132平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的1学习目标1.理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法，减法，实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的运算学习目标1.理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，2复习平面向量基本定理

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2

使a=λ1e1+λ2e2复习平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面3(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1、e2唯一确定的数量。a=λ1e1+λ2e2复习(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的4G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2

a2,使a=λ1a1+λ2

a2新课引入G与F1,F2有什么关系?G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解类似地5把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解若两个不共线向量互相垂直时aλ1a1λ2

a2F1F2G正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解若两个6ayOxxiyjji分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=x

i+y

j把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标向量的坐标表示ayOxxiyjji分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量7思考：

我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。思考：我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都8向量的坐标表示i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)向量的坐标表示i=(1,0)ayOxxiyjjia=9yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同向量a、b有什么关系?a＝b能说出向量b的坐标吗?b=(x,y)yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同向量a、b有10yxAa如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。yxOji设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；a(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。yxAa如图，在直角坐标平面内，以原yxOji设OA=xi+11练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.解：练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.解：12如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.AA1A2abcd解：同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)yxO1234-4-3-2-154321-1-2-3-4-5ji1234由图可知a=AA1+AA2=2i+3j,a=(2,3)如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的13例1.用基底i,j分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.-4-3-2-11234AB12-2-1xy453例1.用基底i,j分别表示向量a,b,c,d,并求出14BB标的坐标为(i,j),则点A的坐标为A、(m-i,n-j)B、(i-m,j-n)C、(m+i,n+j)D、(m+n,i+j)ABB标的坐标为(i,j),则点A的坐标为A、(m-i,n-j15随堂练习坐标是A、(3,2)B、(2,3)C、(-3,-2)D、(-2,-3)BA、x=1,y=3B、x=3,y=1C、x=1,y=-3D、x=5,y=-1B标坐标为A、(x-2,y+1)B、(x+2,y-1)C、(-2-x,1-y)D、(x+2,y+1)C随堂练习坐标是A、(3,2)B、(2,3)C、(-3162.3.3平面向量的坐标运算两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差1.已知a，b，求a+b，a-b．解：a+b=(i+j)+(i+j)=（+)i+（+)j即a+b同理可得a-b2.3.3平面向量的坐标运算两个向量和与差的坐标分别等于1.171.如图，用基底分别表示向量并求出它们的坐标。解：由图可知=AA1+AA2=∴=(2,3)同理，=(-2,3)=(-2,-3)

=(2,-3)形成练习1.如图，用基底分别表示向量18实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标．实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量192．已知．求xyO解：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．你能在图中标出坐标为的P点吗?思考:2．已知20解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）

=（-6，19）例2．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b，3a+4b的坐标．解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；a-b=21解：设顶点D的坐标为（x，y）例3．已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