2023年高考全国甲卷数学(理科)真题（解析版）

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学

一、选择题

1.设集合4={削+eZ},8={xx=3左+2,%wZ},q为整数集，6（ZU8）=

A{x\x=3k.k€Z}B{xlx=3k-\,keZ]

C{x\x=3k-2,keZ}D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出.

Z={x|x=3左,％eZ}U{x|x=3Z+l,攵eZ}U{x|x=3Z+2,左eZ}u-z犷

【详解】因为整数集7,,r)l

以a(/U8)={x|x=3£,%€Z}

故选：A.

2,若复数(a+i)(l—ai)=2,aeR,贝小

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.

【详解】因为（"+1）（1一"1）="-"'+1+"=2"+（1

2a=2

<

所以U-/=0,解得：a=l.

故选：C.

3.执行下面的程序框图，输出的8=（）

1

（开始）

n=l,A-\,5=2

A=A+B

B=A+B

4

---n=n+l

/输最/

（结束）

A.21B.34C.55D.89

【答案】B

【解析】

【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出.

【详解】当〃=1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，"=1+2=3,8=3+2=5,〃=1+1=2；

当〃=2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，〃=3+5=8,8=8+5=13,〃=2+1=3；

当〃=3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，4=8+13=21,8=21+13=34,”=3+1=4；

当〃=4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出8=34.

故选：B.

4,向量卜H可卜及，且万+很+?=。，则cos〈万-c〉=（）

_224

A5B.5C.5D,5

【答案】D

【解析】

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

［详解］因为彳+B+?=6,所以□+一

即关+庐+2］%=守,即1+1+=2,所以雇5=0.

2

c

由题知=OB=1,OC=63OAB是等腰直角三角形,

OD=—,AD=—

N8边上的高22,

CD=CO+OD=y[2+—=^-

所以22,

tanZACD=—=cosZ^CZ)=-^=

CD3V10

cos(a-c,h-c)=cosZACB=cos2AACD=2cos2ZACD-\

故选:D.

5.已知正项等比数列｛%｝中，q=LS,为｛《,｝前〃项和，5=5S-4则84=(

S3()

A7B.9C.15D.30

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意列出关于“的方程，计算出夕，即可求出s、

【详解】由题知"*/+/+/=5(1+”/b4,

即43+/=4q+4/,即寸+/—44-4=0,即(q-2)(q+1)(^+2)=0

由题知4>°,所以4=2.

所以S4=1+2+4+8=15

故选:C.

6.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若己知某人报足球

3

俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（)

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

【答案】A

【解析】

【分析】先算出报名两个俱乐部的人数，从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条

件概率的知识求解.

【详解】报名两个俱乐部的人数为50+60-7°=4°,

记“某人报足球俱乐部”为事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件3,

5040_4

尸（⑷V，PQB)

-

则70707

4

-

7

尸⑶/）=生竺^--8

5

尸⑷

7

所以

故选:A.

7“sin2a+sin2/=l,受“sina+cos/?=0,^q（）

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.

［详解］当s’1ra+sin~4=1时，例如"2’。但sina+cos^H0

即sin2a+sin?3=1推不出sina+cos夕=0；

当sina+cos/=0时，sin2a+sin2/?=(-cos/?)2+sin2£=1,

即sina+cos/?=0能推出sin2a+sin20=1

综上可知，sin?a+sin?4=1是sina+cos尸=0成立的必要不充分条件.

故选：B

4

8.已知双曲线//一"“>°'’°）的离心率为不，其中一条渐近线与圆（工-2）2+3-3）2=1交于4B

两点，则M8|=（）

j_立2^54后

A.5B.5C.5D.5

【答案】D

【解析】

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.

?a2+b2,b2（

【详解】由e=，5,则如a-a-,

-=2

解得。，

所以双曲线的一条渐近线不妨取歹=2x,

,_|2X2-3|_V5

d=—/、=—

则圆心（2,3）到渐近线的距离V22+l5,

\AB|=2介_屋=2Jill=述

所以弦长V55

故选：D

9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连

续参加两天服务的选择种数为（）

A.120B.60C.40D.30

【答案】B

【解析】

【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.

