第03讲 空间直线、平面的平行 高频考点-精讲（解析版）备战2024年高考数学一轮复习精讲精练（艺考生基础版）

第第页第03讲空间直线、平面的平行(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定角度2：直线与平面平行的性质题型二：平面与平面平行的判定与性质角度1：平面与平面平行的判定角度2：平面与平面平行的性质题型三：平行关系的综合应用第一部分：知第一部分：知识点精准记忆知识点一：直线与平面平行1、直线与平面平行的定义直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行.2、直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号表述：3、直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：，，知识点二：平面与平面平行1、平面与平面平行的定义两个平面没有公共点2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.符号表述：3、平面与平面平行的性质定理3.1性质定理两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.符号语言3.2性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面符号语言：第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）在三棱锥中，点，分别在上．若，则直线与平面的位置关系为（

）A．平行 B．相交 C．平面 D．不能确定【答案】A【详解】因为，所以．又平面平面，所以平面．故选：A例题2．（2022·山东·广饶一中高二阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面.【答案】答案表述不唯一)【详解】连接交于O，连接OE，平面平面，平面平面，.又底面为平行四边形，为对角线与的交点，故为的中点,为的中点，故当满足条件:时，面.故答案为:答案表述不唯一)例题3．（2022·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，与截面的位置关系是____________，与平面的位置关系是____________．【答案】

相交

平行【详解】与截面相交，由题意得，而平面，平面，所以平面．故答案为：相交，平行例题4．（2022·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，与交于点，求证：(1)直线平面；(2)直线平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析（1）证明：直线在平面外，因为，所以四边形是平行四边形，所以，而是平面内的直线，根据判定定理可知，直线平面．（2）证明：如图，连接BD，交AC于O，连接，易知，则四边形是平行四边形，所以，所以在平面上，根据判定定理可知，平面．题型归类练1．（2022·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，为棱的中点，找出可以推导出//平面的那条直线，并在图中画出该直线．【答案】答案见解析【详解】连接交于，并连接，如图，为所求直线，证明如下：，故为中位线，故//，又平面，平面，根据线面平行的判定，//平面.2．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG．【答案】证明见解析【详解】证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，∴．∵平面BCHG，平面BCHG，∴平面BCHG．∵，且∴四边形是平行四边形，∴．∵平面BCHG，平面BCHG，∴平面BCHG．∵，∴平面平面BCHG．3．（2022·全国·高二专题练习）已知长方体，求证：平面【答案】证明见解析【详解】在长方体中，，又平面，平面，所以平面4．（2022·全国·高二课时练习）如图，几何体的底面ABCD为平行四边形，点M为PC中点，证明：平面BDM．【答案】证明见解析【详解】证明：连接AC交BD于点O，因为底面ABCD为平行四边形，所以O为AC中点，在△PAC中，又M为PC中点，所以OM∥PA，又PA⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以PA∥平面BDM．角度2：直线与平面平行的性质典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）若直线平面，，且直线与点位于的两侧，，，，分别交平面于点，，若，，，则的长为（

）A．3 B． C． D．【答案】B【详解】∵，平面，平面，∴，∴，即，∴.故选：B.例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知、、、四点不共面，且平面，，，，，，则四边形是______四边形．【答案】平行【详解】由题，平面平面，因为平面，所以，又平面平面，所以，则，同理，所以四边形EFHG是平行四边形，故答案为：平行例题3．（2022·全国·高三专题练习）如图1，在矩形中，点E在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2．若点在棱上，且平面，求；【答案】【详解】如图，在上取点，使得，连接，，则．因为平面，平面平面，平面，所以，所以四边形是平行四边形，所以．因为，所以∽，又因为，所以．例题4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的点．若平面，求的值；【答案】．【详解】连接，交于点，连接；平面，平面，平面平面，，；，，，，即的值为．例题5．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）.求证：；【答案】证明见解析【详解】证明：在梯形中，，平面，平面，平面.又平面，平面平面，所以.题型归类练1．（2022·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（

