高三数学第一轮复习 等差数列 专项训练

7.2等差数列

一、学习目标：等差数列的概念、性质及前n项和求法。

二、自主学习：

【课前检测】

n

1.（2010年东城期末20）设数列｛4｝的前〃项和为5“.已知a】=5,an+l=Sn+3,

neN*.设么=5”-3",求数列｛勿｝的通项公式；

n

解：依题意,Sn+l-Sn=an+l=Sn+3,即S“+i=2S”+3',

由此得Em—3"M=2（S“—3"）.

因此，所求通项公式为I?”=Sn-3n=2、

2.设数列｛4｝是递增等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项为2.

3.已知等差数列｛4｝的公差dwO,且%,%,佝成等比数列，则％+%+%=土

a2+a4+al016

【考点梳理】

1.在解决等差数列问题时，如已知，a1,a„,d,Sn,n中任意三个，可求其余两个。

2.补充的一条性质

1）项数为奇数2〃一1的等差数列有：.=/一s奇一5偶=。中，邑"-1=（2"-1）4

S偶〃T

2）项数为偶数2〃的等差数列有：—=-^-,s偶一s奇=ndJ”="（4+4+1）

S偶an+l

an+l-an=d（定义）

3.等差数列的判定：｛a｝为等差数列。2aM=%+。“+2

an=An+B（关于〃的“一次函数”）

Sn=Arr+Bn（缺常数项的“二次函数”）

即：｛a〃｝o〃n+i一勺=d（d为常数）02%=an+i+an_Y（n>2,neN^）

2

=kn-^-b<=>sn=An+Bn；

4.三个数成等差可设：a,d,a+2d或a-d,a,a+d；

四个数成等差可设：a~3d,a—d,a+d,a+3d.

5.等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列

的通项公式：an=ai+（n-l）d=d•n+ai-d,an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数

列的各点（n,%）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两

项可以确定一个等差数列.k=d="二立，d，二明「由此联想点列（n,a„）所在直线的

n-1n-m

斜率.2）点（AS”）在没有常数项的二次函数5'=〃？+q”上。其中，公差不为o.

6.等差数列前n项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解）

1）若等差数列｛%｝的首项％>0,公差d<0,则前几项和臬有最大值。

（i）右已知通项则S〃取大；

[%<o

（ii）若已知S〃=p72+q〃，则当“取最靠近—2的非零自然数时S“最大；

2P

2）若等差数列｛%｝的首项％<0,公差d>0,则前几项和臬有最小值

[a<0

（i）若已知通项a,贝！JS最小O<；

nn1%2o

（ii）若已知S〃=p72+q〃，则当“取最靠近—2的非零自然数时S“最小。

2P

7.等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等

等差数列

定义{aj为等差数歹Uoan+「an=d(常数)，nN+<^>2an-an-i+an+i(n2,n£N+)

1)。〃二%+(n-1)d=即+(n-k)d；。〃二赤+名十=kn+b

通项公式2)推广：an=am+(n—m)d.

a>,ana,n

3)变式：ai=a„-(n-1)d,d=,d=~,由此联想点列(n,

n-1n-m

an)所在直线的斜率.

九(%+〃〃)n(n-l),d2,d、.2n

1)Sn=---——=navH----------d=—n+{ax--)n=Axn+Bxn

求和公式c、HVr〃]+S〃]+。2----%/r、d/r、/

2)变式：—————---------=ai+(77-1)•—=an+(/7-1)•(-

2nn2

d、

—).

2

1）等差中项：若a、b、c成等差数列，则6称a与c的等差中项，且为匕；

等差中项2

a、b、c成等差数列是2左/c的充要条件.2）推广：相+。〃+冽

1m+n=l+k^am+an=al+ak（反之不一定成立）；特别地，当

根+〃=2p时，有〃根+〃〃=2。〃；特例：ai+an=a2+an-i=a3+an-2=---o

重2下标成等差数列且公差为卬的项a,a版，a^,…组成的数列仍为等差数

歹!J,公差为md.

3

S",s-s,s-s成等差数列。

要2nn3n2n

a-a.a—a

4d='(m丰ri)

性n—1m—n

5

d>0o<｝为递增数列

增3

质减

d=0o｝为常数列

性m

d<O=j3｝为递减数列

其1an=am+(n—m)d.

2若数列｛a｝是公差为d的等差数列，则数列｛才&+6｝(1、6为常数)是

它公差为儿，的等差数列；若｛4｝也是公差为d的等差数列，则｛10+小4｝

(小、小为常数)也是等差数列且公差为九/小a

性3a„=an+b,即a0是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；

S,Fan2+bn,即S”是n的不含常数项的二次函数；

质

三、合作探究：

题型1等差数列的基本运算

例1在等差数列｛既｝中，

(1)己知为5=10,a明=90,求aeo;

(2)己知Siz=84,S20=460,求SZB；

(3)已知a6=10,S5=5,求as和SB.

