概率与统计的创新题型-2024届高考数学拓展含答案

概率与统计的创新题型—2024届高考数学拓展

概率与统计的创新题型

题目曰(2023•石家庄模拟)国家在《中小学生健康体检管理办法》中规定：中小学校每年组织一次在校学生

健康体检，现某学校有4000名学生,假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙

肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了

一种化验方法:随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验,如果混合血样呈阴性，说明这

k个人全部阴性;如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别

化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.

⑴若m=0.4,记每人血样化验次数为X,当k取何值时，X的均值最小，并求化验总次数；

(2)若m=0.8,设每人血样单独化验一次费用为5元，k个人混合化验一次费用为k+4元.求当%取何值

时，每人血样化验费用的均值最小,并求化验总费用.

参考数据及公式：，-3.16,(l+x)n^l+nx(nEN*,n>2,|cc|<0.01).

题目②(2023・广州模拟)随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G

手机也频频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优

惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广.

(1)公司内部测试的活动方案设置了第i(iCN*)次抽奖中奖的名额为3i+2,抽中的用户退出活动，同时补

充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖,剩余全部用户均中奖，则活

动结束.参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中.

①求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率；

②求甲参加抽奖活动次数的分布列和均值；

(2)由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利,现将在全市进行推广.报名参加第一次抽奖活动的有20

万用户，该公司设置了第i(iCN*)次抽奖中奖的概率为p产生3二每次中奖的用户退出活动，同时补

充相同人数的新用户，抽奖活动共进行2n(n£jV*)次.已知用户丙参加了第一次抽奖,并在这2几次抽奖

活动中中奖了，在此条件下，求证:用户丙参加抽奖活动次数的均值小于告.

题目回(2023・晋中模拟)晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源,其中有保存完好的大院人文

景观(如王家大院,常家庄园等)，也有风景秀丽的自然景观(如介休绵山，石膏山等).某旅行团带游客来晋

中旅游,游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游览.若每位游客选择人文景观的概率是4，选择

自然景观的概率为-I,游客之间选择意愿相互独立.

(1)从游客中随机选取5人，记5人中选择人文景观的人数为X,求X的均值与方差；

(2)现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记2分,选择自然景观记1分，记已调查过的累计得分为九分

的概率为2,求2.

题目目(2023•邯郸模拟)某市为了让广大市民更好地了解并传承成语文化，当地文旅局拟举办猜成语大赛.

比赛共设置n道题,参加比赛的选手从第一题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题

目.设某选手答对每道题的概率均为汉0<p<1),各题回答正确与否相互之间没有影响.

(1)记答题结束时答题个数为X,当n=3时，若E(X)>1.75,求p的取值范围；

(2)①记答题结束时答对题的个数为y,求E(y)；

②当p=■!■时,求使E(y)>4的n的最小值.

0

参考数据：1g2-0.301,1g3-0.477.

题目回(2023•淮北模拟)社会人口学是研究人口因素对社会结构和社会发展的影响和制约的一门社会学分

支学科.其基本内容包括:人口作为社会变动的原始依据的探讨，将人口行为作为引起社会体系特征变动

的若干因素中的一个因素来研究.根据社会人口学研究发现，一个家庭有f个孩子(仅考虑不超过3个孩

子家庭)的分布列为：

£1230

m

Pmm(l—p)m(l—p)2

P

其中机每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，记A表示事件“一个家

庭有i个孩子(i=0,1,2,3)”，B表示事件“一个家庭的男孩比女孩多(若一个家庭只有一个孩子且恰为男

孩，则该家庭男孩多)”.

