山东省潍坊市四县2023届高三年级下册5月高考模拟数学 含解析

2023年全国普通高考模拟试题

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

3.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位，0+i)z=2,贝|jz=()

A.1+iB.1-iC.-1+zD.-1-i

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的除法运算求解.

【详解】解：由(l+i)z=2,

徨z-2-2(1)ti

故选：B

2.已知集合A={-1,0,1},B=A1,则集合B中所有元素之和为()

A.0B.1C.-1D.72

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意列式求得机的值，即可得出答案.

【详解】根据条件分别令机2一1=一1,0,1,解得加=o,±l,土行，

又加一1史A,所以/驾=—1,±J^,B-1,-\/2,—\/2,

所以集合B中所有元素之和是-1,

故选：C.

3.已知圆锥的底面半径为2,高为40，则该圆锥内切球的表面积为()

A.4兀B.8兀C.16KD.32兀

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆锥与内切球的轴截面图，列出等量关系，即可求解.

【详解】圆锥与内切球的轴截面图如图所示，

设点。为球心，内切球半径为，D,E为切点,OD=OE=r,

由条件可知，BE=BD=2,所以AB=不(4亚『+22=6,

△ADO中，AO2=AD2+DO2，即(4播一「了=(6-2『+/，解得厂=加,

所以圆锥内切球表面积S=4兀/=8兀.

4.函数/(6=(/—,111|2%—3］在区间［-2,2］上的零点个数是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】函数〃x)=(x2-x)ln|2x-3|在区间［-2,2］上的零点的个数，转化为方程

(f-x)ln|2x-3|=0在区间［-22］上的根的个数.

【详解】求函数/(%)=(/一%)132工-3|在区间卜2,2］上的零点个数，

转化为方程(V—x)In|2x—3|=0在区间［-2,2］上的根的个数.

由任_必川2%一3|=0,得/一*=0或ln|2x-3］=0,

解得：x=0或x=l或x=2,

所以函数/（x）=（x2-x）ln|2x-3|在区间［—2,2］上的零点个数为3.

故选：A.

5.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了

数学的对称美，如图所示，这是一个“阿基米德多面体”花岗岩石凳，它是将正方体沿交于一个顶点的

三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到.已知此石凳的体积为22.5dn?,则此石凳的

棱长（单位：cm）为（）

A.15B.15.72C.20D.200

【答案】B

【解析】

【分析】设正方体的棱长为2acm,则石凳的棱长为拉“cm，根据石凳的体积得到方程，求出。的值，即

可得解.

【详解】设正方体的棱长为2acm,则石凳的棱长为缶cm，

因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，

33

所以该几何体的体积为（2a）-8x|xlxa=22.5xl0\解得a=15,

所以石凳的棱长为158cm.

故选：B

6.数列1,3,2,…中，an+2=an+i-an,则%。23+。2。24=（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】

【分析】利用4,+2=4+1-4推导出。“+6=%，即数列｛%｝具有周期，利用数列的周期性可求得陶磔和

。2024的值.

【详解】因为。,,+2=4用一4，所以%+3=%+2-4用=（卬用-4）一%=-%,,

所以4+6=—4+3=%（〃eN*）,所以数列｛%｝的周期为6,

因为2023=6x337+1,2024=6x337+2,

所以出023=4=1，«2024=42=3,

所以%023+“2024=4.

故选：c

7.已知函数〃x),g(x)及其导函数((x),g'(x)的定义域均为R,7(2x+l)为奇函数,g(x-1)

关于直线x=l对称，则()

A./(g(-l))=-/(g。))B.g(〃T))=-g(〃3))

c/(/(-i))=/(/(i))D.g(r(-i))=g(r(3))

【答案】D

【解析】

【分析】由〃2x+l)为奇函数得〃1一力=一/(1+力，由g(x-l)关于直线x=l对称得g(x)为偶

函数，对于选项A,由g(x)为偶函数满足g(—l)=g(l)即可判断；对于选项B,由

/(1一x)=—〃1+x)得/(-1)=—/(3)即可判断；对于选项C,由偶函数的对称性得到切线的对称

性，从而得到导数的关系即可判断；对于选项D,由〃l-x)=-/(l+x)得到“1+X)的对称性，从而

得到导数的关系即可判断.

