北京市海淀区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

oo

北京市海淀区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

姓名：班级：考号：

题号一二三总分

评分

阅卷人

-------------------、单选题

得分

OO

1.一元二次方程3久2一6久一4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.3,6,4B.3,-6,4C.3,6,-4D.3,-6,-4

n|p

即2.将抛物线y=-/+1向上平移2个单位长度，得到的抛物线是（）

A.y=-x12+3B.y=—（%—2）2+1

C.y——x2—1D.y——（%+2）2+1

OO

段

照媒

彝

和

4.如图，BD是△力BC的中线，E,尸分别是BD,BC的中点，连接EF.若4。=4,贝!1EF

OO

的长为（）

氐-£

OO

D.(%+2/=3

D.10

7.如图，在AZBC中，Z.BAC=135°,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC,点4B

的对应点分别为D,E,连接2D.当点4D,E在同一条直线上时，下列结论错送的是

)

A.AABCDECB."DC=45°

C.AD=y[2ACD.AE=AB+CD

8.如图，已知关于x的一元二次方程a（x-卜产-1=0的两根在数轴上对应的点分别在

区域①和区域②，区域均含端点，则k的值可能是（）

-2-I0I23

A.-1B.0C.1D.2

阅卷人

二、填空题

得分

9.若1是关于x的方程/—以=0的根，则a的值为

10.已知团ABCD的周长为14,AB=3,贝UBC的长为.

11.若二次函数y=aN+6x+c的图象如图所示，则ac0(域:”或“=”或

<“).

2/25

oo

4

12.如图，等边△ABC绕顶点4逆时针旋转80。得到△4DE,连接BE,则乙4BE=

oo

n|p

那

fa

B

13.若关于x的一元二次方程/+%+卜=0有两个相等的实数根，则k的值

为.

oo

14.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米.停车场内车

道的宽都相等.停车位总占地面积为288平方米.设车道的宽为x米，可列方程

段

塌媒

彝

和

oo

15•点4（2,y",B（a,必）在二次函数丫=♦-2x+3的图象上.若为＜丫2，写出一个

符合条件的a的值___________________.

氐-£

16.甲、乙、丙三名同学每人抽取一张卡片，每张卡片上有一个形如丫=a/+b久的二

次函数的解析式，其中只有一人与其他两人抽到的解析式不同.下面是他们对抽到的解

析式所对应的图象的描述：

甲：开口向下；

oo

乙：顶点在第三象限;

丙：经过点(-2,0),(1,3).

根据描述可知，抽到与其他两人解析式不同的是(填“甲”，“乙”或"丙”).

阅卷入

-----------------三、解答题

得分

17.解方程：

(1)4%2=9；

(2)/—6久+8=0.

18.如图，在△ABC中，乙4cB=90。，将△4BC绕点C顺时针旋转90。得到△DEC,点A

(1)依题意补全图形;

(2)直线AB与直线DE的位置关系为.

19.已知771是方程/+2久一4=0的一个根，求代数式(7H+2)2+(m+3)(6—3)的值.

20.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZB=2O。，将△ABC绕点A顺时针旋转25。得到△

ADE,4。交BC于点F.若ZE=3,求4F的长.

21.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=/+b久+c经过4(0,3)和B(L0)两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)该抛物线的对称轴为.

22.已知关于x的一元二次方程//(m-6)x-6m=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若该方程有一个实数根小于2,求m的取值范围.

23.在平面直角坐标系xOy中，.二次函数y=(%-1)2一1图象顶点为A,与x轴正半轴

25

oo交于点B.

4

oo

n|p(1)求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象；

那

(2)一次函数、=kx+b的图象过A,B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式

fakx+b>(x—I)2—1的解集.

24.如图，在△ABC中，AABC=90°,BD为AABC的中线.BE||DC,BE=DC,连

接CE.

oo

段(1)求证：四边形BDCE为菱形;

(2)连接DE,若乙4cB=60。，BC=4,求DE的长.

塌媒

25.探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面.其原理是过某

一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊

彝

和点为抛物线的焦点.若抛物线的表达式为y=a/,则抛物线的焦点为(0,*).如图，

oo

在平面直角坐标系久Oy中，某款探照灯抛物线的表达式为y=焦点为F.

氐-£

(1)点F的坐标是；

(2)过点F的直线与抛物线交于A,B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，反射

oo

后沿射线AM射出，AM所在直线与x轴的父点坐标为(4,0).

