9苏教版高考数学导航第1轮理数第78讲圆中的有关定理与其应用

第十五章选考内容第十五章选考内容圆中的有关定理及其应用第78讲圆中的有关定理及其应用第78讲圆的切线的判定圆的切线的判定

【解析】(1)连结OC.

因为AC∥OP，所以∠ACO=∠COP，∠CAO=∠POB.

由OA=OC，得∠OAC=∠OCA，所以∠COP=∠POB.

在△COP和△BOP中，,【解析】(1)连结OC.

所以△COP≌△BOP,所以∠PBO=∠PCO=90°，所以PC是⊙的切线.(2)由△COP≌△BOP，得∠DPO=∠OPB，所以.

因为DA=OA=OB，所以又因为AD等于⊙O的半径，AC∥OP，所以,所以.所以△COP≌△BOP,所以∠PBO=∠PCO=点评本题主要考查圆的切线的判定及比例线段的证明，考查平面几何的推理论证能力.要证直线PC是⊙O的切线，只要证OC⊥PC即可；要求比例线段，可通过中间比来过渡，结合图形，利用条件即可获证.点评本题主要考查圆的切线的判定及比例线段的证明，考查平面几何【变式练习1】如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，作CM⊥AB，垂足为点M.求证：

(1)DC是⊙O的切线;(2)AM·MB=DF·DA.【变式练习1】如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，C

【解析】连结OC，则∠OAC=∠OCA.

又因为CA是∠BAF的角平分线，所以∠OAC=∠FAC，所以∠FAC=∠OCA，所以OC∥AD.

因为CD⊥AD，所以CD⊥OC，即CD是⊙O的切线.【解析】连结OC，(2)连结BC.

在Rt△ACB中，CM2=AM·MB.

因为CD是⊙O的切线，所以CD2=DF·DA.

又Rt△AMC≌Rt△ADC，所以

CM=CD，所以AM·MB=DF·DA.(2)连结BC.切割线定理及其应用切割线定理及其应用【解析】连结AE，AF.

因为AB是圆O的直径，所以∠AEB=∠AFB=90°.

又∠CDB=90°，∠ABC=∠DBF，所以△DBC∽△FBA,

所以，即AB·BD=BC·BF.【解析】连结AE，AF.

因为∠AEB=90°，CD⊥AB，所以BE2=BD·AB(直角三角形射影定理).

因为CT是切线，CB是割线，所以CT2=CF·CB.

所以BC2-CT2=BC2–CF·CB

=BC·(BC-CF)=BC·BF,

所以BE2=BC2-CT2，即BE2+CT2=BC2.因为∠AEB=90°，CD⊥AB，点评有切线有割线，考虑利用切割线定理；有直径，莫忘直角；有平方形式，考虑直角三角形射影定理.点评有切线有割线，考虑利用切割线定理；有直径，莫忘直角；有平【变式练习2】如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E.求证：DE2＝DB·DA.【变式练习2】如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点【解析】连结OF.因为DF切⊙O于F，所以∠OFD＝90°.所以∠OFC＋∠CFD＝90°.因为OC＝OF，所以∠OCF＝∠OFC.

【解析】连结OF.因为DF切⊙O于F，【解析】因为CO⊥AB于O，所以∠OCF＋∠CEO＝90°.所以∠CFD＝∠CEO＝∠DEF，所以DF＝DE.因为DF是⊙O的切线，所以DF2＝DB·DA.所以DE2＝DB·DA.【解析】因为CO⊥AB于O，所以∠OCF＋∠CEO＝90°.四点共圆及其应用【例3】如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，且AE=AF.

证明：(1)B，D，H，E四点共圆；

(2)CE平分∠DEF.四点共圆及其应用【例3】如图，已知△ABC

【解析】(1)在△ABC中，因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°.

因为AD、CE是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°，所以∠AHC=120°，所以∠EHD=∠AHC=120°.

因为∠EBD+∠EHD=180°,

所以B，D，H，E四点共圆.【解析】(1)在△ABC中，因为∠B=60°，(2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线.

由(1)知，B，D，H，E四点共圆,∠CED=∠HBD=30°.

又∠EBD=∠AHE=60°,

由已知可得EF⊥AD,∠CEF=30°，所以CE平分∠DEF.(2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线.点评本题是对考生几何推理论证能力的综合考查，所用到的知识较多，证明的关键是根据四点共圆的条件进行证明.在解题时要根据已知条件，通过等量代换将角集中到一个四边形中，达到使用条件的目的.点评本题是对考生几何推理论证能力的综合考查，所用到的知识较多991.如图，两同心圆的半径分别为1、2，大圆的弦AD与小圆交于B、C两点，求AB·BD的值.1.如图，两同心圆的半径分别为1、2，大圆的弦AD与小【解析】过B作大圆的直径EF，则BE=OE-OB=2-1=1,BF=OB+OF=1+2=3.

由相交弦定理得AB·BD=BE·BF=1×3=3.【解析】过B作大圆的直径EF，9993.如图所示，⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4cm,PB=3cm,PC=6cm,EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E.若AE=

cm，求PE的长.3.如图所示，⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4【解析】根据相交弦定理，得PD·PC=PA·PB，所以PD·6=4×3,所以PD=2(cm).

因为EA是⊙O的切线，所以EA2=ED·EC，所以20=ED·(ED+8)，所以ED=2(cm),

则PE=4(cm).【解析】根据相交弦定理，得PD·PC=PA·PB，4.已知⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D.经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F.求证：CE∥DF.4.已知⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直

【解析】如图，连结AB.

因为四边形ABEC

是⊙O1的内接四边形，所以∠BAD=∠E.

因为四边形ADFB

是⊙O2的内接四边形，所以∠BAD+∠F=180°.

所以∠E+∠F=180°,所以CE∥DF.【解析】如图，连结AB.9993.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：

(1)直接应用相交弦定理、切割线定理及其推论；

(2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式或等积式不能直接运用基本定理推导时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形.3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：4.与圆有关的常用辅助线

(1)有弦，可作弦心距；

(2)有直径，可作直径所对的圆周角；

(3)有切点，可作过切点的半径；

(4)两圆相交，可作公共弦；

(5)两圆相切，可作公切线；

(6)两半圆，可作整圆.4.与圆有关的常用辅助线

1.(2011·苏、锡、常、镇四市一模卷)

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别在边AB，CD上，设ED与AF相交于点G，若B，C，F，E四点共圆，求证：AG·GF=DG·GE.1.(2011·苏、锡、常、镇四市一模卷)如图，在梯形【解析】连结EF.因为B，C，F，

E四点共圆,

所以∠ABC=∠EFD.

因为AD∥BC，所以∠BAD+∠ABC=180°,