、正交，则第27页,共59页，2024年2月25日，星期天28随机矢量随机xi(ξ)、xj(ξ)不相关，则随机xi(ξ)、xj(ξ)正交，则第28页,共59页，2024年2月25日，星期天29随机矢量设x(ξ)、y(ξ)分别是M和L维随机矢量，则这两个随机矢量的互相关矩阵为交叉协方差矩阵第29页,共59页，2024年2月25日，星期天30随机矢量若x(ξ)、y(ξ)不相关，则若x(ξ)、y(ξ)正交，则第30页,共59页，2024年2月25日，星期天31随机矢量的线性变换随机矢量x(ξ)、y(ξ)存在如下关系fx(x)为x(ξ)的概率密度,y(ξ)的概率密度为第31页,共59页，2024年2月25日，星期天32随机矢量的线性变换随机矢量x(ξ)、y(ξ)的统计量关系第32页,共59页，2024年2月25日，星期天33正态随机矢量x(ξ)是M维的正态随机矢量，则正定二次型为特征函数为第33页,共59页，2024年2月25日，星期天34独立随机变量和y(ξ)是M个随机变量的和，即y(ξ)的均值为第34页,共59页，2024年2月25日，星期天35独立随机变量和应用独立性质，则y(ξ)的方差怎么求y(ξ)的概率密度函数pdf？第35页,共59页，2024年2月25日，星期天36独立随机变量和先来看两个特殊的情况：情况一：对应的特征函数为：第36页,共59页，2024年2月25日，星期天37独立随机变量和对应的特征函数为：根据傅立叶卷积性质，则概率密度为第37页,共59页，2024年2月25日，星期天38独立随机变量和对应的第二特征函数为：m阶累积量为第38页,共59页，2024年2月25日，星期天39独立随机变量和例3.2.1设xk(ξ)(k=1,2,3,4)是4个独立、具有相同分布的随机变量，在[-0.5,0.5]上均匀分布。试计算M=2,3,4时，y(ξ)的概率密度函数第39页,共59页，2024年2月25日，星期天40独立随机变量和f(x)为随机变量xk(ξ)的概率密度函数，则当M=2时，y(ξ)的概率密度函数为第40页,共59页，2024年2月25日，星期天41独立随机变量和当M=3时，y(ξ)的概率密度函数为第41页,共59页，2024年2月25日，星期天42独立随机变量和当M=4时，y(ξ)的概率密度函数为第42页,共59页，2024年2月25日，星期天43当M=1，2，3，4时，y(ξ)的概率密度函数图形M=1-0.50.5M=2-11M=3-1.51.5M=3-220.75110.67第43页,共59页，2024年2月25日，星期天44独立随机变量和情况二：对应的特征函数为：第44页,共59页，2024年2月25日，星期天45独立随机变量和根据傅立叶卷积性质，则概率密度为第45页,共59页，2024年2月25日，星期天46独立随机变量和对应的第二特征函数为：m阶累积量为第46页,共59页，2024年2月25日，星期天47独立随机变量和综合上述两种情况的特征函数为m阶累积量为第47页,共59页，2024年2月25日，星期天48独立随机变量和所以的概率密度函数为第48页,共59页，2024年2月25日，星期天49独立随机变量和根据卷积的性质，独立、分布相同的随机变量的和仍然保持为原有的分布有：（1）有限方差：高斯随机变量（2）无限方差：柯西随机变量从上述例子可以看出，高斯与柯西分布都具有不变性。第49页,共59页，2024年2月25日，星期天50独立随机变量和这种不变性的随机变量具有相同的特征函数形式：

从不变性，我们引出“稳定分布”概念。第50页,共59页，2024年2月25日，星期天51稳定分布定义：x1(ξ),x2(ξ),…,xM(ξ)为独立、相同分布的随机变量，分布函数为Fx(x),sM(ξ)=x1(ξ)+x2(ξ)+…+xM(ξ)。如果对于每一个M，存在常数aM>0,且有bM使得下式成立并且Fx(x)不是集中在一个点上。当bM=0时，我们称为严格稳定。第51页,共59页，2024年2月25日，星期天52稳定分布可以证明，对任何稳定的随机变量x

(ξ),存在一个常数α（0<α≤2），使得aM=M1/α。其中α称为稳定性指标或特征指数。可以称该随机变量α稳定。第52页,共59页，2024年2月25日，星期天53稳定分布中心极限定理(CLT)若随机x1(ξ),x2(ξ),…,xM(ξ):(a)相互独立,(b)

具有相同的分布,(c)各随机变量的均值与方差都存在且有限；那么当M→∞时，归一化的随机变量和的分布就趋于一个零均值、单位标准偏差的正态随机分布。其中，归一化的随机变量和为：第53页,共59页，2024年2月25日，星期天54例子M=1-0.50.5M=2-11M=3-1.51.5M=3-220.75110.67第54页,共59页，2024年2月25日，星期天55离散时间随机过程存在一个随机变量序列x

(n,ξ),n为离散时间，ξ为随机变量。如果n固定，则可以把x

(n,ξ)视为一个随机变量。如果ξ固定，则可以把x

(n,ξ)