2023年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷（附答案详解）

2023年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷

1.C的值等于（）

A.B.A/-3C.±3D.3

2.下列计算中，结果是一8小是（）

A.-5d+3dB.-5a3—3a3C.（—2a）3-a3D.（4a3）2-r2a

3.反比例函数y=为常数）的图象位于（）

A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限

4.如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程

中没有其他人进出.已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分

别为50公斤、70公斤.设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为x公斤，则x的取值范围是（）

A.330<x<380B.330<x<400C.380<x<400D,380<x<450

5.如图是一个直三棱柱，它的底面是边长为5、12、13的直角三角形.下

列图形中，是该直三棱柱的表面展开图的是（）

6.如图，在11x7的点阵中，甲、乙、丙、丁四个玻璃球分别从4、B、C、。四个点处同

时出发，按各自箭头方向做匀速直线运动，运动2秒后分别到达4、B'、C'、D'处，若按照上

述方式继续运动，则第一次发生碰撞的是（）

B•乙♦丙

C

B

••

••

A'D'

甲•・

A.甲和乙B.甲和丙C.甲和丁D.丙和丁

7.数轴上表示-2的点与表示6的点之间的距离为.

8.若式子x+JTTI在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

9.据测量，柳絮纤维的直径约为0.0000105米，用科学记数法表示0.0000105是

10.计算到"的结果是.

11.已知关于x的方程/+px+q=0的两根为—3和-1,则p+q=.

12.一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于.

13.已知。。的直径为8,点P到圆心。的距离为3,则经过点。的最短弦的长度为

14.如图，oABCO的顶点A在），轴上，顶点8,。在x轴

上，边CO与y轴交于点E,若BD=3,AD=。，乙4DB=

45°,则点E的坐标为.

15.如图，点。是正五边形ABCDE和正三角形AFG的中心，连

接AO,EF交于点P,则N4PE的度数为°.

16.如图，在矩形ABCO中，AB=6,BC=8,E是边BC上的

动点，连接AE,过点E作EFL4E,与C。边交于点F,连接

AF,则A尸的最小值为.

17.解方程：与=1一/-.

x—22—x

18.先化简，再求值：(17—+后？其中Q=V"?+1,b=1.

Q,—ua^—bQ十。

19.每年6月6日为“全国爱眼日”.按照国家视力健康标准，学生视力状况如下表所示.

类别ABCD

视力视力25.04.94.6〈视力W4.8视力W4.5

健康状况视力正常轻度视力不良中度视力不良重度视力不良

为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下

列统计图

学生视力状况条形统计图学生视力状况扇形统计图

(1)本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有人，。类所在扇形的圆心角的度

数是;

(2)对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为类；

(3)已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人

数.

20.有四根细木棒，它们的长度分别为2cvn,2cm,4cm,5cm.

(1)从中任取两根，求长度恰好相等的概率.

(2)从中任取三根，恰好能搭成一个三角形的概率为.

21.如图，在△48C中，LACB=90°,CDLAB,垂足为D.E是上一点，且CE=CD,

过点E作EF〃4B,与C4交于点F.

(1)证明△力DC丝

(2)若E是BC的中点，CD=6,则△ABC的面积为.

22.如图，投影仪镜头4(看成一个点)离地面的距离AE为120c”?，投影在墙上的像的高度

8c为156C",经测量，镜头A到像顶端8的仰角为17.7。，到像底端C的俯角为11.3。，求像

底端C到地面的距离CD.(参考数据:tanll.3。«0.2,tanl7.7°»0.32)

23.如图，在△ABC中，AB=AC,BO平分乙4BC,过点。作DE〃BC,与AB交于点E,过

点E作EF〃4C,与BC交于点F.

(1)判断四边形力EFC的形状，并说明理由；

(2)若NBOC=2乙BEF,BD=2,则AC的长为.

A

24.如图，一块周长为4(kro的矩形铁皮，如果在该铁皮的四个角上截去四个边长为2c机的

小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的长方体铁盒.

(1)要使铁盒的容积为40cm3,求矩形铁皮的长和宽：

(2)要使铁盒的容积最大，矩形铁皮的长和宽应为多少？最大容积是多少？

25.在平面直角坐标系xOy中，将点力(2,1)先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位

长度得到点B.

