金融数据分析 课件 第4章 GARCH模型

第四章GARCH族模型

学习目标

了解各种GARCH族模型熟悉GARCH族模型的特点与作用掌握GARCH族模型的建模方法了解人民币汇率的构成原理，指数构建的科学性和合理性。

本章导读

经典的线性模型一般假设时间序列具有同方差，然而在实际的金融时间序列中，许多金融时间序列却表现出异方差特征，并且波动呈现时变性和聚集性等特征。波动性建模最基本的方法是自回归条件异方差模型ARCH模型。GARCH模型是对ARCH模型的重要推广，此后几乎所有ARCH模型的新成果都是基于GARCH模型得到的。本章将介绍GARCH族及其拓展模型。人民币汇率作为我国金融市场的重要指标，比较准确地反映了我国货币市场的运行状况，为汇率类金融产品的创新和发展提供了基础条件。通过学习人民币汇率的设计和运行规律，有助于全面把握我国外汇市场总体运行状况，增强我国金融服务实体经济的信心。同时，人民币汇率的稳定波动对于维护国家经济安全、促进国际贸易平衡发展具有重要意义，进一步提升了我国在国际金融市场中的地位和影响力。4.1波动率模型的特征及结构

4.2ARCH模型4.3GARCH模型4.4

IGARCH模型4.5GARCH-M模型4.6

指数GARCH模型4.7

TGARCH模型4.8

APARCH模型4.9基于GARCH模型的人民币汇率建模与应用目录CONTENTS波动率模型的特征及结构4.14.1.1波动率的特征

波动率(Volatility)是指金融资产价格的波动程度，是对资产收益率不确定性的衡量，用于反映金融资产的风险水平。波动率的特征：波动率越高，金融资产价格的波动越剧烈，资产收益率的不确定性就越强；波动率越低，金融资产价格的波动越平缓，资产收益率的确定性就越强。波动率就是收益率的条件标准差。许多金融时间序列中会出现波动集群，也就是波动是时变的，集群现象反映了金融时间序列具有较高的异方差性。4.1.1波动率的特征

以海信视像股票从2016年1月4日到2021年12月31日的日对数收益率为例子（共1460个观测值）。从图4.1可看出：该时间序列存在波动率聚集，即在某个特定时间段上波动率高，而在其他时间段上波动率较小。波动率随时间以连续方式变化，波动率的跳跃是罕见的，且在一个固定范围内变化，这意味着波动率通常是平稳的。波动率对于市场好坏消息的反应不同，坏消息对波动率的影响更大，存在杠杆效应。

R代码>d<-read_table("E//jrj1/Chapter4/hxsx.txt",header=T)#读取文件hxsx.txt>d=na.omit(d)#删除带na值行>head(d)#读取d中的前几条>library(xts)#载入xts包>r=log(d$sr+1)#用简单收益率求对数收益率>rnt=ts(r,frequency=250,start=c(2016,1))#建立时间序列，数据从2016年1月份开始>plot(rnt,xlab="年份",ylab="对数收益率",cex.lab=2)#数据可视化4.1.2模型的结构

4.1.2模型的结构

4.1.2模型的结构例4.1海信视像2016年1月4日到2021年12月31日的日对数收益率建模。从图4.1可以看出，海信视像股票的日对数收益率是平稳的、随机的，呈现出明显的波动聚集性。从图4.2(a)图可看到，在滞后6、15阶时有显著的相关性，其他值均没有超过虚线，说明该序列存在低阶相关性。这从对数收益率时间序列的Ljung-Box检验Q(5)=2.0093,p值为0.8479，Q(10)=11.895,p值为0.2921也可得到验证。再看到绝对值序列的样本ACF的图（图4.2b），大部分值都超过了虚线，因此可以看出具有序列相关性，对序列进行Ljung-Box检验得到Q(5)=125.05,p值为0，Q(10)=180.26,p值为0。海信视像股票的对数收益率序列是低阶相关的，但却不独立。

R代码>acf(r,lag=20,xlab="滞后数",main="(a)对数收益率的ACF估计")#求收益率acf及可视化>acf(abs(r),lag=20,xlab="滞后数",main="(b)对数收益率绝对值的ACF估计")#对数收益率绝对值的acf检验及可视化>Box.test(r,lag=5,type='Ljung')#对收益率进行Box-Ljung白噪声检验>Box.test(r,lag=10,type='Ljung')>Box.test(abs(r),lag=5,type='Ljung')>Box.test(abs(r),lag=10,type='Ljung')

ARCH模型4.24.2.1ARCH模型的定义

4.2.2ARCH模型的性质

4.2.2ARCH模型的性质

4.2.3ARCH效应检验

4.2.3ARCH效应检验

R代码>library(FinTS)>at=r-mean(r)#at等于对数收益率减对数收益率均值>ArchTest(at,lag=5)#检验是否存在ARCH效应>ArchTest(at,lag=10)>Box.test(at^2,lag=5,type='Ljung')#进行Ljung-Box检验>Box.test(at^2,lag=10,type='Ljung')

4.2.4ARCH模型的构建

4.2.4ARCH模型的构建

4.2.4ARCH模型的构建例4.3接着例4.2，我们选用ARCH(5)模型来作为本次建模的模型，但观察ARCH(5)模型的各参数值发现，估计的部分系数不显著，因此选择对ARCH(4)进行建模。各参数估计值如表4-1所示。海信视像的对数收益率的ARCH(4)模型应该表示为：需要说明的是，如果对该收益率序列的均值进行t检验，我们发现在5%的置信水平下其均值为0。但考虑到实际中该股票收益率的平均收益，我们继续采用例4.3中的均值方程。

4.2.4ARCH模型的构建

4.2.4ARCH模型的构建

R代码>t.test(r)#对数据进行t检验>pacf(at^2,lag=20)#残差PACF图>mod4<-garchFit(~1+garch(4,0),data=r)>summary(mod4)#获取ARCH(4)模型信息>mod5<-garchFit(~1+garch(5,0),data=r)>summary(mod5)#获取ARCH(5)模型信息>resi<-residuals(mod4,standardize=TRUE)#获取标准化残差>acf(resi,lag=20,xlab='滞后数',main="(a)标准化残差的样本ACF")#对标准化残差计算样本ACF>pacf(resi^2,lag=20,xlab='滞后数',main="(b)标准化残差平方的PACF")#对标准化残差平方计算样本PACF>Box.test(resi^2,lag=5,type='Ljung')#对标准化残差平方做Ljung-Box检验>Box.test(resi^2,lag=10,type='Ljung')>ArchTest(resi,lag=5)#对标准化残差做LM检验>ArchTest(resi,lag=10)

GARCH模型4.3

4.3.1GARCH模型的定义

4.3.1GARCH模型的定义

4.3.2GARCH模型的参数估计与预测

4.3.2GARCH模型的参数估计与预测

4.3.2GARCH模型的参数估计与预测例4.5海信视像股票收益率GARCH建模。由于海信视像股票收益率序列存在ARCH效应，因此在之前步骤的基础上继续建立GARCH模型。我们给出了GARCH(1,1)，GARCH(1,2)，GARCH(2,1)，GARCH(2,2)模型的参数，并得到了各个模型的信息AIC，BIC，SIC和HQIC值（表4-3），根据表4-3，通过比较可发现GARCH(1,1)的各项信息准则值在四个模型中都是最小的，因此选择GARCH(1,1)模型是合适的。

4.3.2GARCH模型的参数估计与预测然后根据表4-4中的参数估计值，可以得到GARCH(1,1)模型为：其中，所有的系数在5%水平下显著，表明我们所构建的GARCH(1,1)模型的拟合是充分的。

4.3.2GARCH模型的参数估计与预测图4-5中为标准化残差和标准化残差平方序列的ACF和PACF。这些ACF和PACF证明了所拟合的模型充分刻画了对数收益率的条件均值和方差，在残差序列的ACF和PACF图中：大部分函数值在置信区间内（虚线区域）上下跳跃,所以标准化残差序列并不具有自相关性，或者具有一定的弱相关性（PACF图结果）。而残差平方序列的ACF和PACF的图像中，所有函数值都在置信区间（虚线区域）内，因此残差平方也不具序列相关性，表明GARCH模型可以有效地解释收益率序列。应用LM检验，滞后项为5,10时，p-值分别为0.1956，0.3828；应用Ljung-Box检验，滞后项分别为5,10时，p-值分别为0.3651，0.5246，因此不能拒绝标准化残差平方不存在序列相关性的原假设，这进一步说明我们所拟合的模型的合理性。

4.3.2GARCH模型的参数估计与预测

4.3.2GARCH模型的参数估计与预测最后方差模型中的系数0.0491与0.929大于0，说明海信视像的实际波动呈现聚集性现象，具有典型的尖峰厚尾特征。0.0491与0.929之和接近1，说明条件方差所受冲击是持久的，对预测未来的波动有重要作用。从统计角度来看，时间序列里存在异方差现象，用正态分布不足以刻画这一特点，所以通常会引入t分布以及有偏的t分布。这里，假定扰动项服从t分布，则预测得到GARCH(1,1)模型：所有系数在5%的水平下均是显著的，表示自由度为的标准化分布。AIC值为-4.8445。如若拟合一个扰动项服从有偏的t分布，则可以建立一个新的GARCH(1,1)模型：该模型所有系数在5%的水平下均是显著的，并且AIC值为-4.845。

4.3.2GARCH模型的参数估计与预测GARCH模型与ARCH模型有相似的弱点，因为GARCH模型假定条件方差是过去误差平方的函数，因此对于金融市场的好坏消息呈现出来的杠杆效应，或者说好坏消息反应的不对称性，该模型并不能有效刻画。另外，实证研究表明，GARCH模型的尾部太薄，即使新息是服从t分布的GARCH模型，也不足以描述实际高频数据的尾部。图4-6给出了对数收益率建模的GARCH(1,1)的95%点预测区间的时序图，该区间由公式μ̂±σ̂给出，其中μ̂=-0.00009是均值方程的常数项，除了某些特异值外，所有收益率都位于95%的预测区间内。读者可以自行尝试对新息服从标准学生t分布、广义误差分布的GARCH(1,1)模型进行点预测，比较其预测效果。

R代码>library(fGarch)>mod1=garchFit(~1+garch(1,1),data=r,trace=F)>summary(mod1)#获取GARCH(1,1)模型信息>mod2=garchFit(~1+garch(1,2),data=r,trace=F)>summary(mod2)#获取GARCH(1,2)模型信息>mod3=garchFit(~1+garch(2,1),data=r,trace=F)>summary(mod3)#获取GARCH(2,1)模型信息>mod4=garchFit(~1+garch(2,2),data=r,trace=F)>summary(mod4)#获取GARCH(2,2)模型信息>resi=residuals(mod1,standardize=T)#给resi赋值为标准化残差>acf(resi,lag=24,xlab='滞后数',main="(a)标准化残差的样本ACF")#标准化残差ACF检验>acf(resi^2,lag=24,xlab='滞后数',main="(b)标准化残差平方的ACF")#标准化残差平方ACF检验>pacf(resi,lag=24,xlab='滞后数',main="(c)标准化残差的PACF")#标准化残差的PACF检验>pacf(resi^2,lag=24,xlab='滞后数',main="(d)标准化残差平方的PACF")>Box.test(resi^2,lag=5)>Box.test(resi^2,lag=10)>ArchTest(resi,lags=5)

R代码>ArchTest(resi,lags=10)>a2=garchFit(~1+garch(1,1),data=r,trace=F,cond.dist="std")#t分布新息GARCH(1,1)>summary(a2)>a3=garchFit(~1+garch(1,1),data=r,trace=F,cond.dist='sstd')#有偏t分布的GARCH(1,1)>summary(a3)#预测v1<-volatility(mod1)resi<-residuals(mod1,standardize=T)vol<-ts(v1,frequency=250,start=c(2016,1,4))res<-ts(resi,frequency=250,start=c(2016,1,4))par(mfcol=c(2,1))plot(vol,xlab="year",ylab="volatility",type="l")plot(res,xlab="year",ylab="st.resi",type="l")par(mfcol=c(1,1))upp<--0.000092+2*v1low<--0.000092-2*v1tdx<-c(1:1460)/250+2016

R代码plot(tdx,r,xlab="year",ylab="series",type="l",ylim=c(-0.15,0.15))lines(tdx,upp,lty=2,col="red")lines(tdx,low,lty=2,col="red")abline(h=c(0.000092))

IGARCH模型4.4

4.4IGARCH模型

4.4IGARCH模型

R代码>pinganbank=read.delim("E//jrj1/Chapter4/pinganbank.txt")>lnsr=log(pingan$sr+1)>tlnsr=na.omit(tlnsr)#缺失值处理>source("21data/R脚本/archTest.R")>archTest(tlnsr,12)>library(rugarch)>speci=ugarchspec(variance.model=list(model="iGARCH",garchOrder=c(1,1)),mean.model=list(include.mean=T,armaOrder=c(0,0)),distribution.model="norm")>m1=ugarchfit(spec=speci,data=tlnsr)>show(m1)

GARCH-M模型4.5

4.5GARCH-M模型

4.5GARCH-M模型

4.5GARCH-M模型

4.5GARCH-M模型图4-7金地集团从1991年5月到2021年12月的月对数收益率标准化残差图

R代码>jdjt=read.excel("E//jrj1/Chapter4/jdjt.xls")>lnjdjt=log(jdjt$ret+1)>lnjdjt=na.omit(lnjdjt)>tlnjdjt=ts(lnjdjt,start=c(1991,5),frequency=12)>require(rugarch)>specm=ugarchspec(variance.model=list(model="sGARCH",garchOrder=c(1,1)),mean.model=list(include.mean=T,archm=T,archpow=2,armaOrder=c(0,0)),distribution.model="ged")>m2=ugarchfit(spec=specm,tlnjdjt)>show(m2)>require(fGarch)>v2=sigma(m2)>resi=residuals(m2,standardize=T)>vol=ts(v2,frequency=12,start=c(1991,5))>res=ts(resi,frequency=12,start=c(1991,5))>archTest(resi,12)>Box.test(resi^2,12,type="Ljung")指数GARCH模型4.6

4.6指数GARCH模型

4.6指数GARCH模型

例4.8上证指数的月对数收益率EGARCH建模。考虑上证指数的月对数收益率，时间跨度从1991年1月至2021年12月，共372个观测值。图4-8（左）给出了上证指数的月对数收益率图。通过对该序列进行均值检验发现，该序列的收益率均值为0的置信水平为95%，这也比较符合我国资本市场起步晚、发展不完善、体制有待进一步健全的现状。其次，对样本序列进行的ACF和Ljung-Box统计量都表明数据没有明显的自相关性，所以下一步我们进行波动率建模，后续再对其ARCH效应进行等系列检验。图4-8对数收益率图（左）和EGARCH(1,1)模型的标准化残差（右）

4.6指数GARCH模型

R代码>sz=read.csv("E//jrj1/Chapter4/shangzheng.txt",sep="")>lnsz=log(sz$IdxMonRet+1)>tlnsz=ts(lnsz,start=c(1991,1),frequency=12)>library(rugarch)>specm=ugarchspec(variance.model=list(model="eGARCH",garchOrder=c(1,1)),mean.model=list(include.mean=F,armaOrder=c(0,0)))>m2=ugarchfit(spec=specm,tlnsz)>show(m2)>require(fGarch)>v2=sigma(m2)>resi=residuals(m2,standardize=T)>vol=ts(v2,frequency=12,start=c(1991,1))>res=ts(resi,frequency=12,start=c(1991,1))

TGARCH模型4.7

4.7TGARCH模型

4.7TGARCH模型

4.7TGARCH模型

图4-10

美元/港币日汇率波动率（左）和标准残差图（右）

R代码>vol=ts(v2,frequency=12,start=c(1991,1))>USHK=read.excel("E//jrj1/Chapter4/USHK.xls")>lnp.ushk=log(USHK$pr)>rtushk=diff(lnp.ushk)#收盘价求收益率>t.test(rtushk)>t.rtushk=ts(rtushk,start=c(2006,6,1),frequency=250)>specm=ugarchspec(variance.model=list(model="gjrGARCH",garchOrder=c(1,1)),mean.model=list(include.mean=F,armaOrder=c(0,0)),distribution.model="ged")#广义误差分布>m2=ugarchfit(spec=specm,t.rtushk)>show(m2)>v2=sigma(m2)>resi=residuals(m2,standardize=T)>vol=ts(v2,frequency=250,start=c(2006,6,1))>res=ts(resi,frequency=250,start=c(2006,6,1))

APGARCH模型4.8

4.8APGARCH模型

4.8APGARCH模型

4.8APGARCH模型

R代码>a=c(1:72)#数据处理>new.tlnsz=tlnsz[-a]#删除tlnsz数据前72项>require(rugarch)>specm=ugarchspec(variance.model=list(model="apARCH",garchOrder=c(1,1)),mean.model=list(include.mean=F,armaOrder=c(0,0)))>m1=ugarchfit(spec=specm,new.tlnsz)>show(m1)

专题4基于GARCH模型的人民币汇率建模与应用

专题4

基于GARCH模型的人民币汇率建模与应用人民币汇率自2005年7月21日起，我国开始实行以市场供求为基础，参考一篮子货币进行调节、有管理的浮动汇率制度。汇改后至今，汇率市场程度明显增强，波动更具弹性。2015年8月11日，中国人民银行宣布进一步完善人民币汇率中间价报价机制，由做市商在每日银行间外汇市场开盘前，参考上日银行间外汇市场收盘汇率，综合考虑外汇供求状况以及国际主要货币汇率变化向中国外汇交易中心提供中间价报价。人民币汇率是一种金融资产价格，如何刻画和预测金融资产价格波动率是金融市场研究的一个重要领域。目前，研究者发现金融时间序列数据，诸如汇率、股票价格经常出现方差随时间变化的特点。人民币汇率的市场化程度越来越高，由此带来的人民币汇率水平的变化和波动会更明显。无论人民币预期贬值或是升值，剧烈的汇率波动对中国经济乃至世界经济都会产生恶劣影响。因此，稳定人民币汇率显得至关重要，那么对人民币汇率的预测就尤为重要，这对一国提前制定防范汇率剧烈变化的政策具有重大意义。

专题4

基于GARCH模型的人民币汇率建模与应用1.数据来源与步骤本专题考虑人民币汇率2020年1月到2023年7月的日数据，数据来源于国家统计局与中国外汇管理局。具体步骤：对人民币汇率进行可视化计算人民币汇率的基本统计量给出ACF图和PACF图检验ARCH效应检验GARCH模型建模和GARCH模型的评估。

专题四

基于GARCH模型的人民币汇率建模与应用2.描述性统计首先对人民币中间汇率进行可视化分析。在2020至2022年间，受经济基本面变化、外部环境改变、改革汇率形成机制、调整汇率中间价等因素的影响，人民币汇率呈现出不断下降趋势。4-11右图给出了人民币汇率的日收益率时间序列图。从图4-11中可以看出，2022年中旬和2023年初两个时间段有明显的波动聚集现象。

专题四

基于GARCH模型的人民币汇率建模与应用数据特征：随后对人民币汇率日对数收益率进行统计性分析，研究其数字特征。从表4.5可看出，人民币汇率日对数收益率2020年1月1日至2023年7月31日的对数收益率的均值为3.636157e-05，标准差为0.0040，偏度系数为-0.156485，峰度系数为5.291828，最后正态性检验结果的p值接近于0，说明人民币汇率的日对数收益率并不服从正态分布，且有尖峰厚尾的现象。

专题四

基于GARCH模型的人民币汇率建模与应用画出对数收益率ACF图画出人民币汇率收益率ACF图，并试图构建GARCH模型。使用对数收益率的自相关函数（ACF）和对数收益率平方的偏自相关函数（PACF）分析人民币汇率收益率序列的自相关性。从图4-12(a)图中可看出没有显著的序列相关性。

图4-12中(a)和(b)两个图大部分函数值在置信区间内（图中虚线之间的区域）上下波动，所以收益率序列自相关性很低，或者说具有很弱的自相关性。

专题四

基于GARCH模型的人民币汇率建模与应用进行ARCH效应的检验如果存在ARCH效应，则可进行GARCH模型的拟合。检验的原假设是：：不存在ARCH效应。对收人民币汇率日对数益率进行Box-Ljung检验和LM检验，其5阶和10阶的统计量如下：对于Box-Ljung检验有Q(5)=115.22，p值为0；Q(10)=178.53，p值为0；对于LM检验，有=70.757，p值为0；=87.221，p值为0。因此人民币汇率日对数收益率序列存在ARCH效应，可进行GARCH模型的拟合。现在对人民币汇率日对数收益率序列建立GARCH(1,1)模型。根据表4.6的参数估计得到拟合模型为：其中，所有的系数都是显著的，表明GARCH(1,1)模型对拟合是充分的。所有的系数都是显著的。

专题四

基于GARCH模型的人民币汇率建模与应用3.数据的建模运用信息准则选择最优模型：表4-7信息准则的值可以看出，拟合的模型中GARCH(1,1)的AIC的值是最小的,故模型GARCH(1,1)建模是合适的。

专题四

基于GARCH模型的人民币汇率建模与应用图4-13中(a)图给出了模型的拟合波动率序列，图(b)给出的是标准化残差的时间序列图，从(b)图中可看出残差序列在2021年前后、2022年中旬以及2023年初出现了波动聚集效应。从(a)图中可以看出，拟合模型的波动率图也显示了2021年前后、2022年中旬以及2023年初存在较大波动。说明模型在一定程度上能解释收益率序列。

专题四

基于GARCH模型的人民币汇率建模与应用图4-14中给出了标准化残差平方序列的ACF和PACF图。在残差平方序列的ACF和PACF的图中，所有函数值都在置信区间（虚线区域）内，因此残差平方不具序列相关性,表明GARCH模型可有效解释收益率序列。

专题四

基于GARCH模型的人民币汇率建模与应用从表4.8可以看出，Ljung-Box白噪声检验滞后项分别为5，10时，Q（