第04讲 空间直线、平面的垂直 高频考点-精讲（解析版）备战2024年高考数学一轮复习精讲精练（艺考生基础版）

第第页第04讲空间直线、平面的垂直(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析题型一：直线、平面垂直的判定与性质题型二：平面与平面垂直的判定与性质题型三：平行、垂直关系的综合应用题型四：几何法求线面角题型五：几何法求二面角第一部分：知第一部分：知识点精准记忆知识点一：直线与平面垂直1、直线和平面垂直的定义如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.符号语言：对于任意，都有.2、直线和平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.简记：线线垂直线面垂直符号语言：，，，，3、直线和平面垂直的性质定理3.1定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线.符合语言：，.3.2性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.符合语言：，知识点二：直线与平面所成角1、直线与平面所成角定义如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.说明：①为斜线②与的交点为斜足③直线为在平面上的射影④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时：⑥直线与平面所成角取值范围：.2、直线与平面所成角的求解步骤①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；③算：一般借助三角形的相关知识计算.知识点三：二面角1、二面角定义（1）定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．（2）符号语言：①二面角.②在,内分别取两点，(,),可记作二面角;③当棱记作时，可记作二面角或者二面角.2、二面角的平面角（1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.（2）说明：①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时，⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角.3、二面角的平面角的取值范围：4、二面角平面角求法（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.（2）三垂线定理及其逆定理①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.(4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）.(5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法知识点四：平面与平面垂直1、平面与平面垂直的定义（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.（2）符号语言:（3）图形语言2、平面与平面垂直的判定（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)（2）符号（图形）语言:，3、平面与平面垂直的性质定理（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(2)符号（图形）语言：，，.第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析题型一：直线、平面垂直的判定与性质典型例题例题1．（多选）（2022·全国·高一课时练习）下列条件中能推出的有（

）A．直线与平面内一个三角形的两边垂直 B．直线与平面内一个梯形的两边垂直C．直线与平面内无数条直线垂直 D．直线与平面内任意一条直线垂直【答案】AD【详解】由线面垂直的判定定理知AD正确，对于B，当梯形的两边平行时，不能推出，对于C，当无数条直线相互平行时，不能推出，故选：AD例题2．（2022·全国·高一课时练习）如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．【答案】证明见解析.【详解】∵在中，D是AB的中点，，∴,∵E是PB的中点，D是AB的中点，∴，∴，又，，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，平面，∴平面．例题3．（2022·全国·高一课时练习）在正三棱柱中，如图所示，，，，分别是，，的中点，求证：直线直线．【答案】证明见解析【详解】证明：连接．在三角形中，G是的中点，所以．因为平面，平面，所以，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，又因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，所以所以直线直线GB．例题4．（2022·四川遂宁·高二期末（文））如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，点在线段上且.(1)证明直线平面;(2)证明直线平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析（1）证明：连接交于点，连接,∵，,∴△∽△,即，又∵，∴∴又∵、∴