【详解】解法一:由〃2x+l)为奇函数得了(—2x+l)=-,f(2x+l),

令f=—2x+l,则x=所以=+],

2\2J

即/(x)=-/(2-x),所以/(l-x)=-/(2-(l-x))=-/(l+x)；

因为g(x—l)关于直线x=l对称，所以g(x)关于V轴对称，

即g(x)为偶函数，所以g(-x)=g(x).

对于选项A,因为g(x)为偶函数，所以g(-x)=g(x),

所以/(g(T))=〃g(l)H-〃g。))，故选项A错误.

对于选项B,由/(l—x)=—〃l+x)得=—2)=—〃1+2)=-〃3),

所以g(〃-l))=g(—〃3))=g(〃3))H—g(〃3)),故选项B错误.

对于选项c,因为g(x)的图像关于y轴对称，所以y轴左右两边对称点的切线关于y轴对称，所以切线

的斜率互为相反数，

即g'(—x)=—g'(x),所以g'(—1)=—g'(i),

所以f(g'(T))=f(-g'⑴)丰r(g”))，故选项C错误.

对于选项D,因为一x)=-/(l+x),所以f(x)关于点(1,0)中心对称,

因为二乎=1,所以/(T)和/(3)关于点(1,0)对称，

所以/(x)在户一1和尤=3处切线的斜率相等，即/1)=/'⑶，

所以g(/'(T)=g(/'(3))，故选项D正确.

故选：D.

xy2

8.已知双曲线E:1=i(a>0,Z?>0)的左焦点为凡过尸的直线交E的左支于点尸，交E的潮

a-

近线于点M,N,且P,M恰为线段FN的三等分点，则双曲线E的离心率为()

A.2B.@C.V5D.6

2

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得P为线段RW的中点，N为线段PN的中点，设朋[加,一3m)，从而可得出EN

bX22

的坐标，再根据点N在渐近线>=—x上，求出加，再根据点P在双曲线£：与一v勺=1,得出上c的

aa~b

齐次式即可得解.

bb

【详解】由题意，点M在渐近线y=上，点N在渐近线丁=上》上,

aa

设M(加,一26],f(-c,0)

因为P，M恰为线段&V的三等分点，

所以P为线段短0的中点，N为线段PN的中点,

bmbm\3m+c3bm

——+m，即N,一？一

ala)I22a

C.新数据：ci\+2,a2+2,a3+2,,々024+2的均值为，"+2

D.新数据：2%+1,2%+1,2。3+1,,2/024+1的方差为4s2

【答案】CD

【解析】

【分析】利用中位数的定义可判断A选项；举反例可判断B选项；利用均值和方差公式可判断CD选项.

【详解】对于A选项，因4<«2024>

样本数据最中间的项为和。刈3，

由中位数的定义可知，1二即"2+即"3,人错；

2

对于B,不妨令%=〃(九=1,2,…,2023),%%=1(X)8,

则机>1013=。[0]3,B错误；

对于C,数据q+2M2+2,4+2,…，。2024+2的均值为:

20242024

Z（q+2）£生

C正确;

上!--------=上一+2=根+2

20242024

对于D,数据2q+1,2a2+1,2%+1,二4g+1的均值为：

20242024

£（2”,+1）2tq

也---------=3—+l=2m+r

20242024

202422024

其方差为33+1）-（2阳+1）丁_?但一间2T尸D对.

