2023年高三数学高考模拟试卷附参考答案十一

2023年高三数学高考模拟试卷(十一)

一、单选题

1.已知集合用={%|了=丘与},N={%|0<x<2},则MCIN=()

A.{x|0<%<1}B.{x|l<%<2}

C.{x|x<2}D.{%|x>0}

2.设抛物线V=2px(p>0)的焦点为F,若点P(l,m)在抛物线上，且|PF|=3,则「=()

A.1B.2C.4D.8

3.在Zk/IBC中，。是线段BC上一点，满足BD=2DC,M是线段4。的中点，设的=%荏+y而，则

()

1111

A.x-y=—B.x+y=-C.x—y=D.x+y=-

4.基本再生数&与世代间隔7是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平

均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：

/(t)=e"(其中e=2.71828……是自然对数的底数)描述累计感染病例数/(t)随时间t(单位：天)

的变化规律，指数增长率r与Ro,T近似满足品=1+rT.有学者基于已有数据估计出%=3.28,T=

6,据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为()(参考数据：

ln2=0.69,ln3=1.1)

A.1.2天B.1.8天C.2.9天D.3.6天

5.设函数/(%)=5皿23%+$(3>0)的最小正周期为7,若且V=/(%)的图象关于点

(苧，0)对称，则()

A.喷=1

B./(%)的图象关于直线％=工对称

C.f(%)在区间,,勺上是减函数

D./(%)在区间(0,勺上有且仅有两个极值点

44Inyt*[

'一，若pHq,且f(p)+/(q)=2,则p+q的最小值是()

{2x-1,x<1

A.2-2ln2B.3-2ln2C.4—21TL3D.2

7.已知函数/（X）=+a%2+X有两个极值点为］,X2（%1%2）,若过两点（久1，/（X1））>

（%2,f（%2））的直线，与％轴的交点在曲线y=/（%）上，则实数a的值可以是（）

A.0B.苧C.gD.|

8.在△ABC中，X=J,B=之,BC=1,。为4c中点，若将△BCD沿着直线BC翻折至△BC，。，使

oZ

得四面体c'-4BC的外接球半径为1，则直线BC，与平面4BD所成角的正弦值是（）

A^3B2c居D布

-T,3c-TT

二、多选题

9.给出以下四个说法，正确的有（）

A.如果由一组样本数据Qi，yj,（孙，、2），…，（马，％）得到的经验回归方程是，=9工+8，

那么经验回归直线至少经过点（%i，yi）,（%2，及），…，（xn）%）中的一个

B.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好

C.在回归分析中，用决定系数/?2来比较两个模型拟合效果，R2越大，表示残差平方和越小，即

模型的拟合效果越好

D.设两个变量％,y之间的线性相关系数为r,则|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在经验

回归直线上

10.已知正方体ABCD-AiBiGDi的棱长为1,M,N分别是棱BC,QD1的中点，E是棱AB上的一动

点，则（）

A.存在点E,使得&EIIMN

B.对任意的点E,NE1BrC

C.存在点E,使得直线NE与平面4BCD所成角的大小是看

D.对任意的点E,三棱锥Ci-EMN的体积是定值

11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星

及其卫星的远行规律时发现的.在平面直角坐标系％Oy中，设P（x,y）到4-1,0）与B（l,0）两点的距

离之积为2的点的轨迹为曲线C,则（）

A.|x|<1

B.曲线关于原点对称

C.曲线围成的面积不大于7

D.曲线C上任意两点之间的距离不大于3

12.已知工，y6/?»若％•(e*+伍t+%)=1,y-[2lny4-Zn(Zny)]=1,其中e=2.71828......是自

然对数的底数，则()

A.0<x<1B.xy=2C.y-x>1D.y—x

三、填空题

13.已知a,bWR,若1+i是关于汽的实系数方程%2+。％+6=0的一个根，其中i是虚数单位，则

a+b=.

14.已知Q+》(ax+l)5的所有项的系数的和为64,展开式中炉项的系数为.

15.已知圆Ci：(%+1)2+丫2=1在椭圆。2：蚤+*l(a>b>0)的内部，4为C2上的一个动点，

过4作G的一条切线，交于另一点B，切点为D，若当。为4B的中点时，直线的。的倾斜角恰好为

竽，则该椭圆C2的离心率e=.

16.某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项

之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1,2：第二行得到数列

1,2,2：第三行得到数列1,2,2,4,2,则第5行从左数起第8个数的值为；4

表示第九行所有项的乘积，设服=则B7=.

12242

122428482

四、解答题

17.如图，在直四棱柱4BCD—&B1C也中，LDAB=J,AB=BC=2,=3,E在棱BC上,

满足BE：EC=1：2,F在棱44i上，满足存=/I丽

(1)当4=，时，证明:4E〃平面BCiF；

(2)若平面BC/与平面4BCD所成的锐二面角的余弦值为|,求4的值.