⑴若p=求P(B)；

(2)参数p受到各种因素的影响(如生育保险的增加,教育、医疗福利的增加等),通过改变参数p的值来调

控未来人口结构.若希望P(£=2)增大,如何调控p的值？

参考公式"(〃回=黑，，

k=0

题目回（2023•浙江金丽衢十二校联考）某公司生产一种大件产品的日产为2件,每件产品质量为一等的概率

为0.5,二等的概率为0.4,若达不到一、二等，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立.已知生产一

件产品的利润如下表：

等级一等二等三等

利润（万元/每件）0.80.6-0.3

（1）求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；

（2）求该公司每天所获利润久万元）的均值；

（3）若该工厂要增加日产量，需引入设备及更新技术，但增加n件，其成本也将相应提升九-In万元），假

如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请回答，并说明理由.

（In2仁0.69,In3^1.1）

概率与统计的创新题型

题目工(2023•石家庄模拟)国家在《中小学生健康体检管理办法》中规定：中小学校每年组织一次在校学生

健康体检，现某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占机％，某体检机构通过抽血的方法筛查乙

肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了

一种化验方法:随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验,如果混合血样呈阴性，说明这

k个人全部阴性;如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别

化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.

(1)若巾=0.4,记每人血样化验次数为X,当k取何值时，X的均值最小，并求化验总次数；

(2)若m=0.8,设每人血样单独化验一次费用为5元，k个人混合化验一次费用为％+4元.求当k取何值

时，每人血样化验费用的均值最小,并求化验总费用.

参考数据及公式：，-3.16,(l+x)n^l+nx(nEN，,n>2,|cc|<0.01).

【答案】解：(1)设每人血样化验次数为X,

若混合血样呈阴性，则X=3，

K

若混合血样呈阳性，则X=《+1,

P(X=J)=O.996\

P(X=(+1)=1—0.996%,

所以E(X)=《x0.996i+[1+4)x(1—0.996fc)=1+《-0.996fc

K\)k,

=l+4--(l-0.004)fc

k

也!+0.004/c,

k

令=—+0.004a;,

x

则f，(x)=--L+0.004=0.004『-1,

aTx

所以/(c)在(0,5V10)上单调递减，在(5西，+oo)上单调递增，

因为keZ,且/(15)=二+0.004x15比0.1267,

15

/(16)=0.1265,

所以当k=16时，/(力取得最小值，所以E(X)的最小值为0.1265.

所以按16人一组，每个人血样化验次数的均值最小，此时化验总次数为4000x0.1265=506.

(2)设每组七人，每组化验总费用为V元，

若混合血样呈阴性，则y=%+4,若混合血样为阳性，则Y=6fc+4,

且「(ynk+6no.ggz*

P(y=6k+4)=1—0.992，

所以E(y)=(%+4)xo.992fc+(6fc+4)(1-0.992i)

=6fc-5A;x0.992/:+4,

每个人血样的化验费用为

=6-5x0.992fc+4

k,k

=6-5x(l-0.008)fc+4

K

,、4

—5x(1—0.008k)+?

k

4

=l+0.04k+9

k.

>1+2,0.04%'=1.8,

当且仅当0.04%=金，即％=10时取等号，

k

所以当10个人一组时，每个人血样化验费用的均值最小，化验总费用为4000X1.8=

7200(元).

题目区(2023•广州模拟)随着5G商用进程的不断加快,手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G

手机也频频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优

惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广.

(1)公司内部测试的活动方案设置了第i(iCN*)次抽奖中奖的名额为3i+2,抽中的用户退出活动，同时补

充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖,剩余全部用户均中奖，则活

动结束.参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中.

①求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率；

②求甲参加抽奖活动次数的分布列和均值；

(2)由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利,现将在全市进行推广.报名参加第一次抽奖活动的有20

万用户，该公司设置了第i(ieM)次抽奖中奖的概率为p产生3二每次中奖的用户退出活动，同时补

充相同人数的新用户，抽奖活动共进行2九(九CN*)次.已知用户丙参加了第一次抽奖,并在这2几次抽奖

活动中中奖了，在此条件下，求证:用户丙参加抽奖活动次数的均值小于告.