）A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能【答案】B【详解】∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC=PA，∴MN∥PA.故选：B2．（2022·福建泉州·高一期中）如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.【答案】【详解】∵MN//平面ABCD，平面PMNQ∩平面ABCD＝PQ，MN⊂平面PQNM，∴MN//PQ，易知DP＝DQ＝，故PQ＝.故答案为：3．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，设平面与平面的公共直线为l.写出图中与l平行的直线，并证明。【答案】图中与l平行的直线为和，证明见解析【详解】图中与l平行的直线为和，因为底面为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面与平面的交线l，平面，所以，即，进一步由平行线的传递性得，；故图中与l平行的直线为和4．（2022·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱中，，，是边的中点，过作截面交于点．求证：；【答案】证明见解析【详解】证明：如图，在直三棱锥中，因为平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.5．（2022·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上．若平面，则线段EF的长度等于______，平面内与EF平行的线段是______．【答案】

【详解】在正方体中，，∴．又E为AD的中点，平面，平面，平面平面，∴，∴为的中点，∴．∵，∴．故答案为：，题型二：平面与平面平行的判定与性质角度1：平面与平面平行的判定典型例题例题1．（2022·新疆·和硕县高级中学高一期中）如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点、、分别是、、的中点.求证：(1)平面；(2)平面平面．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析﹒（1）由题意，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点，∴N是AC的中点，∴，∵平面PCD，平面PCD，∴平面PCD；（2）由(1)知，平面PBC，平面PBC，∴MN∥平面PBC，∵ABCD为平行四边形，∴N是BD中点，又∵Q是PD中点，∴在△PBD中，NQ∥PB，∵PB平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC，∵MN∩NQ=N，MN、NQ平面MNQ，∴平面平面PBC．例题2．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知点在平面外，、、分别是、、的中点．求证：平面平面．【答案】证明见解析【详解】∵、、分别是、、的中点，∴，∥,又∵平面，平面，平面，平面∴平面，平面，∵，∴平面平面．例题3．（2022·全国·高一课时练习）如图，在长方体中，，，，分别为的中点，求证：平面平面．【答案】证明见解析【详解】因为E是的中点，Q是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以．又因为平面平面，所以平面．又因为F是的中点，所以，因为平面平面，所以平面．因为平面平面，所以平面平面．题型归类练1．（2022·江苏·高一课时练习）如图所示，在三棱柱中，、分别为，的中点，求证：平面平面.【答案】证明见解析【详解】证明：在三棱柱中，四边形、为平行四边形，又、分别为，的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，连接、，，再连接，由四边形为平行四边形，所以为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点.求证：平面平面BDF【答案】证明见解析【详解】证明：在正方体中，E，F分别为棱的中点，所以.因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以又平面BDF，平面BDF，所以平面.同理，，又平面BDF，平面BDF，所以平面.又，平面，所以平面平面3．（2022·全国·高二课时练习）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，且，过点M作于点H．求证：平面平面BCE．【答案】证明见解析【详解】证明：因为正方形中，，所以，则，因为平面，所以平面BCE因为，，所以，所以，所以，因为平面，则平面BCE因为平面，平面，，所以平面平面BCE角度2：平面与平面平行的性质典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知平面平面，点为，外一点，直线，分别与，相交于，和，，则与的位置关系为（

