2023-2024学年河北省沧州市泊头一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年河北省沧州市泊头一中高一（下）月考数学试卷（3月份）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i是虚数单位，则的虚部为（）A．2 B．2i C．1 D．i2．已知向量，满足|+|＝2，•＝2，则|﹣|＝（）A．8 B．4 C．2 D．13．欧位在1748年给出的著名公式eiθ＝cosθ+isinθ（欧拉公式）是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e＝2.71828…，根据欧拉公式eiθ＝cosθ﹣isinθ．任何一个复数z＝r（cosθ+isinθ）都可以表示成z＝reiz的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z1＝2ei，z2＝ei，则复数z＝在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′如图所示，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（）A．AB B．AD C．BC D．AC5．已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，bc＝6，则b+c＝（）A．9 B．8 C．5 D．46．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则＝（）A． B． C． D．7．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若+＝2c，则△ABC是（）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝b＝5，c＝8，I是△ABC内切圆的圆心，若＝x+y，则x+y的值为（）A． B． C． D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）（多选）9．已知向量＝（﹣6，3），＝（2，t），则下列说法不正确的是（）A．当＝（﹣4，4）时，t＝﹣1 B．当时，t＝4 C．与夹角为钝角时，则t的取值范围为（﹣∞，4） D．当t＝2时，在上的投影向量为（多选）10．若复数z满足|z﹣1﹣i|＝1，则|z+2+3i|可能为（）A．2 B．4 C．6 D．8（多选）11．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（）A． B．在向量上的投影向量为 C．若，则P为ED的中点 D．若P在线段BC上，且，则x+y的取值范围为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，第13题第一空2分，第二空3分）12．设z∈C，且，其中i为虚数单位，则的模为．13．已知向量，，，＝；在上的投影向量的坐标为．14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．如图所示，△OBC中，点A为BC中点，点D是线段OB上靠近点B的一个三等分点，CD，OA相交于点E，设＝，＝．（1）用，表示，；（2）若＝λ，求λ．16．已知复数z＝1+i（i是虚数单位）是方程x2﹣px+q＝0的根，其中p，q是实数．（1）求p和q的值；（2）若（p+qi）•（m2+2mi）是纯虚数，求实数m的值．17．已知，，在同一平面内，且＝（1，2）．（1）若||＝3，且∥，求；（2）若||＝，且（+2）⊥（﹣），求与的夹角的余弦值．18．（17分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足b＝acosC+csinA．（1）求A的大小；（2）若cosB＝，BC＝5，＝，求CD的长．19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B+cos2C﹣cos2A＝1．（1）求A；（2）若bc＝2，设点P为△ABC的费马点，求；（3）设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|＝t|PA|，求实数t的最小值．

参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i是虚数单位，则的虚部为（）A．2 B．2i C．1 D．i【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．解：＝＝1+2i，其虚部为2．故选：A．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．2．已知向量，满足|+|＝2，•＝2，则|﹣|＝（）A．8 B．4 C．2 D．1【分析】根据数量积的运算可得到，进而求出的值，从而得出的值．解：＝＝4；∴．故选：C．【点评】考查数量积的运算，求而求的方法．3．欧位在1748年给出的著名公式eiθ＝cosθ+isinθ（欧拉公式）是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e＝2.71828…，根据欧拉公式eiθ＝cosθ﹣isinθ．任何一个复数z＝r（cosθ+isinθ）都可以表示成z＝reiz的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z1＝2ei，z2＝ei，则复数z＝在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】复数z1＝2ei＝2＝1+i，z2＝ei＝＝i，再利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解：复数z1＝2ei＝2＝1+i，z2＝ei＝＝i，则复数z＝＝＝＝﹣i在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的指数与三角函数形式、复数的运算法则几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′如图所示，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（）A．