高三数学一轮复习-平面向量讲义

第4章平面向量

4.1向量的概念与线性运算

【例题精讲】

例1.选择题

(1)给出下列四个命题：

①若|a|=|b|,则a=b,a=-b;

②若四=沆，则A,B,C,D是一个平行四边形的四个顶点；

③若a=b,b=c,则a=c;

④若a〃b,b〃c,则a〃c;

其中正确的命题的个数为()

A.4B.3C.2D.1

⑵设D,E,F分别是4ABC的三边BC,CA,AB上的点，且DC=2前，区=2EA,AF=2而，则AD+BE+不与

BC()

A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直

例2.填空题

(1)下列各命题中正确的命题是.

①所有的单位向量都相等；

②向量的模是一个正实数；

③4ABC中，必有AB+BC+CA=O-,

④若a,b均为非零向量，则川+也|与|a+b|一定相等；

⑤若a与b同向，且与>|b|,则a>b;

⑥由于0的方向不确定，故0不与任何非零向量平行；

⑦若a〃b,则存在唯一实数兀使b=Xa成立；

⑧设ea,e2是平面内两个已知向量，则对平面内的任意向量a,存在唯一实数对x,y,使得a=xe1+ye2成

立；

@AABC中,D,E,F分别是边BC.CA.AB的中点，则AD+BE+CF=0;

(2)已知非零向量a,b,c,若向量p=*+★+点，则|pl的取值范围是.

(3)在平行四边形ABCD中，点E,F分别在边AD,AB上，且AE=ED,AF=g荏，线段EF与对角线AC交于点K,

AK=4元,则实数入=

例3.设两个非零向量a与b不共线.

(I)若荏=a+b,或=2a+8b,CD=3(a-b),求证A,B,D三点共线;

(II)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.

例4.如图4—1所示，在AOAB^,0C=-OA,OD=2诟,AD与BC交于点M,设立？=a,~OB=瓦试以a,b为基底

42

表示0M.

B

4—1

【总结提炼】

1.向量的模和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，故解决向量问题时，注意数形结合;

2.主要结论:A,B,C三点共线AB=4而，其中入是唯一确定实数OB=AOC+(1-Q成，其中入是唯一确定实数，

点O不在直线AC上特别地，点B是AOAC的边AC的中点，则OB=|0C+［加(如图4—2).

【自我测试】

一、选择题

1.如图4一3正六边形ABCDEF中，瓦？+而+^（）

A.OB.BEC.ADD.CF

2.若|同|=8,\AC\=5,则瓦|的取值范围是（）

A.[3,8]B.（3,8）

C.[3,13]D.（3,13）

3.四边形ABCD中，若希=:尻，则四边形ABCD是（）

A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形

4.已知入WR,则下列命题正确的是（）

A.|Aa|=l|a|B.|Xa|=|X|ac.|la|=|X||a|D.|Xa|>O

5.如图4-4,AABC中,AD=DB,AE=EC,CD与BE交于F.设AB=a',AC=b,AF=xa+yb;则仪》）为（）

A.（统）8.（|，|）

C.

6.0是平面内一定点，A,B,C是平面内不共线三点，动点P满足而=而+4（漏+配）。+8）,则P的

轨迹一定通过4ABC的（）

A.外心B.垂心C.内心D.重心

二、填空题

7.设ei,e2是不共线向量,ei-4e2与ke1+e2共线,则实数k的值为

8.已知P是4ABC所在平面内一点，且丙+而+诃=AB.plijAPAB与AABC面积之比为

9.已知4ABD是等边三角形，B.AB+^AD=AC,\CD\=百，那么四边形ABCD的面积为

1().过4ABC的重心G作一直线分别交AB.AC于D,E,若AD=xAB,AE=丫方.翔则：+:的值为

三、解答题

H.ltAABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=1AD,AB=aAC=b,

(I)用a,b表示向量而，而，万，屁，豆；

(II)求证:B,E,F三点共线.

12.已知向量a,=(2,1),,b=(1,2),求|a:+Lb|(入WR)的最小值.

4.2向量的分解与坐标运算

【例题精讲】

例1.选择题

(D1SAABC中，点P是BC上的点.BP=2PC.AP=AAB+痴?,则()

1221

A.X=2,|i=IB.X=1,|i=2C.2=-,jU=-D.A=-,jU=-

(2)已知向量a=(V3-l),h=(0,一2).若实数k与向量c满足a+2b=kc,则c可以是()

4(V3>-1)B.(-1--V3)C.(-V3--1)D.(-1-V3)

例2.填空题

⑴已知向量a=(V3-l),b=(0--1),c=(A?若a-2b与c共线，则k=.

(2)已知点A(l,--2),若希与a=(2,3)的夹角是180°,\AB\=2g,则点B坐标为

(3)已知a=(l,-2),则与向量a平行的单位向量的坐标为.