(1)求直线AB对应的函数表达式;

⑵将直线AB可以得到函数y=-3x+1的图象.(填写所有正确的序号)

①向右平移6个单位长度；

②向下平移6个单位长度；

③绕点(0,4)按逆时针方向旋转180。；

④先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度.

26.如图，。。是AHBC的外接圆，AB=AC,DA,£>C是。。的切线，切点分别为A,C.

⑴求证△ABCSADAC；

(2)若CD=3,BC=4,

①求。。的半径：

②连接。。，与AC交于点P,连接BP,BD,则喋=

DU

AD

27.已知函数y=/+mx+九为常数).

(1)若m=4,n=3,求该函数图象与x轴的两个交点之间的距离；

(2)若函数y=%2+mx4-n的图象与x轴有两个交点，将该函数的图象向右平移/c(k>0)个单

位长度得到新函数了的图象，且这两个函数图象与尢轴的四个交点中任意相邻两点之间的距

离都相等.

①若函数y=X2++几的图象如图所示，直接写出新函数V的表达式；

②若函数y=必+加工+n的图象经过点(1,3),当k=l时，求〃2,〃的值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：:32=9,

V-9=3.

故选：D.

根据算术平方根定义解答.

此题考查了算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于m则x是〃的算术平方根，熟记定义是

解题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：-5a6+3a6=-2a6,故A不符合题意：

—5a3—3a3=-8a3,故B不符合题意；

(—2a)3-a3——8a6,故C符合题意；

(4a3)2-2a=8a5,故。不符合题意；

故选：C.

根据合并同类项，积的乘方与幕的乘方法则，单项式乘除法则，逐项判断可得答案.

本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关的运算法则.

3.【答案】B

【解析】解：好+121>0,

；・反比例函数y=§：(/£为常数)的图象位于第一、三象限.

故选B.

先根据一个数的平方为非负数的特点确定比例系数，再利用反比例函数的性质求解.

本题考查反比例函数y=5(k*0)的性质：

①当k>0时，图象分别位于第一、三象限；

②当“<0时，图象分别位于第二、四象限.

4.【答案】B

【解析】解：根据题意得:

<-x+50+70>450

解得：330<xW400.

故选：B.

根据“小丽进入电梯后不超重，小欧进入电梯后超重”，可列出关于X的一元一次不等式组，解

之即可得出X的取值范围.

本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解

题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：A选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；

B选项中，展开图上下两个直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；

C选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；

。选项中，展开图能折叠成一个三棱柱，符合题意；

故选：D.

三棱柱的侧面展开图是长方形，底面是三角形，据此进行判断即可.

本题主要考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结

合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键.

6.【答案】B

由图示得：甲和乙不相撞；

甲和丙经过4秒相撞；

甲和丁不相撞；

丙和丁不相撞，

故选：B.

先画各个球的运动路径，再根据图示求解.

本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键.

7.【答案】8

【解析】解：6-(-2)=6+2=8.

故答案为：8.

用数轴上右边的数6减去左边的(-2),再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可

求解.

本题考查了数轴上两点间的距离的求解，用右边的数减去左边的数进行计算即可，比较简单.

8.【答案】x>-1

【解析】

【分析】

本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

根据二次根式的被开方数是非负数解答即可.

【解答】

解：由题意可知：%+1>0,

•••x>-1.

故答案为：X>-1.

9.【答案】1.05x10-5

【解析】解:0.0000105=1.05xIO。

故答案为：1.05x10-5

将一个数表示成ax10,的形式，其中"为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据

此即可得出答案.

本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握.

10.【答案】C

【解析】解：原式=空萼&

63

先分母有理化，再合并同类二次根式.

本题考查了二次根式的加减法运算，掌握二次根式的化简及合并同类二次根式是解题的关键.

I1.【答案】7

【解析】解:

••・关于x的方程/+px+q=。的两根为一3和一1,

**•—3+(-1)=-p,—3X(―1)=q,

・・・p=4,q=3,

・•・p+q=7,

故答案为：7.

由根与系数的关系可分别求得P、〃的值，代入则可求得答案.

本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两根之和等于一公两根之积等于:是解题

aa

的关键.