①画出沿射线FB方向射出的光线的反射光线BP；

②BP所在直线与x轴的交点坐标为▲.

26.在平面直角坐标系无Oy中，已知抛物线y=—-一2.

(1)求抛物线的顶点坐标(用含血的式子表示);

(2)已知点P(3,2).

①当抛物线过点P时，求血的值；

@点Q的坐标为(血，1).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，直接

写出血的取值范围.

27.在等边△ABC中，将线段CA绕点C逆时针旋转a(0°<a<30°)得到线段CD,线段

CD与线段AB交于点E,射线AD与射线CB交于点F.

(1)①依题意补全图形；

②分别求NCEB和NAFC的大小(用含a的式子表示)；

(2)用等式表示线段BE,CE,CF之间的数量关系，并证明.

28.在平面直角坐标系xOy中，已知点Z(a,b).对于点P(K,y)给出如下定义：当久H

a时，若实数k满足仅-加=网久-a|,则称k为点P关于点A的距离系数.若图形M

6/25

oo上所有点关于点A的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形M关于点A的距离系

数.

4

oo

备用图1备用图2

n|p(1)当点A与点O重合时，在Pi(2,2),P2(-2,1),「3(-4，4)中，关于点A的

即

距离系数为1的是;

fa(2)已知点B(—2,1),C(l,1),若线段BC关于点4(血，一1)的距离系数小于发

则m的取值范围为；

(3)已知点力(4,0),7(0,t),其中2«tW4.以点T为对角线的交点作边长为2

oo的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点D,E为该正方形上的动点，线段DE

的长度是一个定值CO<DE<2).

①线段DE关于点A的距离系数的最小值为；

段

②若线段DE关于点A的距离系数的最大值是|,贝切E的长为.

照媒

彝

和

oo

氐-£

oo

答案解析部分

1.【答案】D

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【解答】解：一元二次方程3/—6x—4=0的二次项系数、一次项系数、常数

项分别是3,-6,-4；

故答案为：D.

【分析】根据一元二次方程3——6%-4=0求解即可。

2.【答案】A

【知识点】二次函数图象的几何变换

【解析】【解答】解：将抛物线y=-%2+1向上平移2个单位长度，

得到的抛物线是y=-%2+1+2,

即y=—x2+3,

故答案为：A.

【分析】根据平移的性质先求出y=-久2+1+2,再求解即可。

3.【答案】A

【知识点】旋转对称图形

【解析】【解答】解：可以下图一笔画“天鹅”旋转180。得到的图案是

故答案为：A.

【分析】根据旋转的性质对每个选项一一判断即可。

4.【答案】B

【知识点】三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：是AABC的中线，AD=4,

CD=AD=4,

•.•点E,F分别是BO,BC的中点，

■,.EF=^CD=2,

故答案为：B.

8/25

oo【分析】根据题意先求出CO=AD=4,再根据线段的中点求解即可。

5.【答案】B

【知识点】配方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：•••％2一4%+1=0,

4••好—4%+1+3=3,

%2—4%+4=3,

A(%-2)2=3,

故答案为：B.

o

o【分析】利用配方法求解即可。

6.【答案】C

n|p

那【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：有表格可知，当久=0,y-2,当％=2,y-2,

fa

由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为％=1,

•*.%=—1时y的值与％=3时的值相等，

=—1时y的值为5,即m的值为5,

故答案为：

ooC.

【分析】先求出抛物线的对称轴为久=1,再求出％=-1时y的值与％=3时的值相等,

最后求解即可。

段7.【答案】D

【知识点】勾股定理；旋转的性质

塌媒

【解析】【解答】解：•.•将△ABC绕点C逆时针旋转得到^DEC,

：山ABC三4DEC,CA=CD,CB=CE,AB=DE,故A不符合题意；

彝

和

：.^BAC=4CDE=135°,

oo

/.^CDA=45°=/.CAD,故B不符合题意；

：.AACD=90°,

：.AC2+CD2=AD2,

氐-£

：.AD=yflAC,故C不符合题意；

"：AE=AD+DE,

：.AE=AD+AB.故D符合题意；

oo

.

.

.

.

O

故答案为：D..

.

【分析】根据旋转的性质，全等三角形的判定与性质求解即可。.

.

8.【答案】C.

.

【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况.

邹

【解析】【解答】解：••・关于x的一元二次方程a(久-k)2-1=0的两根在数轴上对应的.