例3.已知A(-2,4),B(3,—l),C(-3,-4).设同=a，近=4由=c，且丽=3c,丽=-2b.

(1)求3a+b--3c;

(II)求满足a=mb+ne的实数m,n;

(HI)求点M,N的坐标及向量丽的坐标.

例4.已知向量a=(3,2),b=(-l,2),c=(4,i).

(IU(a+kc)〃(2b-a),求实数k;

(II)向量d满足(d-c)〃(a+b),且\d-c\=的，求d.

【总结提炼】

1.平面向量的基本定理是建立向量坐标的重要基础，它可以将平面内不同的向量划归为两个基本向量的表达式

(一组基底的线性组合)，A(x,y)•'f3m=(x，y)a=(x,y);

2.向量共线的充要条件的两种形式：a〃bob=Xa(a9)，

abxry2-x2yi=0(其中a=(x]，y]),b=(x2,y2)).

【自我测试】

一、选择题

1.如图4一6,正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，则方=()

A.-AB--ADB.-AB+-AD

2342

C.-AB+-DAD.-AB--AD

3223

2.设向量a=(l,x-l),b=(x+l,3),!(l!|,,x=2,,^a//b),Kj()

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.向量a=(3,4),b=(x,2),若a・b=|a|,则实数x的值为()

A.-1B.—C.—D.1

23

4.已知向量a、b不共线,c=1«1+1),(1;£1<),€1=@也,如果c〃&那么()

A.k=l且c与d同向B.k=l且c与d反向

C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向

5.如图4一7,向量a-b等于()

A.-2ej_-4e2B.-4ei-2e2

C.ei-3ezD.-ei+3e2

6.在平面直角坐标系xOy中，已知A(l,0),B(0,l),点C在第二象限内，乙40C=?，且|4|=2,若瓦=4而+nOB,

6

则X,H的值()

A.V3,1B.1,V3C.-1.V3D.-V3,1

二、填空题

7.已知向量a=(l,2),b=(l,入),c=(3,4).若a+b与c共线,则实数X=.

8.AC为平行四边形ABCD的对角线，肉=(2,4),元=(1，3),则而=..

9.已知点A(l,-2),若线段AB的中点坐标为(3,1),且四与a=(l3垂直，则X=

10.已知况=(cos。，sin。),而=(1+sin8，l+cos。),其中080,汨，则|所|的取值范围是

三、解答题

11.己知O((),0),A(l,2),B(4,5)及~0P=0A+tAB.

(I兑为何值时，点P在x轴上?点P在y轴上?点P在第二象限？

(II)四边形OABP能否成为平行四边形?若能，求出相应t值，若不能，请说明理由.

12.在平面直角坐标系中，已知AABC的顶点坐标分别为A(2,3),B(1,-1),C(5』),点P在直线BC上运动，动点Q满

足所=可+而+无，求点Q的轨迹方程.

4.3向量的数量积

【例题精讲】

例1.选择题

⑴己知向量a与b的夹角为120。，同=3,与+切=后,则也|等于()

A.5B.4C.3D.1

(2)如图4-8,边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则

丽•沅的最大值是()

A.2B.1+V2C.7TD.4

例2.填空题

⑴在AABC中,NA=90。,且AB-BC=-1,则边AB的长为

(2)在矩形ABCD中，|荏|=2,\AD\=1,且点E,F分别是边BC,CD的中点，则(族+而)•前=

(3)已知|a|=1,\b\=且a_L(a+b),则向量a与向量b夹角的大小是；向量b在向量a上的投影是

例3.已知例=l,a•b=：,(a—b)♦(a+b)=

(I)求初1?>;

(II)求cos<a-b,a+b>.

例4.已知向量a=(争一=(1-V3).

(I)求证a±b;

(II)如果对任意的s£R+,使m=a+(1+2s)b与n=—ka+(1+1)b垂直，求实数k的最小值.

【总结提炼】

1.两个向量的数量积a-b是一个实数，不是向量，两个向量的夹角<a,b>e[O,n],

2.向量a在b方向上的投影为|a|cos6)=需，

3.己知两个非零向量a=(xi),b=(X2,y2),0是向量a,b的夹角，向量表示坐标表示向量a的模|a|=Va21al="

xi2+y2

a,b的数量积a-b=ab=Xix2+%丫2

a与b共线a〃b=b=^aa〃b=Xiy2=x2yi=0

a与b垂直a±b<=»ab=()a±b<=>x1x2+yi=0

a,b的夹角cos0=gnb

【自我测试】

一、选择题

1.已知向量a=(l,k),b=(2,l),若a与b的夹角大小为90。,则实数k的值为()

A.--B.^C.-2D.2

22

2.已知向量a,b满足间=8,|b|=6,a-b=24,则a与b的夹角为()