12.【答案】120°

【解析】解：设母线长为R，底面半径为，，

.•.底面周长=2TZT,底面面积=兀?*2,侧面面积==TITR,

•••侧面积是底面积的3倍，

•••3irr2=TirR,

•••R=3r,即r=

设圆心角为小有鬻=|兀R，

n=120°.

故答案为：120°.

根据圆锥的侧面积是底面积的3倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的

弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角度数.

本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两

个对应关系：（1）圆锥的母线长等于圆铢侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展

开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求解是解题的关键.

13.［答案］2c

【解析】解：与OP垂直的弦AB最短.证明如下：

过点尸任作一条弦CZ),作。。垂直于CQ,垂足为Q,连

接O。，

AB=2AP=2VOA2-OP2=2V42-32=2<7，

CD=2QD=2VOD2-OQ2=2742-0Q2.

在RtZkOPQ中，OP>0Q,即3>0Q,

.•.42-32<42-0Q2,

••AB<CD,

•••弦AB最短，

故答案为：2c.

与OP垂直的弦最短，利用勾股定理求.

本题考查了垂径定理，弄清与0P垂直的弦最短是关键.

14.【答案】(0,-今

【解析】W："AD=C，乙4DB=45。,

:.AO=OD=1,

•・•BD=3,

.・・OB=BD-OD=2,

・•・8(2,0),

•••4(0,1),0(1,0)，8(2,0),

・・・四边形A8CQ是平行四边形，

・・・

过点C作CF1%轴于点F,

CF=1,OF=1,

•・・OE//CF,

11

・•・OE="=芯

1

：•E(0,_引.

故答案为：(0,—1).

求出力(0,1),0(1,0),8(2,0),由平行四边形的性质得出C(一1,1),过点C作C~_Lx轴于点凡求

出C尸=1,OF=1,求出。£的长，则可得出答案.

本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边

形的性质是解题的关键.

15.【答案】84

【解析】解：如图，连接OC、OD、OF、OG,

,・,五边形A8CDE是O。的内接正五边形，

•••ACOD=嗒=72。，

・•・^AFE=36°,

・••△AFG^O。的内接正三角形，

orr)°

乙FOG=号=120%

根据对称性可知，Z.COF=乙DOG=1x(120°-72°)=24°,

1

4FAD=2(乙COF+/.COD)

1

=2X(240+72。)

=48",

Z.APE=/.FAD+乙4FE

=48+36°

=84°,

故答案为：84.

根据正多边形的中心角的计算方法分别求出，^COD=72°,4凡4G=120°,进而求出NCOF的度

数，由圆周角定理和三角形内角和定理即可求出答案.

本题考查正多边形和圆，三角形内角和定理以及圆周角定理，掌握正三角形、正五边形的性质以

及圆周角定理是正确解答的前提.

16.【答案】y

【解析】解：的长为x,RiJCF=BC-BE=8-x,CF的长为y,

"AB1BC,EFLAE,DC1BC,A|D

•••^ABE=AECF=AAEF=90。，\

/.BAE+Z.AEB=90°,Z.AEB+Z.CEF=90°,\

・•・乙BAE=乙CEF,J----^――----'c

・••Rt△ABEsRt△ECF,

A~CE=~CFf即放

y=-7X2=-1(x-4)2+|,(0<x<8)

03O3

8

■11y点大=3'

当CF岩时，OF=6—六学，此时4尸为最小，

,——------~10,67626

AF=VAD2+DC2=82+Q-)2=-g-=-g".

故答案为：y.

根据垂直的定义得至IbABC=NAEF=4OCB=90°,再根据等角的余角相等得到44=4CEF,根

据三角形相似的判定得到Rt△ABE^Rt△ECF,利用相似比得到y与x之间的函数关系式，由关

系顶点式即可求得.

本题考查了相似三角形的性质和二次函数的最大值，关键在于数形结合的熟练应用.

17.【答案】解：去分母得：2x=x-2+l,

移项合并得：x=-l,

经检验x=-1是分式方程的解.

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式

方程的解.

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求

解.解分式方程一定注意要验根.

18.【答案】解：原式=［；

(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)

a+b

(a+b)(a—/?)a

当a-A/-3+1)b=1时，原式=—

a-hv33

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分

得到最简结果，将。与b的值代入计算即可求出值.