（2）∵平面，平面，∴，又∵，且是直角梯形，∴，即，∴，又∵，且平面，∴平面.例题5．（2022·山西·大同一中高一阶段练习）如图，在四面体中，平面，(1)求证：平面；(2)若，为垂足，求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.(1)由AD⊥平面PAB，面，则，又PB⊥PA，，则PB⊥平面APD；(2)由（1）及面，则面面APD，又面面APD，AG⊥PD，面APD，所以面，而面，所以AG⊥BD．例题6．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（文））如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）证：连接交于点，连接∵底面是菱形∴为的中点∵点为的中点∴∵平面，且平面∴平面（2）证：∵底面是菱形∴∵平面∴∵，∴平面平面，∴题型归类练1．（2022·全国·高一课时练习）如图，拿一张矩形纸片对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的关系是______．【答案】垂直【详解】令桌面所在的平面为，折痕所在直线为，纸片与桌面公共部分所在直线为，如图，依题意有，因，，所以，所以折痕与桌面垂直.故答案为：垂直2．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，M是菱形ABCD所在平面外一点，．求证：AC垂直于平面BDM．【答案】证明见解析.【详解】设AC交BD于点O，连接MO,因为ABCD是菱形，所以,因为，且，所以，因为MO、BD是平面BDM上的两条相交直线，所以AC垂直于平面BDM．3．（2022·湖南·高一课时练习）如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点，求证：平面EAB．【答案】见解析【详解】E，F分别是棱，的中点，在Rt△和Rt△中，，所以Rt△Rt△，所以△，因为，所以，所以，即，又因为正方体中，平面,平面，所以，和平面EAB内的两条相交直线，所以平面EAB.4．（2022·全国·高二课时练习）所有棱长均相等的三棱锥称为正四面体，如图，在正四面体A—BCD中，求证：AB⊥CD.【答案】见解析【详解】取的中点为，连接，，因为四面体为正四面体，故为等边三角形，故，同理，而，故平面，因为平面，故.5．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（文））已知正方体ABCD-的棱长为2.(1)求三棱锥的体积；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析(1)在正方体ABCD-中，易知⊥平面ABD，∴.(2)证明：在正方体中，易知，∵⊥平面ABD，平面ABD，∴.又∵，、平面，∴BD⊥平面.又平面，∴.6．（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）如图，在三棱柱中，，点是的中点.(1)求证：平面；(2)若侧面为菱形，求证：平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.（1）连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面.（2）由，而，面，所以面，又面，则，由侧面为菱形，故，又，面，故平面.7．（2022·山东德州·高一期末）如图，在圆锥PO中，AB是底面的一条直径，C为底面圆周上一点.(1)若D为AC的中点，求证：平面POD；(2)若AС=ВС，求证：РС⊥АB．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.(1)因为O，D为AB，AC的中点，所以.又因为OD平面РОD，平面POD.所以平面POD；(2)连接ОC.因为AB是底面的一条直径，所以О是AB的中点，又因为AC=BC，所以ОС⊥АB.因为PO⊥圆面O，且AB圆面О，所以РО⊥АB.因为，PO，OC平面РОC，所以АВ⊥平面POC.因为PC平面POC，所以РС⊥АB.题型二：平面与平面垂直的判定与性质典型例题例题1．（2022·山东·高密三中高二阶段练习）如图，垂直于矩形所在的平面，则图中与平面垂直的平面是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】C【详解】因为平面ABCD，平面ABCD，所以，由四边形ABCD为矩形得，因为，所以平面PAD．又平面PCD，所以平面平面PAD．故选：C例题2．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(1)证明：连接、，在平行四边形中，为、的中点，∵为中点，∴，又∵平面，平面，∴平面；(2)证明：∵，且，∴，即，∵平面，平面，∴，∵，、平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面.例题3．（2022·全国·高三专题练习）如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，在侧棱上，且，求证：平面平面；【答案】证明见解析【详解】在正三棱柱中，平面，平面，则.是棱的中点，为正三角形，则.，平面，平面，.又，，，，，，则和相似，故，，则有，故.，平面，且平面，平面平面.例题4．（2022·江苏·无锡市第一中学高一阶段练习）在四棱锥中，锐角三角形所在平面垂直于平面，，．(1)求证：平面；(2)平面平面．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【详解】（1）四边形ABCD中，因为AB⊥AD，AB⊥BC，所以，BC∥AD，BC在平面PAD外，所以，BC∥平面PAD（2）作DE⊥PA于E，因为平面PAD⊥平面PAB，而平面PAD∩平面PAB＝PA，所以，DE⊥平面PAB，所以，DE⊥AB，又AD⊥AB，DE∩AD＝D所以，AB⊥平面PAD，AB在平面ABCD内所以，平面PAD⊥平面ABCD.例题5．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，底面是矩形，侧面底面，是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【详解】（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC，又AD平面PBC，BC平面PBC，∴AD∥平面PBC；（2）证明：∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥AD，又∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD平面ABCD＝AD，AB平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.