9.4 完全平方公式 苏科版七年级数学下册精讲精练巩固篇(含答案)

专题9.15完全平方公式（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．下列式子正确的是（

）A． B．C． D．2．已知，那么x2+y2的值为（）A．13 B．7 C．6 D．53．已知，，则代数式的值为（

）A．8 B． C．9 D．4．若的值为，则的值为（

）A． B． C． D．5．若，则的值是（

）A．－3 B．3 C．6 D．96．已知（x－2021）2+（x－2023）2＝50，则（x－2022）2的值为（

）A．24 B．23 C．22 D．无法确定7．若是完全平方式，且，则（

）A． B．或27 C．27或 D．或8．如图，两个正方形边长分别为a，b，已知，，则阴影部分的面积为（）A．10 B．11 C．12 D．139．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为(

)A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b10．观察下列各式及其展开式：请你猜想的展开式第三项的系数是（

）；；；；A． B． C． D．二、填空题11．计算：_____．12．已知，则=_____________13．若，，则__．14．若代数式可化为，则的值是________．15．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为=ad－bc.则二阶行列式的值为___.16．若，，则的值为______．17．已知代数式可以利用完全平方公式变形为，进而可知的最小值是．依此方法，代数式的最小值是________________．18．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，则＋＝_______；当＋＝40时，则图3中阴影部分的面积_________．三、解答题19．已知（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9．求a2﹣6ab+b2．20．用乘法公式简便计算：(1)； (2)．21．运用乘法公式计算：（1）； （2）；（3）； （4）．22．已知，求的值．23．乘法公式的探究及应用：数学活动课上罗老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)观察图2，请写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______．(2)根据（1）中的数量关系，解决如下问题：①已知，，求的值．②类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．24．用等号或不等号填空，探究规律并解决问题：(1)比较a2+b2与2ab的大小：①当a＝3，b＝3时，a2+b22ab；②当a＝2，b＝时，a2+b22ab；③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2ab．通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想；如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB，BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD，BEFG，连接CG，设两个正方形的面积分别为S1，S2，若三角形BCG的面积为1，求S1+S2的最小值．参考答案1．D【分析】根据乘法公式进行计算和判断．解：A、(x+3y)(x−3y)=x2−9y2，故原选项错误；B、(a−b)2=a2−2ab+b2，故原选项错误；C、(a+b)2=a2+2ab+b2，故原选项错误；D、由A项解答可得a2−9b2=(a+3b)(a−3b)，故原选项正确；故选D．【点拨】本题考查乘法公式的应用，熟练掌握乘法公式的展开形式及逆用是解题关键．2．D【分析】先把所求式子变形为完全平方式，再将题中已知条件代入计算即可．解：∵，∴，∴．故选：D．【点拨】本题主要考查了完全平方公式变形式求值，观察发现式子的变形前后的相等关系是解答本题的关键．3．D【分析】先求出m、n的值，然后代入计算，即可求出答案．解：根据题意，∵，，∴，，∴====；故选：D【点拨】本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算．4．B【分析】把进行完全平方，展开计算的值即可.解：∵=1，∴=1，∴-2=1，∴=3，∴=8，故选B.【点拨】本题考查了完全平方公式的展开计算，熟练运用完全平方公式是解题的关键.5．D【分析】把变形为，代入得到，根据非负数的性质求出a、b、c的值即可解答．解：∵，∴，把代入中得：，∴，即，∵，∴，即，∴，∴；故选：D．【点拨】本题考查完全平方公式的构造和非负数的性质，准确地对式子变形构造完全平方公式是解题的关键．6．A【分析】先变形为[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，然后利用完全平方公式展开即可得到（x-2022）2的值．解：∵（x-2021）2+（x-2023）2=50，∴[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，∴（x-2022）2+2（x-2022）+1+（x-2022）2-2（x-2022）+1=50，∴（x-2022）2=24．故选：A．【点拨】此题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是能根据完全平方公式灵活变形．7．D【分析】根据完全平方式得出2（b−1）x＝±2•x•2，求出b值即可．解：∵x2＋2（b−1）x＋4是完全平方式，∴2（b−1）x＝±2•x•2，解得：b＝3或−1，当b=3时，，当b=-1时，，故选：D．【点拨】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2＋2ab＋b2或a2−2ab＋b2，也考查了负整数指数幂.8．B【分析】根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为a的等腰直角三角形面积，再减去边长为和b的直角三角形面积，即可得，根据完全平方公式的变式应用可得，代入计算即可得出答案．解：根据题意可得，∵，，∴，故选：B．【点拨】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．9．A【分析】4张边长为a的正方形卡片的面积为4a2，4张边长分别为a、b的矩形卡片的面积为4ab，1张边长为b的正方形卡片面积为b2，9张卡片拼成一个正方形的总面积=4a2+4ab+b2=(2a+b)2，所以该正方形的边长为：2a+b．解：设拼成后大正方形的边长为x，∴4a2+4ab+b2=x2，∴(2a+b)2=x2，∴该正方形的边长为：2a+b.故选A.【点拨】本题主要考查了完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长．10．C【分析】根据题意得出次幂展开项的系数规律，分别表示出的展开式，得到所求即可．解：∵；；；；得到，则的展开式第三项的系数是，故选：C．【点拨】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．【分析】运用完全平方公式展开，即可完成解答.解：【点拨】本题考查了平方差公式，即；灵活运用该公式是解答本题的关键.12．14【分析】首先观察题目的条件和所求的问题，可以发现利用完全平方公式就可以计算得出答案．解：∵∴又∵∴∴即故答案为：14．【点拨】此题主要考查了完全平方公式的应用，正确运用公式是解题关键．这类题目比较特殊，通过观察所要求的答案和已知条件可以发现，是前后两项进行平方的结果，且采用完全平方来进行计算时，两项相乘可将未知项约去．13．7【分析】直接利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得到a+b的值，利用幂的乘方，底数不变指数相乘，得到ab的值，再将原式进行变形，代入数值后即可求解．解：，，，，．故答案为：7．【点拨】本题考查了整式的同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、完全平方公式的变形等内容，解决本题的关键是牢记公式，并灵活运用即可．14．5解：，根据题意得，，解得=3，b=8,那么=5.15．1解：由题意可得：===.故答案为1.16．【分析】根据求出的值，再利用完全平方和公式求出2xy的值，根据、2xy求得的值，进一步求得．解：∵，∴，又∵，∴，则，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了利用完全平方公式变形求值，利用展开式求得2xy的值是解题的关键．17．【分析】由题目中提供的方法把前两项凑成一个完全平方式即可求得最小值．解：所以代数式的最小值是1；故答案为：1【点拨】本题考查了完全平方公式，根据二次项与一次项凑成完全平方式是本题的关键．18．