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

19.【答案】418°F

【解析】解：(1)观察两个统计题知：B类有7人，占35%,

所以调查的总人数为7+35%=20(人)，

所以视力情况属于A类的学生有20x20%=4(A),

。类所在扇形的圆心角的度数为360。x(1-20%-35%-40%)=18°,

故答案为：4,18°；

(2)每类人数分别为4人，7人，8人，1人，共20人，

所以中位数为第10人和第II人的平均数，均落在了B类，

所以本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为B类，

故答案为：B.

(3)300x(40%+5%)=135(A),

所以估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为135人.

(1)首先利用B组的人数和所占的百分比求得总人数,然后乘以A类所占的百分比即可求得A类学

生的人数；

(2)用周角乘以。类所占的百分比即可；

(3)用样本数据估计总体数据即可.

本题考查扇形统计图、统计表、中位数以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计

表中找出相应的数据.

20.【答案】|

【解析】解：(1)列表如下:

2245

2(2,2)(4,2)(5,2)

2(2,2)(4,2)(5,2)

4(2,4)(2,4)(5,4)

53)(2,5)(4,5)

由表知，共有12种等可能结果，其中长度恰好相等的有2种结果，

所以长度恰好相等的概率为总=P

1Z6

(2)从中任取三根，有(2,2,4)、(2,2,5)、(2,4,5)、(2,4,5)这4种等可能结果，其中恰好能搭成一个

三角形的有2种结果，

所以恰好能搭成一个三角形的概率为］=I，

故答案为:

(1)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；

(2)列举出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出〃，再从中选

出符合事件A或B的结果数目然后根据概率公式求出事件A或8的概率.也考查了三角形三

边的关系.

21.【答案】240

【解析】⑴证明：:E/V/AB,CDLAB,

ACD1EF,

•・・Z.ACB=90°,

・•・乙CEF+乙CFE=90°,乙CFE+乙ACD=90°,

・•・Z-CEF=Z.ACD,

在△ADC与中,

NCEF=Z.ACD

CE=CD,

ZECF=^CDA=90°

(2)解：由(1)可知△力DC会AFCE,

CD=CE=6,

连接OE,

•・,E是8c的中点，

:.DE=CE=6,BC=2CE=12,

・•.△CDE是等边三角形，

.・・Z-ECD=60°,

・•・ZCFE=60°,

・・・Z-ACD=30°,

:、AC=4-\/-3,

ABC的面积=^AC-BC=^x4<3x12=24C，

故答案为：24/y

(1)根据平行线的性质得出CD1EF,进而利用AS4证明△ADC^^FCE解答；

(2)连接。E,根据等边三角形的判定和性质以及三角形的面积公式解答.

此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据ASA证明尸CE解答.

22.【答案】解：过点A作AF1BC,垂足为尸,

由题意得：AE=DF=120cm,

设4尸=xcm,

在RtZk/B尸中，Z.BAF=17.7°,

.・.BF=AF•tanl7.7°右0.32x(cm),

在RtA/FC中，Z,FAC=11.3°,

・•.FC=AF-tanll.3°«0.2x(cm),

・・,BF+CF=BC,

・•・0.32%+0.2x=156,

解得：％=300,

:.CF=0.2x=60(cm),

ADC=DF-CF=120-60=60(cm),

・•・像底端。到地面的距离CO约为60cm.

【解析】过点A作4F18C,垂足为F,根据题意可得：AE=DF=120cm,然后设4F=YCHI,

分另I」在RtAAB尸和RtAAFC中，利用锐角三角函数的定义求出B尸和CF的长，从而列出关于x

的方程，进行计算可求出CF的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助

线是解题的关键.

23.【答案】1+<5

【解析】解：(1)四边形OEFC是菱形，理由如下:

•••DE//BC,EF//AC,

四边形OEFC是平行四边形，

vBD平分NABC,

・•・Z-ABD=Z.CBD，

•・,DE//BC.

:.Z-BDE=Z-CBD,

:.Z.ABD=Z.BDE,

:.BE=DE,

•：AB=AC,

:.Z.ABC=zC,

•・・EFI[AC,

:.乙BFE=Z.C,

・•・Z.ABC=乙BFE,

・・・BE=",

:.DE=EF.