【答案】(1)解:①甲在第一次中奖的概率为吕=2=々，

153

乙在第二次中奖的概率为

2151339-

②设甲参加抽奖活动的次数为X,则X=1,2,3,

"=1)=得=右；

P(X=2)=普x/T；

151339

P(X=3)=—x—xl=—

'7151339

X123

11610

P

3939

.•历(X)=lx曰+2x卷+3乂黑=鲁.

OObzoy-LO

(2)证明丙在第奇数次中奖的概率为5,在第偶数次中奖的概率为4--

54

设丙参加抽奖活动的次数为y,“丙中奖”为事件在，

«P(A)=l-(|x1)=l-(1)n,

令mWn,meN*,则丙在第2m—1次中奖的概率_P(y=2m-1)=■厂”去，

在第2nz次中奖的概率

P(y=2m)=(y)ra-'x|-x[=

即P(,y=2m-1、)=F(/y=2m).=(/―3-)、仅一1X-1

\5，5

±ttr

在丙中奖的条件下，在第2小一1,27n次中奖的概率为p⑷，则丙参加活动次数的均值为E(Y)=

1

5P⑷•

设S=3+7X"1+llx(卷)2+■••+(4n-l)(-1-)n-1,

则=3x卷+7x管『+…+(4n—5)停广+(4n—1)(卷)”,

所以看S=3+4[|■+信Y+…+

号-生产传广却-⑶[-10喉92陪)"<9

5”信丹5[l-«n2」偿『2・

[题目叵(2023•晋中模拟)晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源,其中有保存完好的大院人文

景观(如王家大院,常家庄园等)，也有风景秀丽的自然景观(如介休绵山，石膏山等).某旅行团带游客来晋

中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游览.若每位游客选择人文景观的概率是!■，选择

自然景观的概率为4,游客之间选择意愿相互独立.

(1)从游客中随机选取5人，记5人中选择人文景观的人数为X,求X的均值与方差；

(2)现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记2分，选择自然景观记1分，记已调查过的累计得分为九分

的概率为2,求2.

【答案】解：⑴由题可知X~B(5,y)

(或者列出分布列)，于是E(X)=5x日=当，

D(X)=5x~1xJ=率

ooy

(2)方法一由题可知冗=

O

23+339,

当n>3时，2=得2_2，

OO

99

即2+可2-1=E-1+与2-2,

OO

归+作叫为常数数列，

且2+看2一尸为+弱=WxbMn＞2），

Pn—

是以打—■1■=—±为首项，-3■为公比的等比数列,

5153

.尸_&=_Wx(_2尸

"Pn5-15(3J，

.昨旦」乂(_2/

"P~515(3),

方法二由题可知吕=：,

O

产=2J乂工=工

23+339-

19

当n>3时，2=!2_1+作匕_2，

OO

即2-2_产-?(RT-2-2),

O

/.{2—RT}是以R—Pi=4■为首项，一日为公比的等比数列,

yo

4/2\n-2.、

•*•Pn~Pn-l—~7TX(——)伍>2),

y\j7

4/2、九一3

2—「2—2=石x(一_，

y\D/

吕一刀得X（4）°

以上各式相加得

表一看＞＜（♦厂

.p_34/2产

又Pi~~~也满足上式，

O

.p=3」x2\九-1

"n515

〔题目⑷（2023•邯郸模拟）某市为了让广大市民更好地了解并传承成语文化，当地文旅局拟举办猜成语大赛.

比赛共设置n道题，参加比赛的选手从第一题开始答题,一旦答错则停止答题，否则继续,直到答完所有题

目.设某选手答对每道题的概率均为p（0VpV1）,各题回答正确与否相互之间没有影响.

（1）记答题结束时答题个数为X,当九=3时，若E（X）＞1.75,求p的取值范围；

（2）①记答题结束时答对题的个数为y,求E（y）；

②当p=■时，求使现丫）＞4的九的最小值.

0

参考数据：1g2«0.301,1g3-0.477.

