工科基础数学第四章不定积分

不定积分本部分内容共安排12学时，

具体如下：第1,2课时：原函数与不定积分

教学目的：理解原函数与不定积分的概念；熟记基本积分公式和性质；掌握直接积分法教学重点：不定积分的概念；基本积分公式；直接积分法教学难点：不定积分的概念教学过程：1、按教材引入新课（3’）2、原函数的定义，并通过例子进行说明(5’)3、关于原函数的几个定理(10’)

原函数存在定理原函数族定理

4.不定积分的定义(7’)比较原函数与不定积分的定义，强调不定积分是“所有的”原函数，因此求不定积分时，在求得一个原函数后，千万不要忘记加上“C”。5.不定积分的几何意义(5’)6.微分运算与积分运算的关系(5’)

7.通过例、.习题巩固原函数与不定积分的概念(15’)补充：1、

2、设则8.基本积分公式(10’)要求对照基本导数公式，必须熟记。9.不定积分的性质(5’)说明：性质较少，故求不定积分虽然相当于求导的逆运算，但求积分比求导数要复杂和困难得多。10.直接积分法(30’)通过分析讲解教材中例题，明确告诉学生求不定积分时，首先，注意观察被积函数，看是不是基本积分表中的类型或它们的线性组合，若是，直接用公式和性质；若不是，常常需要根据被积函数的特征，进行某些恒等变形，转化为能够用基本积分公式或性质的形式，从而求出积分，这种积分方法就是直接积分法，它是最基本的积分方法，是学习其他积分方法的基础,必须熟练掌握；通过例子告诉学生一些常用的变形方法。课堂练习：做习题4.1的练习4（单号）。11.小结。布置作业。(5’)

第3,4课时

第一类换元积分法（凑微分法）

教学目的：掌握第一类换元积分法（凑微分法）教学重点：熟悉一些常见的凑微分类型教学难点：凑微分法教学过程：1.按教材复习引入新课，提出问题：这种方法是不是具有一般性呢？（10’）2、推出第一类换元积分公式，给出凑微分法的步骤（15’）公式告诉我们：无论为自变量，还是函数，均有，这就大大扩大了基本积分公式的使用范围。

问题：何时使用凑微分法，怎样凑微分？

基本思路：观察被积函数，一般先考虑能不能直接积分，若不行，而被积函数中含有复合函数，且其余部分可以与结合凑成复合函数中间变量的微分，则可用凑微分法。3、通过举例，归纳一些常见的凑微分类型（65’）

特别地,有;

说明：（1）仅在前面1-2例子写出换元过程，后面重点放在怎样凑微分，求积分，换元过程均不写出，要求学生在心中默记着。（2）教学方法是对同一种类型，先举2-3个例子，通过教师引导学生观察被积函数特征，归纳一种常见的凑微分，让学生先有认识，再自己做2个同类课堂练习进一步巩固，此处要补充大量例、习题，着重分析一些基本类型及相应的处理方法，启发学生总结经验，掌握其规律性；在此基础上，再做习题4.2练习1进行强化。说明：（1）仅在前面1-2例子写出换元过程，后面重点放在怎样凑微分，求积分，换元过程均不写出，要求学生在心中默记着。（2）教学方法是对同一种类型，先举2个例子，通过教师引导学生观察被积函数特征，归纳一种常见的凑微分，让学生先有认识，再自己做2个同类课堂练习进一步巩固，此处要补充大量例、习题，着重分析一些基本类型及相应的处理方法，启发学生总结经验，掌握其规律性；在此基础上，再做习题4.2练习1进行强化。

4．小结，布置作业。（10’）第5，6课时：

第一类换元积分法（凑微分法)

教学目的：熟练掌握凑微分法教学重点：凑微分法教学难点：灵活运用凑微分法求积分教学过程：1.复习已学的求不定积分方法及其所适应的基本类型，并辅以练习。（20’）2.例、习题：求下列不定积分（30’）说明：以上结论可以作为公式使用，再举2个应用公式求积分的例子.3．课堂练习：复习题4的4（1）—（14）（30’）4．求形如的积分，为后面学习有理函数积分做准备。（15’）5．小结。布置作业。（5’）第7，8课时：

第二类换元积分法教学目的：掌握第二类换元积分法教学重点：第二类换元积分法教学难点：选择适当的变量代换教学过程：1.复习已学的求不定积分方法及其所适应的基本类型，提出问题，通过求引入新课。（7’）2、给出第二类换元积分公式及第二类换元法的步骤（8’）

问题：何时用第二类换元积分法，怎样用？一般用于被积函数中含有根式，而用直接积分法和凑微分法又不能积出的情形；关键在于合理选择函数进行变量代换，把原来不易求出的积分转化为能用前面所学的方法求出的积分。3.常用第二类换元积分法求积分的两种被积函数类型

(1)被积函数中含有（20’）方法：设（换根代换法）目的：消去根式，化为有理函数的积分。通过2个例题讲清步骤，注意提醒学生被积函数中的与积分变量必须同时换为；再做课堂练习巩固。(2)被积函数中含有(30’)

方法：作三角代换目的：消去根式通过例题讲清方法、步骤，提醒学生注意：10结合三角公式选择三角代换；20被积函数中的与积分变量必须同时换；30回代时画个辅助三角形会比较方便。做课堂练习4．简介可用第二类换元积分法求积分的其他情形(10’)5．补充：

再通过例题17告诉学生求同一积分，从不同的角度考虑，可能有多种解法；求积分时应该注意根据被积函数的特征，选择适当的积分方法，能用凑微分的尽量用第一类换元法，使解题过程更简洁。(15’)6．小结。布置作业。(10’)第9，10课时：

分部积分法教学目的：熟练掌握分部积分法教学重点：分部积分法教学难点：合理选择u,v教学过程：1.复习前面所学习的积分方法及其适用的类型，提出如何求，引入新课。（10’）2.推出分部积分公式，分析分部积分法。（15’）

公式：

作用：把求转化为求，如果比易求，就起到了化难为易的目的。问题：何时用分部积分法，怎样用？

一般用于被积函数为两类函数的乘积，且用前面的方法积不出来，此时可考虑用分部积分法；关键在于合理选择u（通过例子说明），同时把被积函数中另一部分与dx结合凑成dv．原则：方便简洁．规律：反对幂三指3．结合讲解例题，体会分部积分法，指出注意事项（35’）说明：（1）每次解题前应养成观察被积函数特征，选择适当积分方法的习惯；（2）使用分部积分公式之前必须把积分写成形式；（3）同一题中，若需要可多次使用分部积分公式，但第二次使用分部积分公式时必须选择和前一次同类函数作为u；

（4）有时使用公式后等式右边也出现所求的积分，此时可如解方程一般，进行移项求得积分，注意右边不要忘记加上C；（5）有时求积分需要综合运用换元积分法和分部积分法。4．课堂练习习题4.3的1（单号），2（30’）5．小结，布置作业。（10’）第11，12课时：

有理函数的积分举例习题课教学目的：会求简单的有理函数的积分掌握各积分方法教学重点：有理函数的积分求积分的基本方法教学难点：有理函数的分解积分方法的灵活运用教学过程：1．有理函数的概念（5’）2．有理函数的分解——部分分式法（只提出结论，不加证明，通过例题把方法讲清）（15’）3．有理函数的积分举例（15’）（1）给出求有理函数积分的步骤（2）举例4．课堂练习（15’）

5．几点说明：（10’）

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