例题6．（2022·天津市第一中学滨海学校高一阶段练习）如图，在棱长都相等的正三棱柱中，，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析.(1)设G是CC1的中点，连接，因为E为B1C的中点，所以，而，所以，因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，同理可证平面ABC，因为平面，且，所以面平面ABC，而平面，所以DE平面ABC；(2)设是的中点，连接，因为E为B1C的中点，所以，而，所以，由（1）可知：面平面ABC，平面平面，平面平面，因此，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面平面ABC，而平面平面ABC，因为ABC是正三角形，是的中点，所以，因此平面，而平面，因此，而，所以，因为正三棱柱ABC－A1B1C1中棱长都相等，所以，而E分别为B1C的中点，所以，而平面BDE，，所以B1C⊥平面BDE.题型归类练1．（2022·全国·高一课时练习）空间四边形ABCD中，若，，那么有（

）A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADBC．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC【答案】D【详解】∵，，，平面，∴平面BDC．又∵AD平面ADC，∴平面平面DBC．故选：D2．（2022·四川·宁南中学高二开学考试（文））如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点．(1)求证：∥平面；(2)求证：面面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(1)连接AC，交BD于O，连接OE，在△CAP中，，∴，又∵平面BDE，平面BDE，∴∥平面BDE；(2)∵PO⊥底面ABCD，则PO⊥BD，又∵是正方形，则AC⊥BD，且，∴BD⊥平面PAC.∵平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD.3．（2022·江苏省镇江中学高二开学考试）如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，平面平面.求证：（1）∥平面；（2）平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）∵别为棱的中点，∴MN∥BC又平面，∴∥平面.（2）∵，点为棱的中点，∴，又平面平面，平面平面，∴平面.∵平面，∴平面平面.4．（2022·江苏·高一课时练习）如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求证：AD⊥平面PCD.【答案】证明见解析【详解】证明：在矩形ABCD中，AD⊥CD，又∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD⊂平面ABCD，根据面面垂直的性质定理得：AD⊥平面PCD.5．（2022·全国·高一）三棱柱，侧棱底面(1)若，求证平面平面(2)若平面平面，求证【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.(1)平面平面，又∵，，平面，又∵平面，∴平面平面.(2)过A作，∵平面平面，又平面平面，平面，平面，又平面，∴AD⊥BC，又∵，平面，平面，，∴平面，平面，∴.6．（2022·全国·高一）如图1，在直角梯形ABCD中，，，且.现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】证明：取中点，连结.在中，分别为的中点，所以，且.由已知，，所以，且，因此四边形是平行四边形，所以有，又因为平面，且平面，所以平面；（2）证明：在正方形中，.又因为平面平面ABCD中，且平面平面，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以.在直角梯形ABCD中，，可得.在中，，所以.所以，

，平面，平面.题型三：平行、垂直关系的综合应用典型例题例题1．（2022·宁夏·平罗中学高二阶段练习（理））如图，正方形和直角梯形不在同一个平面内，，，，，，是的中点.(1)证明：平面平面；(2)证明：平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析（1）设，连接，因为分别为，的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.因为是的中点，，所以，.因为，所以四边形是平行四边形.所以，因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面，所以平面平面.（2）因为，，因为，平面，平面，，所以平面因为平面，所以，因为四边形是正方形，所以，因为平面，平面，所以平面．例题2．（2022·江苏苏州·高一期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段上的动点，为线段的中点.(1)若为线段的中点，证明：平面平面；(2)若平面，试确定点的位置，并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)点为线段的三等分点，且靠近点处，理由见解析（1）因为底面为正方形，，所以.因为为线段中点，所以在平面中，.因为底面底面，所以.又平面平面，所以平面.因为平面，所以.又平面平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）如图，连接，交于点，连接.因为在正方形中，为线段中点，，所以，即.因为平面平面，平面平面，所以，所以，即，所以点为线段的三等分点，且靠近点处.例题3．（2022·福建·莆田一中高一期末）如图，四边形为矩形，且，，平面，，为的中点．(1)求证：；(2)若点为上的中点，证明平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析（1）证明：连接，∵为的中点，∴为等腰直角三角形，由此可得，同理，∴，即，又∵平面，且平面，∴，又∵，，平面，∴平面，又∵平面，∴．