AB B．AD C．BC D．AC【分析】由斜二测画法法则知直观图△A′B′C′对应的原图形△ABC是直角三角形，由此判断出结论．解：由斜二测画法法则知，直观图△A′B′C′对应的原图形△ABC是直角三角形，其中AC是斜边，AD是直角边上的中线，所以最长的线段是AC．故选：D．【点评】本题考查了斜二测画法法则应用问题，是基础题．5．已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，bc＝6，则b+c＝（）A．9 B．8 C．5 D．4【分析】利用诱导公式、两角和的余弦公式化简已知条件，求得A，利用余弦定理求得b+c．解：∵，A+B+C＝π，∴，，∴，∵△ABC为锐角三角形，∴sinB≠0，∴．而，∴，由余弦定理可得，∴7＝b2+c2﹣6，∴b2+c2＝13，则．故选：C．【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，考查了两角和与差的三角函数公式，属于中档题．6．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则＝（）A． B． C． D．【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可．解：过F作FG⊥BC于G，不妨设BE＝3，EF＝1，则BF＝4，FC＝BE＝3，所以BC＝5，FG＝，BG＝，所以＝，＝所以＝+＝+＝+．故选B．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算及平面向量的基本定理，考查运算求解能力，属于基础题．7．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若+＝2c，则△ABC是（）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【分析】由已知及正弦定理可得：，而+≥2＝2，当且仅当sinA＝sinB时取等号，即2sinC≥2，解得∠C＝90°，A＝B，从而得解．解：∵+＝2c，∴由正弦定理可得：，而+≥2＝2，当且仅当sinA＝sinB时取等号．∴2sinC≥2，即sinC≥1，又sinC≤1，故可得：sinC＝1，∴∠C＝90°．又∵sinA＝sinB，可得A＝B，故三角形为等腰直角三角形．故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理，基本不等式的解法，正弦函数的图象和性质，属于中档题．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝b＝5，c＝8，I是△ABC内切圆的圆心，若＝x+y，则x+y的值为（）A． B． C． D．【分析】建系，根据坐标法，平面向量坐标运算，三角形内心性质，方程思想即可求解．解：如图，∵a＝b＝5，c＝8，∴△ABC内切圆的圆心I在AB边高线OC上（也是AB边上的中线），∴OA＝OB＝4，OC＝，以AB直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（﹣4，0），B（4，0），C（0，3），设△ABC内切圆的半径为r，根据等面积算法可得：，∴，解得r＝，故内心I为（0，），∴，，，∵＝x+y，∴（4，）＝x（8，0）+y（4，3），∴，∴，∴，∴x+y＝，故选：D．【点评】本题考查面向量坐标运算，三角形内心性质，方程思想，坐标法，属基础题．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）（多选）9．已知向量＝（﹣6，3），＝（2，t），则下列说法不正确的是（）A．当＝（﹣4，4）时，t＝﹣1 B．当时，t＝4 C．与夹角为钝角时，则t的取值范围为（﹣∞，4） D．当t＝2时，在上的投影向量为【分析】对于A，结合向量的坐标运算，即可求解；对于B，结合向量垂直的性质，即可求解；对于C，结合平面向量的数量积运算，以及向量共线的性质，即可求解；对于D，结合投影向量的公式，即可求解．解：＝（﹣6，3），＝（2，t），则＝（﹣4，4）＝（﹣4，3+t），即3+t＝4，解得t＝1，故A错误；当时，则（﹣6）×2+3t＝0，解得t＝4，故B正确；当与夹角为钝角时，则，解得t＜4且t≠﹣1，故t的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，4），故C错误；t＝2，则＝（﹣6，3），＝（2，2），故在上的投影向量为＝，故D错误．故选：ACD．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．（多选）10．若复数z满足|z﹣1﹣i|＝1，则|z+2+3i|可能为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】设z＝x+yi，由复数的几何意义得出复数z对应复平面的轨迹，再由距离公式结合圆的性质得|z+2+3i|的范围即可求解．解：设z＝x+yi（x，y∈R），∵|z﹣1﹣i|＝1，∴，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，表示以A（1，1）为圆心，1为半径的圆，|z+2+3i|＝|x+2+（y+3）i|＝，表示点（x，y）到点B（﹣2，﹣3）之间的距离，连接AB交圆A于点C，延长线交圆A于点D，如图所示：|BC|＝|AB|﹣1＝5﹣1＝4，|BD|＝|AB|+1＝6，即|z+2+3i|∈[4，6]，观察四个选项可知，|z+2+3i|可能为4，6．故选：BC．【点评】本题主要考查了复数的几何意义，考查了两点间距离公式的应用，属于中档题．（多选）11．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（）A． B．在向量上的投影向量为 C．若，则P为ED的中点 D．