【详解】不妨记五名志愿者为出"0，"，0,

假设。连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有

A；=12种方法，

同理：b,c,”,e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，

所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5x12=60种.

5

故选：B.

M\y-cos+—_f（\y=—x——

10.已知J为函数I6）向左平移6个单位所得函数，则V=k与22的交点

个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

_1_1

【分析】先利用三角函数平移的性质求得/（"）=—sm2x,再作出/（x）与'2X5的部分大致图像,

考虑特殊点处/（X）与'2%5的大小关系，从而精确图像，由此得解.

/_71]兀

y-cos2x+——

【详解】因为I6J向左平移6个单位所得函数为

兀、兀

y=cos2x+—+—=cosI2x+—l=-sin2x

-LI6j6，所以/(x)=-sin2x

而―显然过IF与（W两点,

」_1

作出/（x）与'2X万的部分大致图像如下,

_11

^y~2X5的大小关系,

3K+4,

=-------<-1

371-4,

------<1

6

In7兀.7兀117兀17兀一4,

sin—=Iy=—x------=------>1

x=——2)

当4时,42428

所以由图可知，/（X）与'25的交点个数为3.

故选：C.

11.在四棱锥P-N8C。中，底面46CQ为正方形，工8=4,尸。=尸。=3,/尸04=45°,则^PBC的

面积为（）

A,2正B.3亚C.4桓D.5V2

【答案】C

【解析】

【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得勺APC°,APDB*PCA,从而得到

P4=PB,再在△PNC中利用余弦定理求得尸/=而，从而求得尸B=J百，由此在APBC中利用余弦

定理与三角形面积公式即可得解;

/—cosZ.PCB=——■—,

法二：先在△PZC中利用余弦定理求得以=。17,3,从而求得尸APC=-3,再利用

空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于的方程组，从而求得PB=历,由此在APBC中

利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.

【详解】法一:

连结交于0,连结PO,则。为/C,5。的中点，如图,

因为底面/8CD为正方形，AB=4,所以ZC=8O=4夜，则QO=CO=2j5,

又PC=PD=3,PO=OP,所以APOOMAPCO,则ZPOO=NPC。，

又「C=PD=3,AC=BD二班,所以APDB=APCA,则=

7

在△PZC中，PC=3,AC=4及,NPCA=45。

PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x442x3x—=n

则由余弦定理可得2

故尸/=折，则昨a,

故在APBC中，PC=3,尸8=JF7,8C=4,

CBJC、BC》9+16-171

所以2PCBC2x3x4-3,

sinZPCB=71-cos2ZPCB=

又°<NPC8<7r,所以3

1]*?!)

S^-PCBCsinNPC8=-x3x4x^-=4啦

所以APBC的面积为223

法二:

连结/C,8°交于°,连结PO,则。为/C,8。的中点，如图,

因为底面/6CO为正方形，48=4,所以40=60=4J5,

在△P4C中，PC=3,NPCA=45。

PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x4y/2x3x—=17

则由余弦定理可得2,故

PA^y/n

f

PA2+PC2-AC217+9-32后

cosZAPC=-----------------------=-----7=——=---------

所以2PAPC2xV17x317,则

P^-PC=|^||PC|COSZ/1PC=V17X3X一号=一3

f

不妨记PB=m/BPD=e,

8

因为五婢+定）=妒+码所以（方+定）、（而+珂，

-----2''一2’..'’—‘2''2•'一’’一

即4+PC+2PA,PC=PB+PD+2PBPD,

则17+9+2x（-3）=m~+9+2x3x77?COS0,整理得次之+6mcos3\=0①，

又在4PBD中，BD2=PB~+PD1-2PB-PDcosZBPD,即32=〃/+9-6/wcose,则

nr-6/wcos^-23=0②，

两式相加得2〃『-34=0,故PB=m=后,

故在APBC中，PC=3,PB=&i,BC=4,

PC1+BC2-PB29+16-171

cosNPCB

所以2PCBC2x3x43,

2V2

sinNPCB=Vl-cos2ZPC5

又0<NPCB〈n,所以3

ii2万

S=-PCBCsinZPC5=-X3X4X-^-=4A/2

所以APBC的面积为223

故选：C.

土+匕=1FFCOSZF}PF2=-

12.己知椭圆96,巧，/为两个焦点，。为原点，尸为椭圆上一点，'5,则

1尸。=（）

2叵3V35

A.5B.2C.5D.2

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△尸片工的面积，即可得到点尸的坐标，从而得出1°刈的

值；

方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出「6帜周10娟+卢周，再结合中线的向量公式以及数量积

即可求出：

方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出忙附+归周，即可根据中线定理求出.

9

22

ZFiPF1=20,O<0<-SPFF=htan=btan6

【详解】方法一：设'2,所以'122

烟4^=32。=邛*=匕雪£=3

tan6八=一1

由cos~6+sin3l+tan~95,解得:2

由椭圆方程可知，/=9/2=6,。2=/一人2=3

,呻广夫巧用xM|=；x2&x闻=6X；解得.%=3

所以,

故选:B.

方法二:因为―明=24=6①，附「+|明2―2阀口咽”时=闺闾2,

附「+|产用2_曰尸利p用二12

即②，联立①②,

I呐闸|=*|呐一陷「=21

解得:

而=；（两+两）所以|8|=|访卜;历+可

艮产马两+所卜外珂+2时叫陶沙灯亭畀等.

故选：B.

方法三：因为附1+附l=2a=6①，附「+闸J2闸|熙口因平村2,

即附加叫Y国附i②，联立①②，解得"叫+|明2臼，

he

由中线定理可知，（2加+旧明2（回却叫「42,易知小=2为解得」叶〒,

故选：B.

【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常

规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难

度不是很大.

二、填空题

10

V=（XT）2+ax+sinx+—

I2

13.若为偶函数，则。=

【答案】2

【解析】

【分析】利用偶函数的性质得到I2）,12人从而求得。=2,再检验即可得解.

y=f（X）=（X-1）2+6TA"+sin|X+—j

=+QX+COSX

【详解】因为‘I2J为偶函数，定义域为R,

所以/（一%）=（一工）24-14-COS（-x）=x2+1+COSX=/（X）

又定义域为R,故/（X）为偶函数，

所以4=2.

故答案为：2.

2x+3y<3

<3x-2y<3

14.设x,y满足约束条件［x+VNl,设z=3x+2y,则z的最大值为

【答案】15

【解析】

【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.

【详解】作出可行域，如图,

11

3z

y——x4—

由图可知，当目标函数22过点A时，z有最大值，

-2x+3y=3(x=3

由(3x-2y=3可得fy=3,即4(3,3),

所以Zmax=3x3+2x3=15

故答案为：15

15.在正方体—44G4中，E,尸分别为8,44的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条

棱的交点总数为.

【答案】12

【解析】

【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.

【详解】不妨设正方体棱长为2,EF中点为O,取8片中点G,M,侧面的中心为N,连

搂FG,EG,OM,ON,MN,如图

由题意可知，。为球心，在正方体中，EF=dFG、EG。=也+22=20,

即及=8，

则球心。到网的距离为OM=JON〜MN。=Vi2+i2=V2,

所以球。与棱8片相切，球面与棱只有1个交点，

同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，

所以以E尸为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.

故答案为：12

16.在中，4B=2,/民40=60°,80=&，。为8。上一点，/。为/氏40的平分线，则

AD=.

【答案】2

12

【解析】

【分析】方法一：利用余弦定理求出ZC,再根据等面积法求出

方法二：利用余弦定理求出ZC,再根据正弦定理求出8，C,即可根据三角形的特征求出.

【详解】

如图所示：记4B=c,4C=b,BC=a,

方法一：由余弦定理可得，22+62-2X2X&XCOS600=6,

因为b>0,解得：b="6.

由ABC=SQABD+S&ACD可得,

—x2x6xsin60u=—x2xADxsin300+—xADxixsin30"

222

m型273(1+73)

3+百一2

.b

1+-

解得：2

故答案为：2.

方法二：由余弦定理可得，22+62-2X2X&XCOS600=6,因为6＞0,解得：6=1+0,

V6b2.y/6+V2.V2

------=-----=-----sinB=-------sinC=—

由正弦定理可得，sin60°sin5sinC,解得：4,2,

因为1+G＞逐＞0,所以。=45°,8=180°-60°-45°=75°,

又N8/Z)=30°,所以8=75,即/Z)=N8=2.

故答案为：2.

【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义

结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规.

三、解答题

17.已知数列｛%｝中，“2=1,设S，为｛%｝前〃项和，25,=〃。”.

13

(1)求｛""｝的通项公式；

X]

(2)求数列12J的前“项和北.

【⑵答案…】(1)一%…="-1

【解析】

百，〃=1

an=j

【分析】(1)根据〔邑一S“一"〃N2即可求出;

(2)根据错位相减法即可解出.

【小问1详解】

因为2S“=〃％,

当〃=］时，2q=%,即6=0；

当〃=3时，2（1+%）=3%,即%=2,

当nN2时，2S“_i=（«-l）a„.1,所以2（S,-S“-i）=〃％--1）%=2a„

/"_(_n人=上』...=2=1_,

化简得：(〃2)。,,一(〃I",』，当〃?3时，"一1n-22,即%—"T,

当〃=L2,3时都满足上式，所以“L"l(〃eN)

【小问2详解】

却/7；=1x(U+2x(。+3川+…+〃/U

因为2〃2",所以⑴⑵⑶⑶，

京=lx'j+2x(小…+(〃—1)x(3+展「，

两式相减得，

14

=d+£G）,即2式+码），〃GN*.

18,在三棱柱NBC-44G中，么4=2,4c,底面/8C,/4C8=90。，4到平面^CG4的距离为

1.

（2）若直线'4与距离为2,求'与与平面8℃田所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

屈

（2）13

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得4°，平面与，再由勾股定理求出。

为中点，即可得证；

（2）利用直角三角形求出'用的长及点A到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.

【小问1详解】

如图，

15

:.AtC±BC^BC1AC,4cMeU平面/CG4,4Cc/C=C,

,Be，平面/CG小,又BCu平面5c

..平面/eq4，平面Bee%

过4作4。，CG交c£于0,又平面4n平面8CC4=cq,40u平面NCG4

4。-L平面BCC出1

4到平面BCC\B\的距离为i,4°=1,

在RtA4cc,中，4CJ-4GCG==2,

设CO=x,则C。=2_x,

4℃”40G为直角三角形，且8=2,

CO2+Afir=4c22+2=c/；4c2+4C；=c,c2

'AOOC,，

l+%2+1+(2-x)2=4,解得x=l,

:.AC=A,C=A]C]=y/2

AC=4c

【小问2详解】

•••AC=4cl,BC14CBC±AC

/.RtA^2fiRt4cB

BA=BA]

过8作交"4于0,则。为'4中点，

由直线与距离为2,所以8。=2

vAtD=1BD=2:-A[B=AB=#>

在RtZ\/6C,:.BC7AB2-AC?=◎),

延长NC,使NC=CN,连接G",

由CW/4G，CM=4G知四边形A\CMC\为平行四边形，

16

G/〃4C,G"J■平面,又平面N8C,

:CM1AM

22

同/孔△/£〃巾AM^2AC,C.M^AtC：.AC,=y/(2AC)+A,C

人JI-L-If，，

在RtZsZ81G中g=4(24C¥+4C2B[C\=BC=6

222

：.AB]=7(2V2)+(V2)+(V3)=V13

又A到平面BCCA距离也为1,

1V13

所以'片与平面8CG4所成角的正弦值为JR13

19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组

(加药物).

(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X,求X的分布列和数学期望;

(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)

对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面2*2列联表:

<m>m

对照组

实验组

(ii)根据2x2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

参考数据：

k。0.100.050.010

2

P[k>ka)2.7063.8416.635

【答案】(1)分布列见解析，4X)=1

17

(2)(i)根=23.4；列联表见解析，(ii)能

【解析】

【分析】(1)利用超儿何分布的知识即可求得分布列及数学期望：

(2)(i)根据中位数的定义即可求得〃?=234,从而求得列联表;

(ii)利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.