82

a[5=Q]+14d—1013

解：(1)方法一:a6o=ai+59d=130.

。。物8

45=1+1=90dJ=一

3

方法2公言-崇常号,an=a-(n-m)dna60=a45+(60—45)d=90+15x|=13。.

122A+12B=84(A=2

(2)不妨设S=An2+Bn,

n2()2A+205=46013=一17

22

・•・Sn=2n-17nS28=2X28-17X28=1092

(3)VS6=S5+a6=5+10=15,

又S6=6(%+/)=6(〃i+10)...15=6(“i+10)即&=—5而d=&Z&_=3

2226-1

••a.8a.6+2d—16S尸迎等=44

q

变式训练1设｛a.｝为等差数列，S为数列｛aj的前n项和，已知5=7,以=75,方为数列｛二｝

n

的前〃项和，求T„.

解：设等差数列｛a｝的公差为必贝！JS二刀打+工〃（刀一1）d.

•：工=7,SI=75,

25

J7%+21d=7,即J%+3d=1,

解得石尸一2,加1.

[15〃i+105d=75,1%+7d=5.

——-Si+—（77—1）公—2+—（77—1）――———.

n222

・・・江一也二L・・・数列｛、｝是等差数列，其首项为一2,公差为匕

n+1n2n2

小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解

方程组思想等。等差数列中，已知五个元素a，n,d,S中的任意三个，便可求出其余

两个.

题型2等差数列的判定与证明

例2已知数列｛a｝满足2a+i=a+&+2（〃£N*）,它的前〃项和为S,且&=5,&=36.

求数列｛a｝的通项公式;

解：,北a+1=4+a+2,「・｛a｝是等差数列，设｛a｝的首项为4，公差为必

仿+i2d=5

由々=5,&=36得彳,解得为=1,d=2.・・ELn='2771.

〔62+15d=36

变式训练2在数列｛aj中，&=1,a〃+i=2a〃+2".设4=目，证明：数列｛4｝是等差数列；

证明：由己知ae=2a+2"得be=罗=在产=券+l=b„+l.

又bi=ai=l,因此｛&｝是首项为1,公差为1的等差数列.

小结与拓展：证明数列｛a.｝是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明

22）为常数；2）利用等差中项，即证明22二2一1+为+1（〃22）.

题型3等差数列的性质

例3设等差数列｛%｝的首项及公差均是正整数，前〃项和为S“，且q>l,%>6，

S3<12,则a,。］.。=.答案：4020

变式训练3在等差数列｛&｝中，已知1。&（为+国）=3,则等差数列｛2｝的前13项的和

513=.答案：52

解：Iog2（35-I-39）=3,.'.35-I-39=23=8.

,13X（ai+ai3）13X（a+a9）13X8

5=

••Si3=Q=29=52.

小结与拓展：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件

转化成关于4和d（G的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子

数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.

题型4等差数列的前〃项和及最值问题

例4设等差数列｛a｝的前A项和为S,己知a3=12,Sz>o,Si3<0.

（1）求公差d的取值范围；

（2）指出S,S,S,…，凡中哪一个最大，并说明理由.

解：（1）&=12,・••劭=12—2d,解得a2=12+9/劭3=12+104由S2>0,S3<0,即12ml十咐

2

>0,且13（4+。13）<0,解之得—竺</<—3.

27

（2）易知a7<0,戊>0,故国最大.

变式训练4（2010福建理数3）设等差数列｛«„｝的前n项和为S“，若6=-11,%+4=-6,

则当篦取最小值时,n等于（A）

A.6B.7C.8D.9

【解析】设该数列的公差为d,则。4+4=2Q+8d=2x（—ll）+8d=—6,解得d=2,

所以S"=—n〃+M^x2=/—=—6）2—36,所以当〃=6时，S“取最小值。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的

求法及计算能力。

小结与拓展：等差数列的前"项和为S",在IYO时，有最大值.如何确定使S“取最大值时

的"值，有两种方法：一是求使a,20,a“+iY0,成立的"值；二是由S“=+（对一!）〃利

用二次函数的性质求”的值.

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）

1.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树

立“目标意识”，“需要什么，就求什么"，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目

标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.

2.等差数列｛aj中，当a<0,40时，数列｛aj为递增数列，S有最小值；当a>0,d

<0时，数列｛aj为递减数列，S有最大值；当淡0时，｛a〃｝为常数列.

3.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.

四、课堂总结：（以学生为主，师生共同完成）

以学生为主，师生共同完成）

1.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树

立“目标意识”，“需要什么，就求什么"，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目

标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.

2.等差数列｛aj中，当a<0,40时，数列｛aj为递增数列，S有最小值；当a>0,d

<0时，数列｛aj为递减数列，S有最大值；当淡0时，｛a〃｝为常数列.

3.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.

五、检测巩固：

1.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的

和是16,第二个数与第三个书的和是12,求这四个数.