2024—2024―'

故选：CD

10.已知点。为△ABC内的一点，D,E分别是BC,AC的中点，则（）

A.若。为AD中点，则A0=L（08+0C）

31

B.若。为A。中点，则。B=—AB——AE

42

C.若。为△ABC的重心，则O8+OE=0

D.若。为△ABC的外心，且8c=4,则。8.8。=一8

11.已知点尸是圆C:（x—3p+（y—4『=，上一点，A（-1,O）,3（1,0）,则以下说法正确的是（）

A.若直线AB与圆C相切，贝1|厂=4

B.若以A,8为直径的圆与圆C相切，则/'=4

C.若PA-PB=0，则

D.当r=l时，|P4「+|PB「的最小值为34

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据直线与圆相切，可得圆心到直线的距离即为半径，进而即可判断A；根据圆与圆的位置关

系，分圆/+>2=1与。外切和内切两种情况讨论即可判断日设尸点的坐标为（x,y）,从而得到

x2+y2=i,即圆C与-+>2=1有交点，进而即可判断c；设P点的坐标为（3+sina,4+cosa）（。

为参数），从而得至1」归川2+归同2=205皿£+夕）+54其中3夕=：,进而即可判断D.

【详解】对于A,由A（-1,0）,3（1,0）,则直线AB的方程为兀：y=°，

所以圆C的圆心（3,4）到直线AB的距离为2=4,

又直线48与圆C相切，所以r=4,故A正确；

对于B,由A（-l,0）,6（1,0）,则以A,8为直径的圆方程为：f+y2=],

所以圆C的圆心（3,4）到圆f+y=1的圆心（0,0）的距离为5,

当圆V+y2=i与。外切时，有r+1=5,得厂=4,

当圆j?+y?=1与。内切时，有，一1=5,得，=6,故B不正确；

对于C,设P点的坐标为（x,y）,

所以%.PB=(_]_x,-y)x(l_x,_y)=x2_]+y2=0,即/+/=i,

所以圆C与/+产=1有交点，所以结合选项B可得4WrW6,故C正确;

对于D,设P点的坐标为(3+sina,4+cosa)(a为参数)，

则PA=(-4-sina,T-cosa),PB=(^-2-sina,-A-cosa),

所以归邳2=]2sine+l6cosc+54=20sin(c+，)+54,其中tan6=g,

所以当sin(a+6)=-l时，|/训2+归却2取得最小值，且最小值为3%故D正确.

故选：ACD.

12.设函数/(x)=gsin((yx+8)其中”>0，|同<兀.若华^)=0，，且相邻两个

极值点之间的距离大于兀，/'(兀)<0,设g(x)=/(x)+/'(x)，则()

1兀

A.①=-B.0=一

46

C.8(同在(3兀,4兀)上单调递减D.g(x)在(0,2兀)上存在唯一极值点

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意求得3=牛=之亨,〃eZ,由Jl+(g)2〉兀，求得粘=半<工：j,得到

@或0=3,当。=J"时，求得e=_型，得到y(x)=1sin]1x-r],进而得到''(兀)>(),

4441821418)

1QQ1|

所以一不符合题意，，求得力=—,可判定A不正确；由0=±时，求得9=一——+M,^2eZ,

4446

进而可判定B正确；求得g(x)=|sin?x+^+a,结合正弦型函数的性质，可判定C正确、D错误.

【详解】由函数/(x)=gsin(<yx+e),因为了IOTT287r

=0且/

2

T28KIOH

可得(2〃+l)x--=---------------=2兀,”eN,可得T=-^_,所以。=生=出上l,〃eZ

4992〃+1T4

因为相邻两个极值点之间的距离大于兀，可得>兀，解得72>4兀2一4,

2itTt13

所以7>,4兀2一4，可得3=-<-7=^=^»可得。=一或3=」,

Tyin2-]44

28无128无

当切=」时•，/(x)=-sin可得f=1sin

422

则sin年+小1,可得771铮夕q7T+E,G,即。=-5净71版,皿

9218

5兀115兀

因为机<兀，所以尹=一二，所以/(x)=：sin—X----

1oL418

1曾，则r(兀)=《cos715兀1兀

可得/'(x)=Jcos—X-—cos>0,

O41OJO4~18836

I3

因为/'(兀)<0,所以啰不符合题意，(舍去)，所以0="所以A不正确;