A.30°B.60℃.90°D.120°

3.已知同=1,网=2,a♦(匕-a)=6一1,则a与b的夹角是()

4洌

4.在4ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足AP=2丽，则PA-（PB+元）等于（）

A4.--4Bn.---4C.-40p..一4

9339

5.在4ABC中，若AC-BC=1,AB-BC=-2,且NB=60。,则4ABC的面积为（）

4.2V3B.V3C.y£>.V6

6.如图4一9,非零向量次=a,而=b,且BC±OA,C为垂足，若OC=4a,则X=()

处回回

lai2|a||b|

abab

cr■际少标

4—9

二、填空题

7.已知点A(1,1),B(5,3),向量荏绕点A逆时针旋转手到前的位置，那么点C的坐标是.

8.已知向量a=(cosa,sina),b=(cosB，sin位，且a，b,那么a+b与a-b的夹角的大小是.

9.在4ABC中，若AC-BC=l.AB-~BC=-2,则|说|=一.

10.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则屁•而的值是，瓦•反的最大值

三、解答题

H.已知|a|=4,|b|=8,va,b>=120°.

(I)^|a+b|,|4a-2b|;

(II)k为何值时,(a+2b)_L(ka-b).

12.已知a=(l,2),b=(-2,l),k,t为正实数,x=a+(t2+l)b,y=-^a+；b,若x_Ly,求k的最大值.

4.4向量的综合与应用

【例题精讲】

例1.选择题

(1)已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=a+入b(入eR),向量d如图4一10,则(

A.存在k>0,使得向量c与向量d垂直

B.存在40,使得向量c与向量d夹角为60。

C.存在入<0,使得向量c与向量d夹角为30。

D.存在使得向量c与向量d共线

(2)设向量a=(1-3),b=(-2,4),若表示向量42,3卜224的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量©为()

A.(11)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6)

例2.填空题

(1)若非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a.与a+b的夹角为

(2)己知4ABC的面积S=g，乙4=条则布•尼=..

(3)已知点P是4ABC的中位线EF上任意一点，且EF〃BC,实数x,y满足~PA+xPB+yPC=0.设△ABC,Z\PBC,

△PCA.APAB的面积分别为S,Sj,S2,S3，记£=儿年=卷年=%.则入2•入3取最大值时,2x+y的值为.

例3.己知点A(l,-l),B(3,0),C(2,l).若平面区域D由所有满足AP=AAB+遍？(1<1<2,好睡1)的点P组成，则D

的面积为

例4.在平行四边形ABCD中,A(l,l),AB=(6,0),点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.

(I)若而=(3,5),求点C的坐标；

(1【)当|荏|=|而|时，求点P的轨迹方程.

【总结提炼】

1.平面向量在平面几何中主要作用是：求证平行、垂直，求角度、长度等；

2.平面向量在解析几何中主要作用是：求证平行、垂直，求角度、长度等；

设直线1的倾斜角是a,斜率是k,向量a=(m,n)是直线的方向向量，则，

k-tana=三向量(l,k)与向量a=(m,n)平行，且都平行于直线1;

n

3.平面向量与三角函数综合，主要是以三角函数为内容，向量为形式，通过向量的运算，转化为三角函数问题

等；

4.高中平面向量与物理的综合主要体现在：求力的合成与分解，求力的做功多少等.

【自我测试】

一、选择题

1.在4ABC中，“荏・前>0"是"AABC为钝角三角形”的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.如图4-12,在复平面内，复数zi，Z2对应的向量分别是瓦4,0瓦则复数包对应的点位于()

Z2

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知非零向量a,b,则“a〃b”是飞+40”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件图全12

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.己知a=(2cos9,2sine),8£(氤兀)/=。—1)则向量a与b夹角为()

A.2--eB2.-+eC.92--D.Q

5.平面四边形ABCD满足希+而=0,(正一而)•元=0,则该四边形一定是()

A.正方形B.矩形C.菱形D.直角梯形

6.若a,b是非零向量,“aJ_b”是“函数f(x)=(xa+b>(xb-a)为一次函数”的()

A.充分而不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题

7.已知向量a与b的夹角为120。，且|闺=网=4,那么b-(2a+b)的值为

8.已知O是4ABC内部一点，次+而+而=0,而=2,且/BAC=60。,则|而||前|=_,OBC的面积

为

9.已知。是坐标原点，点A(-2,l),若点M(x,y)为平面区域｛x-y+1>0,y+1>0,x+y+1<0内的一个动点,

则OA•丽的最大值为

10.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若©=屹+此(九41《阳,则：=..

三、解答题

11.已知向量a=(2cos0J),b=(sinO+cosO,1-<8<今

(I)若a〃b,求0;

(II)f(。尸a-b,求出0)的最大值及单调增区间.

12.已知向量a,b满足|a|=|b|=l,且\ka+