34

20【分析】①分别用代数式表示出和，利用完全平方公式的变形化简，即可求得；②利用两个正方形的面积减去2个三角形的面积即得,运用①中的结论，即可求得．解：①，＋＝＋＝②＋＝=40，故答案为：34；20．【点拨】本题考查了完全平方公式，几何图形的面积，整式的乘法，熟悉完全平方公式是解题的关键．19．﹣7【分析】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，可得a2﹣6ab+b2＝（a﹣b）2﹣4ab，（a﹣b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝16，据此计算即可．解：因为（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9，所以（a﹣b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝16，所以a2﹣6ab+b2＝（a﹣b）2﹣4ab＝9﹣16＝﹣7．【点拨】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．20．(1)(2)【分析】（1）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；（2）原式变形后，利用完全平方公式计算即可求出值．（1）解：原式；（2）解：原式．【点拨】本题考查了平方差公式和完全平方公式，理解和掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．21．（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）根据平方差公式，可得答案；（2）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案；（3）根据完全平方公式，可得答案；（4）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案．解：（1）原式＝[（3x−5）＋（2x＋7）][（3x−5）−（2x＋7）]＝（3x−5＋2x＋7）（3x−5−2x−7）＝（5x＋2）（x−12）＝；（2）原式＝[（x＋y）＋1][（x＋y）−1]＝−1＝；（3）原式＝＝−6（2x−y）＋9＝；（4）原式＝＝．【点拨】本题考查了完全平方公式，利用了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解题关键．22．-22【分析】首先根据，可得，据此求出a、b的值各是多少；然后去括号，合并同类项，将代数式[（2a＋b）2−（2a−b）（a＋b）−2（a−2b）（a＋2b）]化为最简式，再把a、b的值代入即可．解：∵，∴，∴，，解得，∴．【点拨】本题考查了配方法的应用，整式的混合运算−化简求值，要熟练掌握，解题关键是要明确：给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．23．(1)(2)①；②这个长方形的面积为【分析】（1）由图形得出完全平方公式即可；（2）①，根据完全平方公式计算出的值即可；②，利用①的结论即可．解：（1）由图2可知，大正方形的边长为，即大正方形的面积为，因大正方形由1个边长为和1个边长为的正方形及2个长为、宽为的长方形构成，由此可得：．故答案为：；（2）①：由可得：，将，代入得：，解得：；②：令，，则，，仿照可得：，，即，故这个长方形的面积为．【点拨】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式并灵活运用、，之间的关系是解题的关键．24．(1)①；②；③(2)；理由见分析(3)的最小值为4【分析】（1）代入计算得出答案；（2）根据（1）的结果，得出结论；（3）由题意可知ab＝2，S1＋S2＝a2＋b2，而a2＋b2≥2ab，进而得出答案．(1)解：①把a＝3，b＝3代入，a2＋b2＝9＋9＝18，2ab＝2×3×3＝18，∴a2＋b2＝2ab；故答案为：＝；②把a＝2，b＝代入，a2＋b2＝4＋＝，2ab＝2×2×＝2，∴a2＋b2＞2ab；故答