.

.

点分别在区域①和区域②，区域均含端点，.

.

.

.•.一个根—1<<0,另一个根2<久2<3,.

.

‘抛物线y=a(%—k)2的对称轴是直线％=k,O

.

...抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，※.

※.

髭.

；.k的值可能为1.※.

※.

.

故答案为：C.切.

※.

※.

【分析】先求出一个根-1</<0,另一个根2〈久2<3,再求出抛物线与x轴的两个*K

※

※

交点关于对称轴对称，最后求解即可。.

郑.

※.

9.【答案】1※.

.

【知识点】一元二次方程的根t※a.

※.

骐

【解析】【解答】解：把1代入方程得f一a=0,※O

※

.".a=1出.

※.

※.

故答案为：1.腼

.

※.

【分析】根据题意先求出仔―口=0,再求解即可。※

.

K※-堞

10.【答案】4

※.

患.

【知识点】平行四边形的性质.

X.

.

【解析】【解答】解：..•回的周长为14,AB=3,.

.

.

：.AB=CD,AD=BC,O

.

：.2(AB+BC)=14,.

.

：.BC=4,.

.

故答案为：4..

.

氐

.

.

.

.

D.

.

.

【分析】根据题意先求出AB=CD,AD=BC,再求出BC=4即可作答。O

O•

・

・

10/25

1L【答案】<

【知识点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】解：.••抛物线的开口向下，

...与y轴的交点在y轴的正半轴上，

；.c>0,

ac<0.

故答案为<.

o

【分析】首先由抛物线的开口方向判断a与。的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。

的关系，进而判断ac与0的关系.

n|p

那12.【答案】20

【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质

【解析】【解答】解：•••等边AABC绕顶点4逆时针旋转80。得到△ZOE,

：.AC=AE,ZBAD=80。，

,：AABC,△ABC是等边三角形，

：.AB=AC,ABAC=60°,Z.DAE=60°,

O

：.AB=AE,^CAD=/.BAD-ABAC=20°,

，乙ABE=^AEB,

段：.ABAE=60°+20°+60°=140°,

:.乙ABE=20°.

媒

故答案为：20.

【分析】根据旋转的性质求出AC=ZE,/.BAD=80°,再求出乙4BE=乙4区8,最后计

舜

和算求解即可。

O13.【答案】1

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】:•关于x的一元二次方程为2+%+卜=0有两个相等的实数根，

.•.方程的判别式：ZI=l2-4xlx/c=0,

k=，

故答案为：

【分析】利用一元二次方程根的判别式求出4=12—4xlxk=o,再求解即可。

14.【答案】(18-x)(30-x)=288

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题

【解析】解：依题意得(18-x)(30-x)=288,

故答案为：(18-x)(30-x)=288

【分析】根据所给的图形求出(18-x)(30-x)=288,即可作答。

15.【答案】3(答案不唯一)

【知识点】二次函数y=axA2+bx+c的性质

【解析】【解答】解：•••二次函数开口向上，

二离对称轴：直线x=1越远的点的函数值越大，A点离对称轴水平距离为1,故a可以

等于3.

故答案为3(答案不唯一)

【分析】根据二次函数y=%2-2%+3的图象与性质求解即可。

16•【答案】甲

【知识点】二次函数y=axA2+bx+c的图象；二次函数y=axA2+bx+c的性质

【解析】【解答】解：y=ax2+bx,

当久=0时，y=0；

图象过(0,0),

根据丙的描述，可得y=ax2+bx的图象如下：

二抛物线的开口朝上，顶点在第三象限，

乙，丙两位同学描述的是同一函数图象,

.••抽到与其他两人解析式不同的是：甲；

故答案为：甲.

【分析】先求出图象过(0,0),再求出抛物线的开口朝上，顶点在第三象限，最后求解

即可。

17.【答案】(1)解：4K2=9

12/25

3

久=±2

.33

・=2，x2=~2

(2)解：%2-6x+8=0

(%一2)(%-4)=0

x-2=0或％—4=0

・,・第1=2,%2=4

【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】(1)利用直接开平方法解方程即可；

(2)利用因式分解法分解因式即可。

【知识点】旋转的性质

【解析】【解答】(2)解：延长DE交力B于点F

■:乙CED=^AEF,

:4B=AAEF,AACB=90°,

.•.乙4+ZB=Z力+AAEF=90°,

J.AAFE=90°,即48IDE.