）A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面【答案】A【详解】解：由题意知，，，，在同一平面内，且平面平面，平面平面，且，∴，故选：A．例题2．（2022·全国·高一课时练习）如图，空间图形是三棱台，在点中取3个点确定平面，平面，且，则所取的这3个点可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由空间图形是三棱台，可得平面平面，当平面为平面，平面平面时，又平面平面，所以由面面平行的性质定理可知，所以选项C符合要求.故选：C．例题3．（2022·全国·高三专题练习）如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则______．【答案】【详解】由题意，平面平面，所在的平面与，分别交于和，根据面面平行的性质，可得，所以，因为，，，所以.故答案为：.例题4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点．求证：平面；【答案】证明见解析【详解】取的中点为，连接，由三棱柱可得四边形为平行四边形，，则，又平面，平面，故平面，，则，同理可得平面，而，平面，故平面平面，又平面，故平面例题5．（2022·全国·高一课时练习）如图①，在直角梯形中，，，，为的中点，，，分别为，，的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证:在四棱锥中，平面.【答案】证明见解析.【详解】在四棱锥P-ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，∴EFCD.∵ABCD，∴EFAB.∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF平面PAB.同理EG平面PAB.又EF∩EG=E，∴平面EFG平面PAB.∵AP⊂平面PAB，∴AP平面EFG.题型归类练1．（2022·山东·高密三中高二开学考试）已知平面平面，点P是平面，外一点（如图所示），且直线，分别与，相交于点A，B，C，D，若，，，则______．【答案】##3.75【详解】解：因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以，即，所以，故答案为：2．（2022·全国·高三专题练习）四棱锥的底面是边长为2的菱形，，底面，，，分别是，的中点．已知，若平面平面，求的值；【答案】．【详解】若面面，面面，面面，由面面平行的性质定理知：，于是，由为的中点知：为的中点，故，所以．3．（2022·全国·高一）如图，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且，且，DG⊥平面ABCD，，若M为的中点，N为的中点，求证：MN//平面．【答案】证明见解析【详解】证明：设H是DG的中点，连接NH，MH，由于M是CF的中点，所以MH∥CD，由于MH平面CDE，CD⊂平面CDE，所以MH∥平面CDE．由于N是EG的中点，所以NH∥DE，由于由于NH平面CDE，DE⊂平面CDE，所以NH∥平面CDE．由于NH⋂MH＝H，平面，所以平面MNH∥平面CDE，由于MN⊂平面MNH，所以MN∥平面CDE．4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，、、分别为线段、、的中点，证明：直线平面.【答案】证明见解析【详解】如图，连接、，与相交于点，连接，因为，，为线段的中点，，所以四边形为矩形，为的中点，因为为的中点，所以为的中位线，，因为平面，平面，所以平面，因为、分别为线段、的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面，，所以平面平面，因为平面，所以平面.5．（2022·全国·高一课时练习）如图，在三棱柱中，点，分别为，上的动点，若平面平面，请问是否为定值.若为定值求出该值，若不是定值，说明理由.【答案】是定值1，理由见解析.【详解】解：如图，连接交于点，连接，由棱柱的性质，可知四边形为平行四边形，所以为的中点，因为平面∥平面，且平面平面，平面平面，所以∥，所以为线段的中点，所以，因为平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥，因为∥，所以四边形是平行四边形，所以，所以，6．（2022·安徽·合肥双凤高级中学模拟预测（文））如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，且.（1）求证：平面；（2）若点分别是棱，的中点，求证：平面.【答案】（1）见解析（2）见解析【详解】证明：（1）在四棱锥中，因为，所以.又因为四棱锥的底面是平行四边形，所以，所以.因为平面，所以平面.（2）如图，取的中点，连.在中，因为是棱的中点，所以.又平面平面，所以平面.在平行四边形中，分别是棱的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.又平面，所以平面.题型三：平行关系的综合应用典型例题例题1．（2022·湖南湘潭·高三开学考试）已知直三棱柱的侧棱和底面边长均为分别是棱上的点，且，当平面时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】过作交于，连接，因为，∴，故共面,因为平面，平面平面，平面，所以，又,∴四边形为平行四边形，又，∴，所以.故选：B．例题2．（多选）（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）如图，在直三棱柱中，，分别是棱的中点，在线段上，则下列说法中正确的有（

）A．平面B．平面C．存在点，满足D．的最小值为【答案】AD【详解】对于A，连接，分别是棱的中点，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面在平面内，所以平面，故A正确；对于B，易知，所以四点共面，又点，所以四点共面，平面，而平面，直线平面，故B不正确；对于C，以为正交基底，建立如图1所示的空间直角坐标系.则，，，，，，，若，则，，在线段延长线上，而不在线段上，故C不正确；对于D，把图1的正面和上底面展开如图2所示，连接即为所求，过做PG垂直于且与其相交于，与相交于，易得，，，，在中，，，故D正确.故选：AD例题3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，和相交于点，面面，，，．在线段上确定一点，使得面，求此时的值.【答案】点为的三等分点且，此时【详解】点为的三等分点且，此时，证明如下：连接，在直角梯形中，，，，又，，，又平面，平面，平面.题型归类练1．（多选）（2022·贵州·六盘水市第二中学高二阶段练习）如图，在三棱柱中，已知点G，H分别在，上，且GH经过的重心，点E，F分别是AB，AC的中点，且B、C、G、H四点共面，则下列结论正确的是（

）A． B．平面C． D．平面平面【答案】ABC【详解】对于A，因为平面∥平面ABC，平面平面，平面平面，所以∥，