（2）证明：取、的中点、，连接、、．∵、是，的中点，中，可得且，又∵是的中点，且四边形为矩形，∴且，∴、平行且相等，可得四边形是平行四边形．∴，又∵平面，平面，∴平面．例题4．（2022·北京亦庄实验中学高一期末）如图，已知正方体，点为棱的中点.(1)证明：平面.(2)证明：.(3)在图中作出平面截正方体所得的截面图形(如需用到其它点，需用字母标记并说明位置)，并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)图形见解析，证明见解析.（1）证明：连接，交于点，连接，因为是正方形，所以为的中点，又为棱的中点，所以，平面，平面，所以平面，（2）证明：在正方体中，平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，

又平面，所以.（3）解：如图取的中点，连接、，则为平面截正方体所得的截面，证明：取的中点，连接、，因为为棱的中点所以且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，即、、、四点共面，即为平面截正方体所得的截面；题型归类练1．（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（文））如图，已知平面，，，，，E和F分别为和的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析（1）连接，由于分别是的中点，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）由于平面，，所以平面，由于平面，所以，由于是的中点，所以，由于平面，所以平面.由于平面，所以平面平面.2．（2022·云南昭通·高一期末）如图，在棱长为2的正方体中，为中点，为与的交点.(1)求三棱锥的体积；(2)证明：平面；(3)证明：平面.【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析（1）在正方体中，平面且则（2）证明：连接，在中，点分别为的中点，所以又平面平面平面；（3）证明：连接，在正方体中，在Rt中，，中，，又，平面且交于点平面.3．（2022·辽宁·鞍山市第二十四中学高二开学考试）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，与交于点O，E为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析（2）证明：∵四边形为正方形，∴，∵平面，且平面，所以，又∵平面，且，∴平面，又∵平面，∴平面平面.4．（2022·山东菏泽·高一期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，且，，.(1)若F为PA的中点，求证平面PCD(2)求证平面PCD.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析（1）取PD中点E，连接EF、EC，如图所示因为E、F分别为PD、PA中点，所以，且，又因为，且，所以且，所以四边形EFBC为平行四边形，所以，因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD（2）因为，F为PA中点，所以，则，因为，平面PCD，所以平面PCD.题型四：几何法求线面角典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在正方体中，直线与平面所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为在正方体中，平面，所以为与平面所成的角，因为为等腰直角三角形，所以，所以直线与平面所成的角为，故选：A例题2．（2022·吉林·东北师大附中高二阶段练习）设二面角的大小为，点在平面内，点在上，且，则与平面所成角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】过作于，作于，连接，，是与平面所成角，由得，又，平面，所以平面，而平面，所以，所以是二面角的平面角，所以，，，则，同理，设，又，则，，，，是锐角，所以．故选：A．例题3．（2022·上海·复旦附中高三阶段练习）四棱锥中，平面，四边形为菱形，，为的中点.(1)求证：平面平面；(2)求与平面所成的角的正切值；【答案】(1)证明见解析(2)（1）∵四边形ABCD为菱形，∴，∵，∴为等边三角形，∴，在中，E是AD中点，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵，平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，∵平面PCE，∴平面平面PAD.（2）∵平面PAD，∴斜线PC在平面内的射影为PE，即是PC与平面PAD所成角的平面角，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，在中，，在中，，∵平面PAD，平面PAD，∴，在中，，∴PC与平面PAD所成角的正切值为.例题4．（2022·浙江·宁波咸祥中学高一期末）如图，垂直于⊙所在的平面，为⊙的直径，，，，，点为线段上一动点．(1)证明：平面平面(2)当点与点重合，求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)（1）证明：因为垂直于⊙所在的平面，即平面，平面，所以，又为⊙的直径，所以，因为，所以平面，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，