一3,一加328兀71,,_E/口11K,,_

co=一时，可得一x-----F69=—卜GZ,解付cp=------Fk)7i,k、GZ,

44926

因为陷<兀，所以夕=巴，所以B正确；

6

由/(x)=；sin3713(4，+乙

—x+—，可得/'(x)=j

46o146

所以g(x)=/(x)+/'(尤)=gsin37133715.371

—X+—H—COS—XH-----=-sin-XH-------F0C

46846846

37T/R7T7T

其中tana=-,ae(0,一)，因为士•<tana<1,可得一<a〈一,

42364

3兀29兀38兀]/5兀TL7兀\

又由尢£(3兀,4兀)，nT^#—x+—+6T€+a,------w(—,—)

~\212)229

5兀7兀

根据正弦函数的性质，可得y=sinx在(―,—)为单调递减函数,

22

所以g(x)在％€(3兀,4兀)上为单调递减函数，所以C正确;

/八八\…3兀(兀3兀I

由尤£(0,27r),口J得一xH----naw—Fa,----Ha,

46163)

因为乙＜a(工，可得四+a〈四且型+。〉包，

646232

所以当•|x+£+a=_|n寸，即％=等一ga时，函数g(x)取得极大值；

当jx+%+a=j-时，即为=兀-§=时，函数g(x)取得极小值，

所以g(x)在(0,2兀)上存在一个极大值点和一个极小值点，所以D不正确.

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某高中学校共有学生3600人，为了解某次数学文化知识竞赛的得分情况，采用分层抽样的方法从这

3600名学生中抽取一个容量为48的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数组成一个以4为公差的等差

数列，则该学校高三年级的学生人数为人.

【答案】1500

【解析】

【分析】由等差数列与分层抽样的概念求解即可.

【详解】设从高二抽取的人数为x,则高一抽取的人数为%-4,高三抽取的人数为x+4.

所以3X=48,解得X=16,所以高三年级抽取了20人，由分层抽样的概念可知高三年级的学生人数

为：3600x—=1500.

48

故答案为：1500.

23454

14.若(2x-l)s=tz()+aKx+a2x+a^x+a4x+a5x+(x+1),则a,+a2++a4-.

【答案】-45

【解析】

【分析】分别令x=l,x=0和求出处即可求解.

【详解】令x=l得4+%+。2+4+%+“5+2,=1，所以4+4+。2+/+%+%=T5,

令x=0得4+1=-1,所以。()=-2,而%=25=32,

所以q+a2+%+%=~45.

故答案为：—45.

15.已知抛物线V=4x的焦点为尸，过点尸的直线/交抛物线于A,B两点，以线段48为直径的圆交y

轴于M,N两点，设线段A8的中点为P,0为坐标原点，贝I」sinZPMN的最小值为.

【答案】y

【解析】

【分析】先根据题意设出直线/的方程，再联立直线方程与抛物线方程，然后利用韦达定理结合抛物线定义

求出|A6|以及P点到y轴的距离，从而表示出sin/PMN,进而求出结果.

【详解】由V=4x得£（1,0）,由题意知直线/的斜率不为0,

所以设直线/的方程为》=冲+1,4再,弘）,8（尤2，%），

y--A-X

联立〈'消去X得y2_4/〃y-4=0,

X=g，+1

则由韦达定理得X+%=4，"，所以％+%2=4机2+2,

所以=X+N+p=4n?+4,所以==2机2+2,

./c-d2nr+1.1

所以sm/PMN=：---：=--——=1----z——,

\PM\2加+22/+2

所以当加=0时，sin/PMN取得最小值

故答案为：y.

16.已知四面体ABCD满足ABJ.BC，BCA.CD,AB=BC=CD=2娓,且该四面体的体积为

12起，则异面直线与BC所成的角的大小为.

【答案】4或巴

43

【解析】

【分析】将四面体放入长方体中，根据体积公式计算得到CE=3夜，建立空间直角坐标系，得到各点坐标,

根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】如图所示：将四面体放入长方体中，

V/=』x'x2"x2指xCE=12血，解得CE=3人,

32

故DE=VCD2-CE2=V24-18=R-

以FA,FC,FG为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

A（2n,0,0）,8（2疝2倔0）,C（0,276,0）,D（0,跖3收）或O（0,3倔3⑷,

AD=D（-2瓜瓜3塔或AO=D（-2瓜3瓜36）,BC=（-26,0,0）,

异面直线AO与2c所成的角的大小为6,0,5

|AD-BC|24_V27r

cos6"^~~

Kn四乐语F4

\ADBC\24_1

或cose=।—[-；—।

KMI2A/6X4A/6-2

717t

综上所述：异面直线AO与3C所成的角的大小为一或一.

43

故答案为：一或一

43

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

S

17.已知数列｛q｝的前〃项和为S〃，q=3,口谓+1（心）.

n

(1)求数列｛为｝的通项公式:

(2)令a=2"q,求数列也｝的前〃项和T..

【答案】(1)an=2n+l

(2)(=2+2"+|(2〃-1)

【解析】

【分析】(1)由题意可证得数列，｝｝是首项为3,公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式求出

2

Sn=n+2n,再由生2时，两式相减即可求出数列｛%｝的通项公式，再检验卬也符合

a“;

(2)由(1)求出力，再由错位相减法求出数列｛"｝的前〃项和

【小问1详解】

由于3=4=3,、-2=I(〃N2),、=3,

nn-\v71

所以数列｛3•卜是首项为3,公差为1的等差数列，所以也=〃+2,S,,=〃2+2〃，

Inn

22

当稔2时，Sn^=(n-l)+2(H-l)=rt-l,

所以a“=S,—E1T=2〃+1(“》2),q也符合上式，所以a.=2〃+l

【小问2详解】

由(1)可得：%=2"(2〃+1),

（=4+为+仇++b“_i+b”,

23

Tn=3-2'+5-2+7-2++（2〃-1）-2"T+（2〃+1>2",

27；=3-22+5-23+7*24.+（2〃一1b2"+（2〃+1〉2用

两式相减得一7；=3-21+2"+2-23+.2-2”-（2〃+1）-2"+|,

23（1-2"-'）

口=6+-（2n+l）-2n+,=6+2n+2-8-（2n+l）-2"+1

1-2

所以<=2+2"|（2〃_1）.

18.己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且加cosB=2c-。.

(1)求A；

(2)若△ABC的面积为为叵，点。在线段BC上，且BD」CD,求AO的最小值.

42

TT

【答案】(1)三

3

(2)V6

【解析】

【分析】(1)由正弦定理的边化角及两角和的正弦公式代入化简已知式即可得出答案；

・21

(2)由三角形的面积公式可求出儿=9,再由AO=-A8+—AC,两边同时平方结合基本不等式即可

33

得出的最小值.

【小问1详解】

因为2QCOSB=2C—Z?,由正弦定理得2sinAcos5=2sinC—sinB,

所以2sinAcosB=2sin(A+B)-sinB=2(sinAcosB+cosAsinB)-sinB,

所以2(：0524$由3—5皿5=0,又5亩3。0,

1兀

所以cosA=-,因为0<4<兀，所以A=-；

23

【小问2详解】

由(1)sinA=^^，所以SA”=Lz?csinA=，

2ABC244

所以bc=9.

点。在线段BC上，且5O=‘CO,

2

1——11——\2一1—

所以++—+—=—+—，则

33、>33

，24-21-24144142

AD=-AB+-AC'+-ABAC^-b2+-c2+-bc-cosA=-b2+-c2+-bc

999999999

>2.1—h2•—c2+—he-—he-6.所以AON逐.

V9999

1

2

-=

9

当且仅当＜即b=3&，c=时等号成立.

A

所以A。的最小值为.

19.如图，线段A4是圆柱。01的母线，一ABC是圆柱下底面。。的内接正三角形，AA=A8=3.

（1）劣弧BC上是否存在点。，使得G。//平面AAB?若存在，求出劣弧50的长度；若不存在，请

说明理由.

（2）求平面CBOI和平面氏所成角的正弦值.

【答案】（1）存在，劣弧80长度为息

13

【解析】

【分析】（1）由面面平行的性质定理即可证明。1。//平面AAB；求出。。的半径，再由弧长公式即可

得出答案；

（2）如图取8c的中点为连接MA,以MB为x轴，M4为y轴，过M作。01平行线为z轴，建立空

间直角坐标系，分别求出平面C601和平面844的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.

【小问1详解】

如图过点。作AB平行线。。交劣弧BC于点。，

连接0。1，0.D,因为OQ//A4,,例匚平面440，平面AA/,

则。。"/平面A4B,同理可证OD//平面44也，

OQ00=0,且。Qu平面OOQ,OOu平面00Q,所以平面A&6//平面OOQ,

又因为qou平面OOQ,所以。。//平面AAB

故存在点。满足题意.

JT7T

因为.ABC为底面。。的内接正三角形，所以NBAC=二，即乙45O=NBQD=—,

又因为AB=3,所以。。的半径为.兀，

2sin—

3

n_

所以劣弧8。长度为kx2nx后--年；

2兀6

【小问2详解】

如图取BC的中点为M,连接MA,以MB为x轴，为y轴，过/作001平行线为z轴，建立空间直

角坐标系，

।7n*

•/1•/

「/::/

，丹君-•六、、

B\x

又因为A4=A8=3,设A8中点为N.

故M(0,0,0),B(|,O,o],A0,竽,0,C(-|,0,0),00,\

-,o],Q/O,%],

)I2)I44

(3出)

易知ON_L平面,所以平面44,8的法向量ON=—,0

(44J

设平面CBO]的法向量为n=(x,y,z),

'G)，3、n•MO,=0,y-y+3z=0,

又因为0,一,3,=匚,。,。，故1即

t2JV2)[n-MB=0,

-x=Q,

2

令y=2百得〃=(0,26,—l)

3

n-ON2_V39

所以平面C801和平面BA4夹角的余弦值析丁一।=石/

WH°N|独x而

4

故平面CBO｝和平面BAA,夹角的正弦值为，远.

20.从某企业生产的产品中随机抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如下样本数据

频率分布直方图.

x和方差r；（同一组中的数据用该组区间的中点值代

表）

(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值X服从正态分布其中〃近似为样

本平均数1，b?近似为样本方差一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算,

若X令X=之二,则yN(0,l),且①(a)=P(y<a).

（i）利用直方图得到的正态分布，求P（X<120）；

（ii）若质量指标值在区间［85,135］内的为合格品，其余为不合格品，为了保证出厂产品质量，需要对

产品进行检查，但直接检查带有破坏性，现在尝试一种新的检查方法，经试验知一件合格品经检查而获

准出厂的概率是0.97,一件不合格品经检查而获准出厂的概率是0.04,求采用新的检查方法后，获准出

厂的产品是合格品的概率为多少（精确到0.1%）?

参考数据：屈。12.7,标准正态分布表。（。）

a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09

0.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.5359

0.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.5753

0.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.6141

0.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64060.64430.64800.6517

0.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.6879

0.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.7224

0.60.72570.72910.73240.73570.73890.74220.74540.74860.75170.7549

0.70.75800.76110.76420.76730.77030.77340.77640.77940.78230.7852

0.80.78810.79100.79390.79670.79950.80230.80510.80780.81060.8133

0.90.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83150.83400.83650.8389

【答案】(1)x=110>s2-162

(2)(i)P(X<120)=0.7852；(ii)99.8%

【解析】

【分析】(1)根据频率分布直方图估计平均数和方差的公式即可求解；

(2)根据标准正态分布的对称性和条件概率即可求解.

【小问1详解】

平均数

J=80x0.01+90x0.10+1()0x0.26+110x0.30+120x0.20+130x0.10+14()x0.03=110,

?=(8O-11O)2XO.O1+(9O-11O)2XO.1O+(1OO-11O)2XO.26+(11O-11O)2XO.3O

+(120-1IO)2x0.20+(130-110)2x0.10+(140-110)2x0.03=162.

【小问2详解】

(i)P(X<120)=P(Y<=P(Y<0.79)=①(0.79)=0.7852,

(ii)设A表示产品为合格品，B表示产品获准出厂，则：

P(A)=0.96,P(Z)=0.04,P(B|4)=0.97,网6|可=0.04,

故获准出厂的产品是合格品的概率为：

P⑷8)=坐L________P(A"(")、.、=一竺竺更Z一,99加

')P(B)P(A>P(8|A)+P(A).P(B|A)0.96x0.97+0.04x0.04

72

x"y

21.已知椭圆C:7+F(a>h>0)长轴长为4,C的短轴的两个顶点与左焦点构成等边三角形.

(1)求C的标准方程;

(2)直线/与椭圆相交于4、B两点，且［45|=2,点P满足P4_LPB，O为坐标原点，求|。”的最

大值.

【答案】（1）—+/=1

4

（2）也

【解析】

【分析】（1）由题意先得〃=2,再由C的短轴两个顶点与左焦点构成等边三角形计算得6=1即可；

（2）确定尸的轨迹为以AB为直径的圆，设圆心为例，由三角形三边关系将问题转化为+

再分类讨论/斜率存在的情况，斜率不存在时显然QP|=1,当斜率存在时，设/的方程并与椭圆方程联立

结合韦达定理求0M最值即可.

【小问1详解】

由题意知，2〃=4,所以〃=2,设C的短轴两个顶点为。E,左焦点为

因为C的短轴两个顶点与左焦点构成等边三角形，

DOb1

如图所示，所以F=—=彳

所以6=1,所以C的标准方程为三+V=］；

4-

【小问2详解】

由题意F4_L依可得P的轨迹为以AB为直径的圆，设圆心为M,半径MP=1，而由三角形三边关系

可得|0胃4|0用|+|90|=|0闸+1,故M、P、0三点共线时取得最大，此时M在0P之间.

①当/的斜率不存在时，A8恰为短轴，此时|OP|=1;

②当/的斜率存在时，

2

—+y=l

如图所不，设/：y=kx+m.联立<4

y=kx+m,

得到(1+442)%2+Skmx+4^m2—1)=0,

A=64(Jtm)2-16(1+4)t2)(m2-1)>0,^4)l2-/n2+1>0.

-Shn4(m2_])

得玉+%2—'XjX=

1+4-2l+4k2

-4kmm

2>得m2则M1+4公'1+4公

、(16公+1)加23(1+16左2)

所以I°”I=——"左W/；、，

(1+4阴4(1+4&[(公+1)

p48，4848/T

人9|OM|-=----------=---------<—7=----=6—2\/5

令1+16&~=，，仝1，r+18/+45r+45+182A+18，

t

所以|0M|《逐—1,当且仅当.=36时等号成立，

而|OH4|OM+|PM=|OM+I4石，当22=之叵二1时，取得等号,

16

所以IOPI的最大值为石.

22.已知函数/(月=6+1+2-24(。>0)的图像在点(1,〃1))处的切线与直线为+2丁+1=0垂直.

(1)。力满足的关系式；

(2)若/(x"21nx在[1,m)上恒成立，求”的取值范围；

(3)证明：glzll—〉m2—

£k4八，

【答案】(1)b=a-2

(2)[l,4<o)

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可；

(2)原问题等价于.f(x)-21nx20在1,+8)上恒成立，令g(x)=〃X)-21nX,利用导函数讨论g(x)

单调性即可求解;