寒假作业05 有理数的乘方（解析版）

学而优·教有方学而优·教有方2/2寒假作业05有理数的乘方1．有下列四个算式①；②；③；④．其中，正确的有（）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】由有理数的加减运算法则、乘方的运算法则、除法运算法则，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：①；故①错误；②；故②错误；③；故③正确；④；故④正确；故选：C．【点评】本题考查了有理数的加减乘除、乘方的运算法则，解题的关键是正确掌握运算法则进行判断．2．定义一种运算：logaN＝b（a＞0，且a≠1），如log39＝2，log327＝3，log416＝2，…，则下列各式正确的是（）A．log55＞log39＞log28 B．log39＞log28＞log55C．log28＞log39＞log55 D．log28＞log55＞log39【答案】C【详解】【解析】根据新定义运算的法则即可求出答案．根据新定义可得：log55＝1；log39＝2；log28＝3；∴log28＞log39＞log55．故选：C．3．长江是我国第一大河，它的全长约为6300千米，6300这个数用科学记数法表示为（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：6300=6.3×103，故选：C．【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．已知，则的值为（）A．9 B． C． D．8【答案】C【解析】根据非负数的性质求出x、y的值，代入计算即可．【详解】解：根据题意得，x-3=0，2+y=0，∴x=3，y=-2，∴yx=（-2）3=-8．故选：C．【点评】本题考查了非负数的性质．熟练掌握非负数的性质是解题的关键．5．按括号内的要求用四舍五入法取近似数，下列结果正确的是（）A．（精确到个位） B．（精确到十分位）C．（精确到0.1） D．（精确到0.0001）【答案】C【解析】根据四舍五入法、近似数的精确度定义逐项判断即可得．【详解】A、（精确到个位），此项错误，不符题意；B、（精确到十分位），此项错误，不符题意；C、（精确到0.1），此项正确，符合题意；D、（精确到0.0001），此项错误，不符题意；故选：C．【点评】本题考查了四舍五入法、近似数的精确度，熟练掌握近似数的精确度定义是解题关键．6．某商场对顾客实行优惠，规定：（1）如一次购物不超过200元，则不予折扣；（2）如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；（3）如一次购物超过500元的，其中500元按第（2）条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款168元与423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（）A．52.8元 B．510.4元 C．560.4元 D．472.8元【答案】C【解析】某人两次去购物，分别付款168元与423元，由于168＜200×0.9，故168元没有优惠；423元是优惠价格，则可求得两次购物的商品实际价格，再按照（3）中的优惠方法计算即可．【详解】解：由题意得：423÷0.9=470（元）；168+470=638（元）；500×0.9+（638-500）×0.8=450+110.4=560.4（元）．∴如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是560.4元．故选：C．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．7．如图，点A，B在数轴上对应的实数分别为m，n，则A，B间的距离是_______．（用含m，n的式子表示）【答案】【解析】根据数轴上两点间的距离公式解答．【详解】解：A，B间的距离是，故答案为：．【点评】此题考查数轴上两点间的距离公式：用两个点表示的数中的大数减去小数即可得到两点之间的距离，熟记公式是解题的关键．8．计算：＝__________；【答案】．【解析】有理数的混合运算，先做小括号里的，然后再做括号外面的．【详解】解：====故答案为：．【点评】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和运算法则，正确计算是解题关键．9．，则为______．【答案】﹣8【解析】根据绝对值的非负性和偶次方的非负性求出x、y的值，然后代入代数式中计算即可．【详解】解：∵，∴x-3=0，y+2=0，解得：x=3，y=﹣2，∴==﹣8，故答案为：﹣8．【点评】本题考查代数式求值、绝对值、乘方运算，熟练掌握绝对值和偶次方的非负性是解答的关键．10．全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科学记数法表示是_____．【答案】【详解】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．16000000=.11．在郑州抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+14，–9，+8，–7，+13，–6，+12，–5．（1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油．【答案】（1）B地位于A地的正东方向，距离A地20千米；（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处为25千米；（3）冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油．【解析】（1）将记录的数字求和即可得；（2）分别求出每一次记录时冲锋舟离出发点A的距离，再比较大小即可得；（3）将记录的数字的绝对值求和可得冲锋舟当天的航行总路程，再乘以，然后减去即可得．【详解】解：（1），，=14+8+13+12-（9+7+6+5），=47-27（千米），答：B地位于A地的正东方向，距离A地20千米；（2）第1次记录时冲锋舟离出发点A的距离为千米，第2次记录时冲锋舟离出发点A的距离为千米，第3次记录时冲锋舟离出发点A的距离为千米，第4次记录时冲锋舟离出发点A的距离为千米，第5次记录时冲锋舟离出发点A的距离为千米，第6次记录时冲锋舟离出发点A的距离为千米，第7次记录时冲锋舟离出发点A的距离为千米，第8次记录时冲锋舟离出发点A的距离为千米，∵5＜6＜13=13＜14＜19＜20＜25，由此可知，救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处为25千米；（3）冲锋舟当天航行总路程为，，（千米），则（升），答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油．