・•・四边形。底尸。是菱形；

(2)・・•EF//AC,

・•・(BEF=

vZ.BDC=乙ABD+Z-A,(BDC=2(BEF,

・・・Z.ABD=Z-A,

：・Z.CBD=Z-A,

:.AD=DB=2,

vZ-C=Z-ABC=2Zi4,

:.Z.C=Z-BDC,

:.BC=BD=2,

乙BCD=乙BCA,

・•・△CBDs〉CAB,

ABC：CA=CD：BC,

:.BC2=CACD=AC-(AC-40),

2

：-2=AC-^AC-2)f

AC=1+/亏(舍去负值).

故答案为：1+V"亏.

(1)先证得四边形。EFC是平行四边形，再根据角平分线的定义结合平行线和等腰三角形的性质证

得BE=EF=DE,即可证得结论；

(2)由4CBDs^CAB,推出BC：CA=CD：BC,得到BC?=CA-CD=AC-{AC-AD),因此2?=

AC-{AC-2),即可求出Ac=i+yy

本题考查菱形的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，关键是由

平行四边形的性质，等腰三角形的性质推出DE=FF；证明△CBDS&C4B,得至=AC-{AC-

AD).

24.【答案】解：(1)设矩形铁皮的长为xcm则宽为(20-x)cm,

由图知，铁盒的长为(x-4)cm,宽为(20-x-4)cm,

根据题意得：2(x-4)(20-x—4)=40,

整理得：X2—2Ox+84=0.

解得%】=14,x2—6(舍)，

.•.矩形铁皮的长为14cm,宽为6cm；

(2)设铁盒的容积为ycm3,

根据题意得:y=2(x-4)(20-%-4)=-2x2+40x-128=-2(x-10)2+72,

•«,-2V0,

.♦.当x=10时，y有最大值，最大值为72,

此时20—x=10,

矩形铁皮的长和宽应各位lOc/n时，容积最大，最大容积为72CTH3.

【解析】(1)设矩形铁皮的长为x。"，则宽为(20-x)cm,然后根据题意求出铁盒的长和宽，再根

据长x宽x高=40列出方程，解方程即可；

(2)设铁盒的容积为ycm3,然后根据长方体的体积公式写出函数解析式，由函数的性质求出最值.

本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程.

25.【答案】②③④

【解析】解：(1)将点4(2,1)先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B,则点

8的坐标为(3,—2),

设直线AB的解析式为y=kx+b,

代入4(2,1),8(3,—2)得僵(：二，

解得仁丁，

•・,直线AB的解析式为y=-3x+7；

(2)①将直线AB向右平移6个单位长度得到y=-3(x-6)+7=-3x+25：

②将直线向下平移个单位长度得到

AB6y=-3x+7-6=-3x+l;

③将直线AB绕点(0,4)按逆时针方向旋转180。得到y=-3x4-1；

④将直线A3先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到y=-3(x+1)+7-3=

—3x+1；

故答案为：②③④.

(1)求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得；

(2)分别求得变换后的函数解析式判断即可.

本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律和旋转的性质是解题的关键.

26.【答案】?

【解析】(1)证明：连接AO并延长交3c于点E,如图：

••♦点O是三角形的外心，

•­AE1BC,

・•・。4。。是。。的切线，

・•・AE1AD,DA=DC»

・・・ADIIBC,Z.DAC=Z.DCA.

，Z-DAC=乙ACB,

-AB=AC,

:.乙

B-Z.ACB9

BPZF=乙ACB=Z.DAC=ZLDCA,

・•・△48cs△OAC.

(2)①由⑴可得照^AC2=BC-CD,

DLZiC

AC=V3X4=2yJ~l，连接OC,

在Rt/kAEC中，AC=2O>CE=2,

••AE=2y/-21

设半径为r,则OE=2V-7-r,CE=2,

在COE中，OE2+CE2=CO2,

代入解得r=亨，

二圆的半径为：学.

。。垂直平分AC,

P是4c的中点，

•••PF=^AE=V_2>CP=A/-3,

CF=1,BF=3,

在Rt△BP尸中，BP=VBF2+PF2=