【答案】解：⑴根据题意，X的所有可能取值为1,2,3,

P(X=l)=l—p,P(X=2)=0(l—p),

P(X=3)=

所以E(X)=1—p+2P(1—p)+3P2=p2+p+1,

由E(X)=p2+p+i>L75得p>。，

又0<p<l,

所以p的取值范围是(弓，1).

⑵①p(y=%)=pA(i—p),

其中fc=0,l,2,­••,n—1,P(Y=n)=pn.

方法Y的均值E(y)=p(l—p)+2P1I—p)-\---F(n—l)pn-1(l—P)+nPn

=(1—p)[p+2p2+3p3+—I-(n—l)pn-1]+npn,

23n-1

设Sn=p+2p+3p+—卜(n—l)p,

23n-1n

利用错位相减可得(1—p)Sn=p+p+p+—l-p—(n—l)p,

所以E(y)=0+p2+p3+—Fpn-1—(n—l)pn+npn

—p-\-p2+p3d---Fpn-1+pn=PP—.

1—p

方法二E(y)=(p-p2)+(2p2-2p3)+(3p3-3p4)+-••+

[(n—l)pn-1—(n—l)pn]+

=p+p2+p3H---f-pn-1+pn

_P-Pn+1

1—p

5__/J

②依题意，一-A〉4,

5

1-6"

即传r<:，

lg6

?Pn+l>log||=lg6_lg5

=续+坨3.9848

21g2+lg3-l-'

所以n>8.848,又nCN*,故外的最小值为9.

、题目回（2023•淮北模拟）社会人口学是研究人口因素对社会结构和社会发展的影响和制约的一门社会学分

支学科.其基本内容包括：人口作为社会变动的原始依据的探讨,将人口行为作为引起社会体系特征变动

的若干因素中的一个因素来研究.根据社会人口学研究发现，一个家庭有£个孩子（仅考虑不超过3个孩

子家庭）的分布列为：

a1230

m

Pmm(l—p)m(l—p)2

P

其中机>0,0<p<1,每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为］且相互独立，记A表示事件“一个家

庭有i个孩子（i=0,1,2,3）”，B表示事件”一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭只有一个孩子且恰为男

孩,则该家庭男孩多）”.

⑴若P="，求P(B)；

(2)参数p受到各种因素的影响(如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等),通过改变参数p的值来调

控未来人口结构.若希望P代=2)增大,如何调控p的值？

参考公式：P(MN)=g需，

k=0

【答案】解：(1)由题意得处+m+m(l—p)+m(l—pY=2m+m+3m=1,解得m=

p2415

又P(B4)=0,F(B|A)=

P(B㈤=G居『，

p(Bi4)=0居y+c6):

-ELB—BAQ~\~,

由全概率公式，

得p⑻=^P(H4)P(4)

»=0

4a

[或6丫+。聘丫同(i_p)

=2F+T+Tm(1-p),

由p=]~,?n=A，得P(8)=3.

乙-LuO

(2)由题意得_P(g=2)=772,考虑馆的变化即可，

由221-f-Tn+m(l—p)+m(l—p)2—1,

P

得—=p2—3p+—+3,

mp

设/(P)=p2-^p+—+3,0<p<l,

P

则7(p)=2pjy-i,

p

记g(p)=2p3—3p2—1,则g'(p)=6p2—6p—6P(p—1)<0,

故g(p)在(0,1)上单调递减，

g(o)=T,

Ag(p)<0,.-J,(p)<0,/(p)在(0,1)上单调递减,

因此，增加p的取值，—会减(J',m会增大，即P(g=2)增大.

题目旧(2023•浙江金丽衢十二校联考)某公司生产一种大件产品的日产为2件,每件产品质量为一等的概率

为0.5,二等的概率为0.4,若达不到一、二等，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立.已知生产一

件产品的利润如下表：

二竺

等级一等一寺—^寸

利润(万元/每件)0.80.6-0.3

(1)求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；

(2)求该公司每天所获利润其万元)的均值；

(3)若该工厂要增加日产量,需引入设备及更新技术,但增加n件，其成本也将相应提升n