函数与方程（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

第7讲函数与方程

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一、知识梳理

1.函数的零点

(1)概念：一般地，如果函数y=/(x)在实数a处的函数值等于零，即/(a)=0,则称《为函数y

=/(x)的零点.

(2)函数的零点、函数的图像与x轴的交点、对应方程的根的关系：

隋面=/(.赢蹴一

公簪，•实数也J

2.函数零点存在定理

如果函数y=/(x)在区间［a,切上的图像是连续不断的，并且/(a)：/S)gO(即在区间两个端点处

的函数值异号)，则函数y=/(x)在区间(a,b)中至少有一个零点，即三的£伍，b),加())=0.

二、考点和典型例题

1、函数零点所在区间的判断

【典例1-1】(2022•天津红桥•一模)函数/(x)=e'+2x-6的零点所在的区间是()

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

【典例1-2】(2021•山西•太原五中高三阶段练习(文))利用二分法求方程logsx=3-x的近似解，可以取

的一个区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【典例1-3】(2019•全国•高三专题练习)若/(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法

逐次计算，数据如下表：

川)=-2/(1,5)=0.625

/(1.25)=-0.984“1.375)=-0.260

<(1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052

那么方程x3+--2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（)A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5

【典例1-4】（2022・天津•静海一中高三阶段练习）已知函数y=/（x）是周期为2的周期函数，且当时

时,，卜）=2凶-1,则函数F（x）=/（x）-|lgx|的零点个数是（）

A.9B.10C.11D.18

【典例1-5】（2022•河南河南•三模（理））函数/（x）=ei-e~——的所有零点之和为（）

X-1

A.0B.2C.4D.6

2、图像零点个数的判定

【典例2-1]（2022•北京•模拟预测）已知函数"x）=cos2x+cosx,且xe[0,2兀],则/（*）的零点个数为

（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【典例2-2】（2022•安徽•巢湖市第一中学高三期中（文））已知函数/卜）=/+嚏*<°,则函数

Inx,x>0

g（x）=/[/（x）+2]+2的零点个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【典例2-3]（2016•天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）函数〃x）=2mx+4.若在[-2,1]内恰有一

个零点，则加的取值范围是（）

A.[-1,2]B.[l,+oo）C.D.[-2,1]

【典例2-4】（2022•湖南衡阳•二模）已知定义在R上的奇函数/（x）恒有/（x-l）=/（x+l）,当xe[0,l）

时，/（x）=|^，已知壮（一]1'-2）'则函数g（x）=/"）-丘一；在（T6）上的零点个数为（）

A.4个B.5个C.3个或4个D.4个或5个

【典例2-5】（2022•宁夏银川一模（理））设函数〃x）=sin"+t®>0）,已知/（*）在一抬匕单

调递增，则〃x）在（0,27）上的零点最多有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

3、图像零点的综合应用

|lnx|x>0若g(x)=/(x)-q有4个零

【典例3-1】（2022・安徽•模拟预测（文））已知函数f（x）=

-x-2x,x<0

点，则实数。的取值范围是（

A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1]D.[!,+<»)

【典例3-2】（2022•黑龙江•哈师大附中三模（文））已知有且只有一个实数x满足/-办-1=0,则实数。

的取值范围是（)

3⑸

A.(-8,2)B.C.(-°0,2]D.

/、ax+Lx<0,

【典例3-3】（2022•河南安阳•模拟预测（理））已知函数/x=hIa（。>0且"1），若函数

|lnx|,x>0,

y=/（/（x））-。的零点有5个，则实数。的取值范围为（）

A.a=2B.In2〈a<l或1<。<2

C.0<Q4ln2或1<。<2或a=2D.In2（4<l或a=2

【典例3-4】（2022•福建三明•模拟预测）己知函数/（x）=G?-axlnx-e，有两个零点，则实数a的取值范

围为（）

A.B.（0,e）C.\'+8）D.„

（xxW0

【典例3-5】（2022•山东济宁•二模）已知函数〃x）='-若函数g（x