若P在线段BC上，且，则x+y的取值范围为【分析】以AE所在直线为y轴，GC所在直线为x轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A错误，投影向量为，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，，D正确，得到答案．解：如图所示：以AE所在直线为y轴，GC所在直线为x轴建立直角坐标系，设OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF＝OG＝OH＝a，则，整理得到，，G（﹣a，0），，设P（x0，y0），对选项A：，，，错误；对选项B：，，，即投影向量为，正确；对选项C：，，，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；对选项D：，，，，，整理得到，，故，正确．故选：BD．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，第13题第一空2分，第二空3分）12．设z∈C，且，其中i为虚数单位，则的模为．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．解：，则z（1﹣i）＝2+2i，即z＝，故．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．13．已知向量，，，＝；在上的投影向量的坐标为．【分析】由条件结合向量的模的坐标表示求，根据向量的模与数量积的关系由条件求，再由投影向量的定义求在上的投影向量的坐标．解：因为，所以，由可得，所以，即，所以，所以在上的投影向量为．故在上的投影向量的坐标为．故答案为：；．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合•＝6•得＝，进一步可得结果．解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）•（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．如图所示，△OBC中，点A为BC中点，点D是线段OB上靠近点B的一个三等分点，CD，OA相交于点E，设＝，＝．（1）用，表示，；（2）若＝λ，求λ．【分析】（1）直接利用向量的线性运算和加减法的应用求解；（2）直接利用向量的线性运算和共线向量的充要条件求λ．解：（1）∵＝，＝，∴＝＝＝2＝；＝＝＝；（2）设＝μ（μ＞0），∴＝＝＝＝（1﹣μ）+μ，∵＝，，∴＝，又＝λ＝，且，不共线，∴λ＝2μ且，得λ＝．【点评】本题考查向量的线性运算，平面向量基本定理，向量的加法和减法运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16．已知复数z＝1+i（i是虚数单位）是方程x2﹣px+q＝0的根，其中p，q是实数．（1）求p和q的值；（2）若（p+qi）•（m2+2mi）是纯虚数，求实数m的值．【分析】（1）根据已知条件，结合一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，即可求解．（2）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．解：（1）∵z＝1+i（i是虚数单位）是方程x2﹣px+q＝0的根，∴也是方程x2﹣px+q＝0的根，∴，解得p＝q＝2．（2）由（1）可得，（p+qi）•（m2+2mi）＝（2+2i）•（m2+2mi）＝2m2﹣4m+（4m+2m2）i，∵（p+qi）•（m2+2mi）是纯虚数，∴，解得m＝2．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．17．已知，，在同一平面内，且＝（1，2）．（1）若||＝3，且∥，求；（2）若||＝，且（+2）⊥（﹣），求与的夹角的余弦值．【分析】（1）由题意利用两个向量平行的性质，用待定系数法求出求得的坐标．（2）由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，求得与的夹角的余弦值．解：（1）设＝（x，y），∵＝（1，2），||＝3，且∥，∴y＝2x，x2+y2＝45，解得x＝3，y＝6；或x＝﹣3，y＝﹣6，即＝（3，6），或＝（﹣3，﹣6）．（2）∵||＝，且（+2）⊥（﹣），∴（+2）•（﹣）＝﹣2+＝5﹣4+＝0，∴＝﹣1．故与的夹角的余弦值为＝＝﹣．【点评】本题主要考查两个向量平行垂直的性质，两个向量的夹角公式，属于基础题．18．（17分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足b＝acosC+csinA．（1）求A的大小；（2）若cosB＝，BC＝5，＝，求CD的长．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式得出tanA；（2）在△ABC中，使用正弦定理求出AB，得出DB，再在△BCD中使用余弦定理求出CD．解：（1）在△ABC中，∵b＝acosC+csinA中，∴sinB＝sinAcosC+sinCsinA，又∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCcosA，∴sinAcosC+cosAsinC＝sinAcosC+sinCsinA，∴cosAsinC＝sinCsinA，∵sinC≠0，∴cosA＝sinA，∴tanA＝1．∴．（2）∵cosB＝，∴sinB＝＝，∴sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝．在△ABC中，由正弦定理得，即，解得AB＝7．∵＝，∴BD＝．在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2+BC2﹣2BC•BDcosB＝1+25﹣2×＝20．∴CD＝2．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，余弦定理，属于中档题．19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA