江苏省徐州市大许中学2020-2021学年高一上学期质量检测（三）数学试卷

高一数学试题一、填空题1.设集合，则2.函数的定义域为3.函数的周期为4.函数为偶函数，且当时，，则5.函数，则6.已知向量，若，则实数=．7.已知，则ABCDEABCDEF9．如图已知在中，，，，，，则的值为．10.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若的图象都经过点,则=．11.已知，则12.给定两个向量=（1，2），=（x，1），若与的夹角为锐角，则实数x的取值范围是．13．已知函数在区间内是减函数，则的取值范围是．14.已知，若使函数存在整数零点的实数恰有4个，则实数的取值范围是．二、解答题15.设.（1）若，试求；（2）若，求实数的取值范围。16.已知函数.（I）求的最小正周期和单调递减区间；（II）求函数在的值域．17.已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，－sinβ)．（1）若α＝EQ\F(π,2)，β＝－EQ\F(π,6)，求向量a与b的夹角；（2）若a·b＝EQ\F(EQ\r(2),2)，tanα＝EQ\F(1,7)，且α，β为锐角，求tanβ的值．18.如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，设.用表示长方形停车场PQCR的面积；求长方形停车场PQCR面积的最大值。19.函数.若函数在区间上有两不等的零点，求实数的取值范围；若函数在区间的最小值为，求实数的值；若函数在区间上有两不等的零点，求实数的取值范围；20.对于定义在[0，＋)上的函数f(x)，若函数y=f(x)－(ax＋b)满足：①在区间[0，＋)上单调递减；②存在常数p，使其值域为(0，p]，则称函数g(x)＝ax＋b为f(x)的“渐近函数”．（1）证明：函数g(x)＝x＋1是函数f(x)＝eq\f(x2＋2x＋3,x＋1)，x[0，＋)的渐近函数，并求此时实数p的值；（2）若函数f(x)＝eq\r(x2＋1)，x[0，＋)的渐近函数是g(x)＝ax，求实数a的值，并说明理由．

参考答案一、填空题1.2.3.4.5.86.7.8.9.110.11.12.13.14.二、计算题15.（1）………………7分（2）………………14分16.解（Ⅰ）由此得的最小正周期为.由得：所以函数的递减区间为.……6分（II）由，得，而函数在上单调递增,在上单调递减，所以的值域为，……14分17.（1）……6分（2）……14分18.解：（1）如上添加辅助线，设∠PAB=θ（00<θ<900），则AM=90cosθ,PM=90sinθ，RP=RM－PM=，PQ=MB=100－90cosθ，=PQ·PR=（100－90cosθ）·（100－90sinθ）…6分=10000－9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ。设sinθ+cosθ=t(1<t≤)，则sinθcosθ=。代入化简得=（t－）2+950。故当t=时，Smax=14050－9000(m2)……16分19.（1）……5分（2）……10分（3）……16分20.解（1）由题意知，f(x)－x－1＝eq\f(x2＋2x＋3,x＋1)－x－1＝eq\f(x2＋2x＋3－(x＋1)2,x＋1)＝eq\f(2,x＋1)．易知，函数y＝eq\f(2,x＋1)在[0，＋)上单调递减，且值域为(0，2]．所以，函数g(x)＝x＋1是函数f(x)＝eq\f(x2＋2x＋3,x＋1)，x[0，＋)的渐近函数，此时p＝2．………6分（2）①当a＞1时，考察函数y＝eq\r(x2＋1)－ax，令y＝0，得eq\r(x2＋1)＝ax，两边平方得x2＋1＝a2x2，所以x2＝eq\f(1,a2－1)，因为x≥0，所以x＝eq\r(eq\f(1,a2－1))，即x＝eq\r(eq\f(1,a2－1))时，函数y＝eq\r(x2＋1)－ax的值为0．因此，函数y＝eq\r(x2＋1)－ax的值域不是(0，p]．所以g(x)＝ax不是函数f(x)＝eq\r(x2＋1)的渐近函数．…8分②当a＝1时，考察函数y＝eq\r(x2＋1)－x，由于eq\r(x2＋1)－x＝eq\f(1,eq\r(x2＋1)＋x)，下面考察t＝eq\r(x2＋1)＋x．任取x1，x2[0，＋)，且x1＜x2，则t1－t2＝eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),1)＋1)＋x1－eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),2)＋1)－x2＝eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),1)＋1)－eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),2)＋1)＋x1－x2＝eq\f(xeq\o\al(\s\up2(2),1)－xeq\o\al(\s\up2(2),2),eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),1)＋1)+eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),2)＋1))＋x1－x2＝(x1－x2)(eq\f(x1＋x2,eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),1)＋1)＋eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),2)＋1))＋1)＜0，所以函数t＝eq\r(x2＋1)＋x在[0，＋)上单调递增，又当x无限增大时，t的值也无限增大，所以t的取值范围是[1，＋)．因为函数y＝eq\F(1,t)在(0，＋）单调递减，从而函数y＝eq\r(x2＋1)－x在[0，＋）单调递减，且值域为(0，1]．所以g(x)＝x是f(x)＝eq\r(x2＋1)的渐近函数．…11分③当0＜a＜1时，方法（一）y＝eq\r(x2＋1)－ax＝(eq\r(x2＋1)－x)＋(1－a)x因为eq\r(x2＋1)－x(0，1]，所以y＞(1－a)x．假设y＝ax是f(x)＝eq\r(x2＋1)的渐近函数，则y＝eq\r(x2＋1)－ax的值域为(0，p]，故y的最大值为p．设(1－a)x＝p，则x＝eq\f(p,1－a)，当x＞eq\f(p,1－a)时，必有y＞p，矛盾．所以，此时g(x)＝ax不是函数f(x)的渐近函数．………13分方法（二）记F(x)＝eq\r(x2＋1)－ax，则F(0)＝1，由eq\r(x2＋1)－ax＝1，即eq\r(x2＋1)＝ax＋1，解得x＝eq\f(2a,1－a2)＞0，即F(0)＝F(eq\f(2a,1－a2))，所以函数y＝eq\r(x2＋1)－ax在[0