【点评】本题考查了正负数在实际生活中的应用、有理数乘法与加减法的应用、绝对值的应用，有理数大小比较，依据题意，正确建立各运算式子是解题关键．12．某登山队5名队员以二号高地为基地，开始向海拔距二号高地500米的顶峰冲击，设他们向上走为正，行程记录如下（单位：米）．（1）他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？（2）登山时，5名队员在进行全程中都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气0.04升，他们共使用了氧气多少升？【答案】（1）没有，离顶峰还有170米；（2）128升【解析】（1）约定前进为正，后退为负，依题意列式求出和，再与500比较即可；（2）要消耗的氧气，需求他共走了多少路程，这与方向无关．【详解】解：（1）根据题意得：150-32-43+205-30+25-20-5+30-25+75=330米，500-330=170米．∴他们没能最终登上顶峰，离顶峰还有170米；（2）根据题意得：150+32+43+205+30+25+20+5+30+25+75=640米，640×0.04×5=128升．∴他们共使用了氧气128升．【点评】此题不但考查了正数和负数在实际生活中的应用，而且用到了有理数的加法，需同学们熟练掌握．13．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“理想有理数对”，记为，如：数对、都是“理想有理数对”.（1）数对、中是“理想有理数对”的是______；（2）若是“理想有理数对”，求a的值；（3）若是“理想有理数对”，则______“理想有理数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）；（4）请再写出一对符合条件的“理想有理数对”.（不能与题目中已有的数对重复）.【答案】（1）；（2）；（3）不是；（4）.【解析】（1）根据“理想有理数对”的定义，计算判断;（2）根据“理想有理数对”的定义列方程求解；（3）先由是“理想有理数对”得出关系式，再判断是否满足“理想有理数对”的定义；（4）根据（3）中得出的m与n的关系式，取m=6，可得到n的值.【详解】解：（1）因为，所以不是“理想有理数对”，因为，所以是“理想有理数对”.（2）因为是“理想有理数对”，所以，解得（3）因为是“理想有理数对”，所以因为，所以，所以不是“理想有理数对”（4）由（3）中是“理想有理数对”，满足取m=6，则，解得所以是“理想有理数对”.【点评】本题考查新型定义计算，读懂题意，列出正确的关系式是解题的关键.14．出租车司机李师傅从上午在厦大至会展中心的环岛路上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）（1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少千米？（2）上午李师傅开车的平均速度是多少？（3）若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则李师傅在上午一共收入多少元？【答案】（1）距离第一批乘客出发地的东方，距离是6千米；（2）43.2千米/小时；（3）128元【解析】（1）将所有数据相加得出结果后，即可作出判断；（2）将所有数据的绝对值相加，可得出路程，然后求出时间，根据速度=路程÷时间即可得出答案；（3）分别计算起步价，及超过3公里的收入，然后相加即可．【详解】解：（1）由题意得：向东为“+”，向西为“-”，则将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的距离为：（+8）+（-6）+（+3）+（-7）+（+8）+（+4）+（-7）+（-4）+（+3）+（+4）=6（千米），所以，将最后一批乘客送到目的地时，李师傅在距离第一批乘客出发地的东方，距离是6千米；（2）上午8：00～9：15李师傅开车的距离是：|+8|+|-6|+|+3|+|-7|+|+8|+|+4|+|-7|+|-4|+|+3|+|+4|=54（千米），上午8：00～9：15李师傅开车的时间是：1小时15分=1.25小时；所以，上午8：00～9：15李师傅开车的平均速度是：54÷1.25=43.2（千米/小时）；（3）一共有10位乘客，则起步费为：8×10=80（元）．超过3千米的收费总额为：[（8-3）+（6-3）+（3-3）+（7-3）+（8-3）+（4-3）+（7-3）+（4-3）+（3-3）+（4-3）]×2=48（元）．则李师傅在上午8：00～9：15一共收入：80+48=128（元）．【点评】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．15．求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方.如：2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”.(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)④，读作“-3的圈4次方”.一般地，把（a≠0）记作，记作“a的圈n次方”.(1)直接写出计算结果：2③=，(-3)⑤=，⑤=(2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈n次方等于.(3)计算24÷23+(-8)×2③.【答案】（1），，-8；（2）它的倒数的n-2次方；（3）－1.【解析】（1）根据题中的新定义计算即可得到结果；（2）归纳总结得到规律即可；（3）利用得出的结论计算即可得到结果．【详解】（1）2③=2÷2÷2=，(-3)⑤=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=，⑤=÷÷÷÷=-8，故答案为，，﹣8；（2）===，故答案为这个数倒数的（n﹣2）次方；（3）24÷23+（﹣8）×2③=24÷8+（﹣8）×=3+（﹣4）=﹣1．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的最佳值．例如，对于数列2，-1，3，因为|2|=2，=，=，所以数列2，-1，3的最佳值为．东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列-1，2，3的最佳值为；数列3，-1，2的最佳值为1；…．经过研究，东东发现，对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：（1）数列-4，-3，1的最佳值为（2）将“-4，-3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为，取得最佳值最小值的数列为（写出一个即可）；（3）将2，-9，a（a＞1）这三个数按