18.在△ABC中，a,b,c分别是角4B,C的对边，且满足(a+b+c)(a+b-c)=3ab.

(1)求角C的大小；

(2)若△力BC是锐角三角形，求妇逆的取值范围.

C

19.已知等差数列｛an｝的前n项的和为4,且由+。2=3,为=15,数列｛匕｝满足勾=a”•[1+

(一l)%](neN*).

(1)求数列｛a4｝的通项公式；

(2)设数列｛%｝的前n项和为8”，集合P=｛n|nW100且8nW100,neN*｝,求P中所有元素的

和S.

20.为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组

织学生参加航空航天科普知识答题竞赛.每位参赛学生答题若干次，答题赋分的方法如下：第1次答

题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10

分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为会各次答题结果互不影响.

(1)求甲同学前3次答题得分之和为70分的概率；

(2)在甲同学完成5次答题，且第2次答题答对的条件下，求答题得分之和不大于90分的概率；

(3)记甲同学第i次答题所得分数X&CN*)的数学期望为E(X。，求E(Xi),并写出E(XD与

E(M+i)满足的等量关系式(直接写出结果，不必证明).

21.已知4(一1,0),B(l,0),直线AM,相交于M,且直线AM,的斜率之积为2.

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)设P,Q是点M轨迹上不同的两点且都在y轴的右侧，直线AP,BQ在y轴上的截距之比为

1：2,求证：直线PQ经过一个定点，并求出该定点坐标.

22.已知过点P(a,b)可以作曲线/(%)=ex+kx(kCR)的两条切线，切点分别为A、B,线段AB的

中点坐标为Qo,y0).其中e=2.71828......是自然对数的底数.

(1)若a=0,证明：0<b<1；

(2)若k<0,证明：(X。-a)®。-b)<0

参考答案

L【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】B,C,D

10.【答案】B,D

11.【答案】B,C

12.【答案】A,C,D

13.【答案】0

14.【答案】15

15.【答案】等

16.【答案】8；365

17.【答案】(1)证明:

方法1：

在棱BQ上取G,使得BG：GG=1：2,连接GF,GE.

因为BE：EC=1：2,所以EGCQ,且EG=qCQ.

当；1=1时,AF=^AA[,则AFCCI，且AF=^CCi，

所以47/EG,AF=EG,

所以四边形AEGF是平行四边形，所以4E〃/G.

又因为FGu平面BEC。AEC平面BGF,

所以AE〃平面BC/.

方法2：

在棱CCi上取G,使得CG：GQ=2：1,连接AG,EG.

因为BE：EC=1：2,所以EG〃BQ

又EGC平面Be/,BQu平面BQF,所以EG〃平面BQF.

又因为4F=GQ,且AF//GQ,所以四边形4FQG是平行四边形，

所以AG〃尸Q,又4G<t平面BCiF,FC】u平面BC/,从而ZG〃平面BGP.

因为4GnEG=G,AG,EGu平面ZEG,所以平面AEG//平面

因为AEu平面4EG

所以4E〃平面BQF.

(2)解：取的中点M,则DM_LDC.分别以射线DM,DC,DD、为x,y,z轴的正半轴建立空间直

角坐标系，如图所示,

则8(遍，1,0),6(0,2,3),所以西=(-遮，1,3).

因为而=4廊，所以尸(遮，-1,32)，所以而：=(0,-2,3/1).

设访=(x,y,z)是平面BQ77的法向量,

则(记■BC；=-V3x+y+3z=0

Im-BF=-2y+3Az=0可取记=(国；I+26，34,2).

不难得到：平面ABCD的一个法向量为元=(0,0,1).

|沅•宿___________2________

所以|cos(沅,=22

1^；3(2+2)+9/+；1化简得：4A+4/1-3=0,

解得；I弓或；1=一|.因为0W4W1,所以;1=今

22

18.【答案】(1)解：由(a+b+c)(a+b—c)=3ab得：(Q+6)—c=3ab>

••a2+b2—c2=ab,则cost*--1,

又C6(0,•**c=*

_f0<A<^7r7r

Z

(2)解：ABC是锐角三角形，。=枭.・・{77r万，解得：J<71<5；

由正弦定理得：史泮=包啸/生=^[sin4+2sing+A)]=^(2sinA+百cos4)=

2g^sin(4+(p)(其中tan邛=冬0<(P<?);

当4+8=3时，(业)=翠；

/Cmax3

当4—Q+2b2/3z.A/QA\2V3X1.3X5/5.

3^—不回，---=(Q2sinA+V3cosA)=x(1+引=

当4——fH*Q+2b2/3.A/QAX25/34/35/5.

三人一2明，-Q-=-3-(2smA+V3cos4)=xQ2=<-g-；

二岁的取值范围为(挈，等].