故答案为：AB1DE.

【分析】(1)根据题意作图即可；

(2)根据题意先求出乙4+ZB=NA+ZAEF=9O。，再求出ZAFE=90。，最后求解即

可。

19.【答案】解：•「TH是方程％2+2x—4=0的一个根，

m2+2m—4=0.

/.m2+2m=4.

原式=m2+4m+4+m2-9

=2m2+4m—5

=2(m2+2m)—5

=2x4-5

=3.

【知识点】代数式求值；一元二次方程的根

【解析】【分析】先求出m2+2m=4,再求解即可。

20.【答案】解：・・•△力BC绕点A顺时针旋转25。得到△力DE,

^£.FAB=25°,AC=AE.

U：AE=3,

：.AC=3.

VzB=20°,

：.Z.AFC=乙FAB+ZB=45°.

VzC=90°,

・・・△力CF是等腰直角三角形.

・••力F=yjAC2+CF2=3V2.

【知识点】勾股定理；旋转的性质

【解析】【分析】根据旋转的性质求出4凡48=25。，AC=AE,再求出△ACF是等腰直

角三角形，最后利用勾股定理计算求解即可。

21.【答案】(1)解：•・,抛物线丫=%2+人工+。经过力(0,3)和3(1,0)两点，

.(c=3

，，tl+b+c=0，

解得：｛『=3

3=-4

・•・抛物线的解析式为：y=%2-4%+3

(2)x=2

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y二ax八2+bx+c与二次函数y二a(x-h)A2+k

的转化

14/25

oo【解析】【解答】解：,；y=%2-4%+3=(%-2)2-1,

抛物线的对称轴为x=2.

故答案为：x=2.

【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式即可；

4(2)先求出y=%2—4%+3=(%—2)2-1,再求解即可。

22.【答案】(1)证明：由题意，A=(TH-6)2-4X(-6m)

=m2+12m+36

2

=(m+6)>0-

oo

该方程总有两个实数根.

n|p(2)解：解方程/6n-6)x-6m=0,得：x1--m,x2=6.

那

V方程有一个实数根小于2,

fa—m<2.

'.m>—2.

【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【分析】(1)利用一元二次方程根的判别式求解即可；

oo

(2)先求出x1——m,x2=6,再求出—m<2,最后求解即可。

23.【答案】(1)解：令y=0,则(%—if—1=0,

解得=0,亚=2,

段

AB点坐标为(2,0),

塌媒

列表得：

X-10123

彝

和y30-103

oo画图得:

氐

-£

oo

⑵解：1<%<2

【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息

并解决问题

【解析】【解答】解：如图，

观察图象可知：关于x的不等式/or+b>（%-I）2-1的解集为

【分析】（1）先求出久1=0,皿=2,再求出B点坐标为（2,0）,最后画函数图象

即可；

（2）结合函数图象求出关于x的不等式kx+b>Q-1产-1的解集为14<2,即可

作答。

24.【答案】（1）证明：「BE||DC,BE=DC,

四边形BDCE为平行四边形.

VzXBC=90°,BD为AC边上的中线，

1

・・・BD=CD=%C，

16/25

oo.,•四边形BDCE为菱形.

(2)解：连接DE交BC于。点，如图.

4

•/四边形BDCE为菱形，BC=4,

1

工0C=宏BC=2,乙COD=90%DE=2D0.

oo•:2ACB=60°,

C./.EDC=90°-乙ACB=30°.

n|p：.DC=20C=4.

那

ADO=VOC2-OC2=2V3.

fa:.DE=2D0=4V3.

【知识点】含30。角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定

【解析】【分析】(1)先求出四边形BDCE为平行四边形，再求出=最

后证明即可；

oo

(2)根据题意先求出乙EDC=90°-乙4cB=30。，再利用勾股定理计算求解即可。

25.【答案】(1)(0,1)

段(2)解：①由题意可知抛物线y=J久2的对称轴是y轴，

塌媒.•.经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，即经抛物线反射后所得的光线平

行于y轴，

：.AM||y轴

彝

和

所在的直线与x轴的交点坐标为(4,0),

oo

二A点的横坐标为4,纵坐标为y=,x4?=4,

二4(4,4),

①经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，

氐-£

：.BP||y轴

画出沿射线FB方向射出的光线的反射光线BP,如下图所示:

oo

.

.

.

.

O

O.

.

.

.

.

.

.

邹