【小问1详解】

依题意，X的可能取值为°」，2,

则小=。)=等嚏小小曾嗡，尸吠=2)=詈喋

所以X的分布列为：

X012

192019

P

783978

192019

E(X)=0x—+lx—+2x—=1

故''783978

【小问2详解】

(i)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数

据的平均数，

由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，

可得第11位数据为144,后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…，

故第20位为232，第21位数据为23.6,

23.2+23.6

m----------------=23.4

所以2

故列联表为:

<m>m合计

对照组61420

实验组14620

合计202040

18

^=40X（6X6-14X14£=640（）>3841

（ii）由⑴可得，20x20x20x20,

所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

20.已知直线x—2夕+1=0与抛物线C:/=2px（p>0）交于46两点，且|2用=4而.

（1）求P；

（2）设C的焦点为尸，M,N为C上两点，MF.NF=G,求△脑忸面积的最小值.

【答案】（1）〃=2

⑵12-872

【解析】

【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出?；

（2）设直线"N：》=卯+〃，"（』，乂），*（々,8），利用赤.标=0,找到叽〃的关系，以及

△MNF的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值.

【小问1详解】

设”（凡,外）,8（4,必；）,

x-2y+l=0

<

由iy=2px可得，j?-4py+2P=0,所以、“+歹8=4。,_^>2=2。，

所以MM=J（x4-〃8丫+（”-%）2=V5\yA-yB\=后J84为力=4715,

即2P2-p-6=0,因为。>0,解得:P=2

【小问2详解】

因为“（1'°）,显然直线"N的斜率不可能为零，

设直线用N：x=my+n/（司，乂），"（％2，%），

y2=4x

<

2

由（x=my+〃可得，y-4my-4n=ot所以，必+%=4〃?,乂%=—4〃，

△=16病+16〃>0=/+〃〉0,

因为标•标=0,所以（苞_1）（%_1）+必必=0,

即（，即i+〃-1）（叼2+W-I）+M8=0,

19

亦即(〃/+1)乂%+加(〃-1)(必+，2)+(〃-1)2=0,

将乂+%=4机/访=-4〃代入得，

4/=〃2_6〃+1,4(〃/+〃)=(〃一疗〉0,

所以且/-6〃+lN0,解得〃23+2贬或〃W3-2及

设点尸到直线"N的距离为“，所以Vl+w2,

\MN\=J（X]-工2）2+（9一%）-=Jl+〃/帆-力=J1+/W2A/16加2+16〃

=2,1+〃1,4（〃2-6〃+1）+16〃=2yjl+m2|w—1|

S--x\MN\xd=—x]〃"x2yJl+m2\n-1|=（/J-1）2

22

所以AMM的面积2V1+/M,

而〃N3+2及或〃W3-2a,所以，

当〃=3-2a时，AMVF的面积鼠n=（2-2>/i）=12一8&.

【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到"?，〃的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关

系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.

〃x）=ax—且Jo,

21.已知COSxk2J

（1）若a=8,讨论/（x）的单调性；

（2）若/（x）<sin2x恒成立，求°的取值范围.

【答案】（1）答案见解析.

（2）（一8,3]

【解析】

2

【分析】（1）求导，然后令'=80X,讨论导数的符号即可;

（2）构造8（*）=/（对一$出2巳计算88）的最大值,然后与0比较大小，得出。的分界点，再对“讨论即可.

【小问1详解】

cosxcos3x+3sinxcos2xsinx

f'(x)=a-

cos6x

20

cos2x+3sin2x3-2cos2x

a--------------J---------=a---------

COSXCOSX

令cos?X=E,则，e(0,l)

//、/\3-2rat~+2f—3

f(x)=g(0=a-----

2

则/t

c/1,、,8厂+2z—3⑵-1)(47+3)

a=8,/(x)—g(t)-j

当广

n兀

tE,/U)<0

452

当

当(2J,即I4J

所以/（X）在畤上单调递增，在上单调递减

【小问2详解】

设g(x)=/(x)-sin2x

at+2,一3re[、_.23

g'(x)=/'(x)-2cos2x=g(f)-2(2cos2x-l)=-----；------2(2/-l)=a+2-4/H......-

t，*设

23

(p(t)=a+2-4/+----Y

2

-4，+9-4/一2£+62(r-l)(2r+2/+3)>Q

,2,3

所以夕（。＜夕（1）=4一3

]。若&€（_00,3]g'（x）-（p（t）＜a-3＜0

[o,-1_

即g（x）在l21上单调递减,所以8（万）＜8（0）=0

所以当ae(-oo,3