19.【答案】(1)解：设等差数列｛册｝的公差为d,则ai+a2=2ai+d=3,①

又4=5al+~^—d=5al+10d=15,可得的+2d=3,②

联立①②解得的=d=1,所以即=%+(几一l)d=n,

nn2

(2)解：bn=On-[1+(―l)n]=n+(—l)n,

所以+^2n+l=(2九+4九2)+[2九+1—(2九+1)勺=0«

因为比=0,所以32n_i=0,故1、3、5、…、99都是集合P中的元素.

2

又B2n=B2n-i+b2n=2n+4九2,则由2九4-4n<100得九<4.

所以2、4、6、8都是集合P中的元素.

综上所述：S=(1+3+5+…+99)+(2+4+6+8)=+2Q=2520.

20.【答案】(1)解：若甲同学前3次答题得分之和为70分，则甲前3答题的正误结果分别为：对对

错，错对对，

所以所求概率为P(X=70)=2(1)2XJ=盖.

(2)解：记事件从甲同学完成5次答题，第2次答题答对，

记事件B：甲同学完成5次答题，答题得分之和不大于90分，

在甲同学完成5次答题，且在第2次答题答对的条件下，答题得分之和不大于90分的情形

有以下5种：错对错错错，对对错错错，错对对错错，错对错对错，错对错错对，

所以,P(AB)=(1)4x|+4x(1)3x(1)2=P⑷=春

由条件概率公式可得尸(B⑶==禺x|=果.

1(41)JJL4D10^0

(3)解：Xi的取值可以是10、20,且P(Xi=10)=q，P(Xi=20)=孑

所以E(XD=20x1+10x|=18.

若第i+1次甲答对，则甲的得分为2E(%)；若第i+1次甲答错，则甲的得分为10分.

所以，E&+1)=治x2E(X。+:X10=+2(ieN*).

21.【答案】(1)解：设M(x,y)(xK±l),则直线AM的斜率是加=击;，直线的斜率是七=

y

口，

所以自也=备•号=2,化简整理得：“2—吟=1(X。±1)，

所以动点M的轨迹方程是“2耳=1(x牛±1).

(2)证明：设直线4P在y轴上的截距为3则直线BQ在y轴上的截距为23显然t。0,

直线4P的方程为占+*=1,即y=t(x+l),直线BQ的方程为号+美=1,即y=—2t(x—l),

又双曲线%2一吟=1的渐近线方程为y=±y[2x，显然直线AP与双曲线两支各交于一点，

直线BQ与双llh线右支交于两点，

则有旧＜鱼,且21tl＞奁，于是¥＜出＜鱼,

(y=+1)

由I7y2消去丫化简整理得：(/一2)/+2严工+(严+2)=0,设点P(%p,yp),

4t

则％P・(―1)='J2,解得％p=—，理,Wy„=t(-'J24-1)=—

r-2r-2〃r-2理—2

y=-2t(x—1),

2222

由・y2消去y化简整理得：(2t-l)x-4tx4-(2t+1)=0,设点P(%Q,%),

x2-4-=1

\L

2t2+1解得和=舒有…玲-―告'

则XQ-1=

2t2一1'

XQXp~2t2-l+t2-2-(2理_］清_2)，yQyP_2t2-l+t2-2-(2£2-1)(^-2))

于是所=(2£磔2)(产―1,°,设直线PQ上任意一点RQ，y)＞则丽=(”+之y+

4t

),

显然而〃而，因此t(尤+铐)=(/一1)3+牖)，即％九)一铐,

C—Lt—ZLt—Lt—L

22

整理得％=1y+3,显然直线x=_:y+3恒过定点(3,0),

所以直线PQ经过定点(3,0).

22.【答案】(1)证明：函数/(%)=〃+kx的导函数为f'(x)=ex+k.

设4(%i，e"i+/cq)、B(X2»e“2+/c、2)，

则曲线/(%)在力处的切线方程为y=(靖】+k)x+(1-％1)靖】.

因为切线过点P(a,b),所以b=(eZ+k)a+(l-4i)e%,①

同理可得b=(e*2+k)a+(1—%2)12，②

所以打、冷是方程b=(ex+k)a+(1-x)e*的两个不等实根.

当a=0时，6=(1—x)ex,

设F(x)=(l-x)ex,则直线y=b与函数尸(%)的图象有两个交点，

F(x)=-xex>当》<0时,，F'(x)>0，此时F(x)递增；当％〉0时，，F(%)<0>此时F(x)递减.

所以，函数FQ)的极大值为F(0)=1,

当X<1时，F(x)=(1—x)ex>0；当％>1时，F(x)=(1—x)ex<0,如下图所示：

由图可知，当0<b<l时，直线y=b与函数F(x)的图象有两个交点，

综上所述，0<b<1.

X1Z1Z2X2

(2)证明：由①②可知，(e+k)a+(1—%i)e=(e+k)a+(1—x2)e,

于是a_(]一金)/2-(1一勺)暝,

a-exl-ex2

不妨设t=&—>°，则e*2=ef.不,

则a-(1一1一£)右_(1一叼)_i+ter

%

人J"l_et-il+el

又