所以平面平面．（2）因为，，所以，又，所以，由，得,如图，过点作∥交于点，则，可得，又，所以，所以，设点到平面的距离为，由，可得，所以解得，所以当点移动到点时，与平面所成角的正弦值为．例题5．（2022·辽宁大连·高一期末）如图，在直三棱柱中，，且，，，是棱的中点，是棱上的点，满足．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)（1）证明：因为，且，，所以;因为，所以；因为是棱的中点，所以，因为，所以；因为，，所以；在直角梯形中，，，所以.在直角三角形中，，，所以；因为，所以.由，，且，所以平面.（2）在直角三角形中，作于，如图，由等面积法可得；由直棱柱的性质可得，所以平面;因为平面，所以到平面的距离为，设直线与平面所成角为，则.题型归类练1．（2022·全国·高二单元测试）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则D1A与平面ABCD所成的角为（

）A．45° B．60° C．90° D．135°【答案】A【详解】解：依题意，如图所示，根据正方体的性质可知，平面，∴即为直线与平面所成的角，又∵，，∴为等腰直角三角形，∴，故选：A．2．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高一阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为________．【答案】【详解】连接，平面，即为直线与平面所成角，在中，，，.故答案为：.3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．(1)求证：PA⊥平面PCD；(2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)（1）证明：取棱PC的中点N，连接DN，由题意可知，DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN＝D，CD，DN⊂平面PCD，则PA⊥平面PCD；（2）连接AN，由（1）可知，DN⊥平面PAC，则∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角，因为为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，所以DN＝，又DN⊥AN，在中，sin∠DAN＝，故直线AD与平面PAC所成角的正弦值为．4．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））如图长方体中，，延长到M，N，使．(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)（1）证明：∵多面体为长方体，∴，∴，又D，C，N三点共线，且，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又平面平面，∴平面．（2）设三棱锥的高为h，的面积为，三棱锥的体积为．又三棱锥的体积为，故，又∴与平面所成角的正弦值为．5．（2022·辽宁·高一期末）如图1，在直角梯形ABCD中，，，，，E在AB上，且为边长为2的等边三角形．将沿DE折起，使得点A到点P的位置，平面平面BCDE，如图2．(1)若F为PC的中点，证明平面PDE；(2)证明：；(3)求直线BP与平面DCBE所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)(1)取PD中点G，连接GE，GF又∵F是PC中点，∴在中，，在直角梯形ABCD中，，．所以，，∴且．∴四边形GFBE为平行四边形，∴又∵面PDE，面PDE，∴平面PDE．(2)取DE中点M，连接PM，MB，MC，则，∵面面BEDC，面面，平面PDE，∴面BEDC，又面BEDC，面BEDC，∴，．在中，，则，又中，，，则，同理在中，，则，又中，，，则，，∴．(3)由（2）知面BEDC，∴为PB与平面DCBE所成角的平面角，在中，，，∴，则PB与平面DCBE所成角的大小为．题型五：几何法求二面角典型例题例题1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高二开学考试）如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，在长方体中，平面，平面，平面，所以，且，所以即为二面角的平面角，又，易得.故选：B.例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图，在矩形中，，，沿对角线把△折起，使点移到点，且在平面内的射影恰好落在上．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：在平面内的射影恰好落在上，即为在面上的射影，而，所以，∵，，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）由（1）知：，在中，有，即，∴，又，，即面，∴二面角的平面角是，∴，∴二面角的余弦值是．例题3．（2022·山东·潍坊实验中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求二面角的平面角的大小．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)（1），．．同理可证．平面．（2）由（1）知平面，平面，．∵四边形是正方形，．又，平面．又平面，∴平面平面．（3）由（1）知平面，平面，．又，平面．平面，．为二面角的平面角．在中，．∴二面角的平面角的大小为45°．例题4．（2022·湖南·隆回县教育科学研究室高一期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，与交于点O.(1)求证平面.(2)求与平面所成角的大小.(3)求二面角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)2（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD，又PAAC＝A，面PAC∴BD⊥面PAC（2）解：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA为PA与面ABCD所成角又PA＝AB＝2，∴∠PBA＝，即PB与面ABCD所成角为（3）连PO，由（1）知BD⊥面PAC，∴PO⊥BD，AO⊥BD∴∠POA为二面角P—BD—A的平面角，在Rt△PAO中PA＝2，AO＝1，tan∠POA=2，∴二面角P—BD—A的正切值为2例题