期末模拟预测卷01（解析版）

2022-2023学年高一数学下学期期末模拟预测卷01考生注意：1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）已知i是虚数单位，若＝a+bi（a，b∈R），则lg（a+b）的值为0．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算求出a，b，再求出lg（a+b）的值．【解答】解：＝＝a+bi，则，b＝，故lg（a+b）＝．故答案为：0．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．2．（3分）已知向量，则＝．【分析】根据平面向量的坐标运算与模长公式，计算即可．【解答】解：向量，则2+＝（1，4），所以＝12+42＝17，所以＝．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与模长计算问题，是基础题．3．（3分）若扇形的周长是8cm，面积4cm2，则扇形的圆心角为2rad．【分析】设扇形的圆心角为α，半径为R，则根据弧长公式和面积公式有，故可求扇形的圆心角．【解答】解：设扇形的圆心角为α，半径为R，则⇒．故答案为：2．【点评】本题主要考查了弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．4．（3分）已知A（1，3）、B（4，1）和C（a+1，﹣3）三点共线，则实数a＝9．【分析】利用共线向量即可解出．【解答】解：由题意可知，∴（3，﹣2）＝λ（a，﹣6），∴，∴a＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了三点共线，学生的数学运算能力，属于基础题．5．（3分）已知平面向量、满足||＝5，||＝1，•＝3，向量＝λ⋅+（1﹣λ）•（λ∈R），且对任意λ∈R，总有|+k|≥2成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣6]∪[4，+∞）．【分析】根据||＝5，||＝1，•＝3，求出的夹角正余弦，然后将坐标化，再结合向量＝λ⋅+（1﹣λ）•（λ∈R），可知坐标化后，它们的终点共线；最后结合|+k|的几何意义，构造出k的不等式即可．【解答】解：因为||＝5，||＝1，•＝3，令，，则，sin．不妨取．过点A（5，0），B（）的直线AB的方程为：，即AB：2x+11y﹣10＝0．又＝λ⋅+（1﹣λ）•（λ∈R），故对应的点C落在直线AB上，|+k|＝，其几何意义为C点到点（﹣5k，0）的距离d．对任意λ∈R，总有|+k|≥2成立，只需，dmin即为点（﹣5k，0）到直线2x+11y﹣10＝0的距离，故，即|k+1|≥5，所以k≥4，或k≤﹣6．故答案为：（﹣∞，﹣6]∪[4，+∞）．【点评】本题考查平面向量的运算、几何意义和性质，同时考查学生的运算能力，属于中档题．6．（3分）已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为．【分析】根据平面向量的数量投影定义，计算即可．【解答】解：因为、的夹角为，，所以在上的数量投影为||cos＜，＞＝cos＝×＝．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量投影计算问题，是基础题．7．（3分）i是虚数单位，则的值为．【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．【解答】解：＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．8．（3分）已知||＝1，||＝，+＝（，1），则与的夹角为．【分析】由题意可得＝＝4，代入已知数据计算可得cosθ，可得答案．【解答】解：设与的夹角为θ，∵||＝1，||＝，+＝（，1），∴＝＝4，代入数据可得1+2cosθ+3＝4，解得cosθ＝0，∴θ＝故答案为：【点评】本题考查平面性的数量积与向量的夹角，属基础题．9．（3分）函数的单调递增区间为（k∈Z）．【分析】根据正切型三角函数单调区间的求法求得正确答案．【解答】解：由，解得，所以函数的单调递增区间为（k∈Z）．故答案为：（k∈Z）．【点评】本题主要考查了正切函数单调性的应用，属于基础题．10．（3分）已知复数z满足|z﹣1﹣i|＝2，则|z|的最大值为2+．【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．【解答】解：由|z﹣1﹣i|＝2可知，z在复平面内对应的点在以（1，1）为圆心，2为半径的圆上，而|z|表示z对应的点到原点的距离，所以|z|的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的几何意义，考查转化能力，属于基础题．11．（3分）函数的图像的两条相邻对称轴间的距离为．【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：函数＝﹣2sin（3x﹣），故T＝，所以函数的图像的两条相邻对称轴间的距离为．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12．（3分）已知向量，，且，则＝4．【分析】利用向量的模求解m，然后求解向量的数量积即可．【解答】解：向量，，且，可得＝1，解得m＝0，则＝0×3+（﹣1）×（﹣4）＝4．故答案为：4．【点评】本题考查向量的数量积的求法，向量的模的求法，是基础题．二．选择题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）的虚部为（）A．3 B．﹣3 C．3i D．﹣3i【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出虚部即可．【解答】解：∵＝＝＝（1+i）（﹣1﹣2i）＝1﹣3i，∴的虚部为﹣3，故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数虚部的概念，是基础题．14．（4分）下列命题：①设非零向量，若，则向量与的夹角为锐角；②若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线；③若，则；④若，则．其中正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据向量的数量积的定义，向量共线的定义，相等向量的定义即可求解．【解答】解：对于①，若同向时，满足，但夹角为0°，不是锐角，∴①错误；对于②，若AB与CD是平行四边形两对边，则与共线，但A，B，C，D不共线，∴②错误；对于③，若是零向量，则，此时无法确定，∴③错误；对于④，若，则方向相同，模长相等，所以，∴④正确．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的定义，向量共线的定义，相等向量的定义，属基础题．15．（4分）已知P1（2，﹣1），P2（0，5），点P在P1P2的延长线上，且||＝3||，则点P的坐标为（）A．（1，2） B．（，3） C．（，3） D．（﹣1，8）【分析】设出点P的坐标，根据题意得出＝﹣3，利用向量相等对应坐标相等列出方程组，即可求出点P的坐标．【解答】解：设点P（x，y），由P在P1P2的延长线上，且||＝3||，得：＝﹣3，如图所示，又＝（x﹣2，y+1），＝（﹣x，5﹣y），∴，解得，∴点P的坐标为（﹣1，8）．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与向量相等的应用问题，是基础题目．16．（4分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则（﹣）•（+）的最小值是（）A．﹣1 B．﹣ C．﹣2 D．﹣【分析】建立坐标系，设P（x，y），得出（﹣）•（+）关于x，y的表达式，配方即可得出结论．【解答】解：以BC为x轴，以BC边上的高为y轴建立坐标系，则A（0，），设P（x，y），则+＝2＝（﹣2x，﹣2y），（﹣）＝＝（﹣x，﹣y），∴（﹣）•（+）＝2x2+2y2﹣2y＝2x2+2（y﹣）2﹣，∴当x＝0，y＝时，（﹣）•（+）取得最小值﹣，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分48分）17．（6分）已知向量，，且，若．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求向量的夹角θ的大小．【分析】（I）先求出的坐标，然后根据两向量垂直的坐标关系建立等式，从而可求出m的值；（II）根据（I）先求出向量的坐标，然后根据向量的夹角公式进行求解即可．【解答】解：（I）由已知得，＝（2﹣m，m﹣2），且m≠2又则即（2﹣m）×1+（m﹣2）×m＝0解得m＝1或m＝2（舍去）∴m＝1（II）由（I）得＝（1，1），＝（0，2）∴cosθ＝＝＝又θ∈[0，π]∴θ＝【点评】本题主要考查了利用数量积判定两向量的垂直关系，以及数量积表示两个向量的夹角，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．18．（8分）已知复数z和它的共轭复数满足2z+＝3+2i．（1）求z；（2）若z是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，求复数的模．【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数相等的条件，即可求解．（2）根据已知条件，结合韦达定理，求出p，q，再结合复数的四则运算，即可求解．【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），则，＝2（a+bi）+（a﹣bi）＝3a+bi＝3+2i，所以，解得a＝1，b＝2，故z＝1+2i．（2）∵z是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，∴是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的另一个根，∴，解得p＝﹣2，q＝5，∴||＝||＝∴复数的模为．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数相等的条件，属于基础题．19．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知•＝3•．（Ⅰ）求证tanB＝3tanA；（Ⅱ）若a2+b2﹣c2＝ab，求角A的大小．【分析】（Ⅰ）记AB＝c，AC＝b，BC＝a由已知•＝3•，可得bccosA＝3cacosB由正弦定理化简得tanB＝3tanA；（Ⅱ）由余弦定理和已知得：cosC＝，即可求出1+tan2C＝5解得tanC＝2（tanC＝﹣2舍去）结合（Ⅰ）即可求得角A的大小．【解答】解（Ⅰ）记AB＝c，AC＝b，BC＝a∵•＝3•．∴bccosA＝3cacosB∴bcosA＝3acosB由正弦定理得：sinBcosA＝3sinAcosB∴∴tanB＝3tanA．（Ⅱ）∵由余弦定理得：cosC＝∴1+tan2C＝5∴tanC＝2（tanC＝﹣2舍去）tanC＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝＝2解得：tanA＝﹣（舍去），或tanA＝1∴A＝．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，平面向量数量积的运算，考察了计算能力，属于中档题．20．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递减区间．【分析】（1）利用周期公式直接代入求解即可；（2）利用整体代换法求单调递减区间即可．【解答】解：（1）∵，∴；（2）∵函数y＝cosx的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]（k∈Z），令，k∈Z，解得：，k∈Z，∴函数f（x）的单调递减区间为．【点评】本题考查了余弦函数的周期性以及单调性，考查了学生的运算能力，属于基础题．21．（12分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°（1）若PB＝1，求PA；（2）若∠APB＝120°，设∠PBA＝α，求tanα的值．【分析】