第05讲 椭圆 高频考点精讲（解析版）备战2024年高考数学一轮复习精讲精练（艺考生基础版）

第第页第05讲椭圆(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析题型一：椭圆定义的应用角度1：利用椭圆定义求轨迹方程角度2：利用椭圆定义解决焦点三角形问题角度3：利用椭圆定义求最值题型二：椭圆的标准方程题型三：椭圆的简单几何性质角度1：椭圆的长轴、短轴、焦距角度2：求椭圆的离心率角度3：与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题第一部分：知第一部分：知识点精准记忆知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.说明：若，的轨迹为线段；若，的轨迹无图形定义的集合语言表述集合.知识点二：椭圆的标准方程和几何性质1、椭圆的标准方程焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，，的关系范围，，顶点，，，轴长短轴长＝，长轴长＝焦点焦距对称性对称轴：轴、轴对称中心：原点离心率，知识点三：常用结论1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）；（2），，；（3）,，；（4）椭圆通经长=第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析题型一：椭圆定义的应用角度1：利用椭圆定义求轨迹方程典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】错解：∵△ABC的周长为20，顶点，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：D.错因：忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.正解：∵△ABC的周长为20，顶点，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：B.例题2．（2022·全国·高二专题练习）动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（

）A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．不能确定【答案】A【详解】由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，故选：A例题3．（2022·四川·双流中学高二期中（理））已知平面上动点到两个定点和的距离之和等于，则动点的轨迹方程为__．【答案】【详解】平面上动点到两个定点和的距离之和等于，满足椭圆的定义，可得，，则，动点的轨迹方程为：，故答案为：.同类题型归类练1．（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点，的距离是6，动点P到这两个定点的距离之和是6，那么动点P的轨迹是什么？【答案】线段.【详解】因，是两个定点，且，而，即，所以动点P的轨迹是线段.2．（2022·全国·高二专题练习）已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.【答案】【详解】连接，由题意，，则，由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2，故短半轴长为1，故轨迹方程为：.故答案为：.角度2：利用椭圆定义解决焦点三角形问题典型例题例题1．（2022·山西吕梁·高二期中）设为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于，两点，则的周长是（

）A．8 B．16 C． D．【答案】B【详解】椭圆的长轴长由椭圆的定义可知，则的周长为，故选：B．例题2．（2022·浙江·元济高级中学高二期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，．若斜率为1，且过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【详解】由椭圆：可得，因为，在椭圆上，根据椭圆的定义可得，所以的周长为，故选：C例题3．（2022·江苏·高二专题练习）已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由椭圆方程得..故选：D.例题4．（2022·黑龙江·高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，，若的面积为，则的短袖长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【详解】由椭圆的定义知，所以，又，即，两式相减，得，因为的面积为，即，所以，解得，所以短轴长为6．故选:D．同类题型归类练1．（2022·辽宁沈阳·高二期中）椭圆M的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆M于点A，B.若的周长为20，则该椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为的周长为20，由椭圆定义可知：4a＝20，即a＝5，又因为c＝3，所以，所以该椭圆的标准方程为.故选：B.2．（2022·福建·莆田第四中学高二期中）设分别是椭圆的左、右焦点，P是C上的点，则的周长为_____________．【答案】16【详解】解：由椭圆，得，因为P是C上的点，所以，所以的周长为.故答案为：.3．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，⊥x轴，则的面积为_________．【答案】##【详解】由题意不妨设﹣，0)，，0)，∵P⊥x轴，∴P(，±)，∵△P的面积＝|P|||＝2＝，故答案为：．4．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（文））已知椭圆的两个焦点是、，点是椭圆上一点，且，则的面积是______.【答案】4【详解】由椭圆的定义可知，，又，联立两式，可得又，所以，所以是以为直角边的直角三角形，所以的面积为.故答案为：.5．（2022·全国·高二单元测试）已知、是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若的面积为9，求实数b的值．【答案】【详解】因为，所以，所以为直角三角形，，，，即，，所以，所以．所以；综上，b=3.角度3：利用椭圆定义求最值典型例题例题1．（2022·重庆八中模拟预测）已知，分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【详解】椭圆上的点P满足，当点P为的延长线与C的交点时，达到最大值，最大值为．故选：B例题2．（多选）（2022·全国·高二单元测试）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值和最小值分别为（

）A．最大值为25 B．最小值为15 C．最大值为 D．最小值为【答案】AB【详解】设椭圆的右焦点为，由椭圆的标准方程可知：，可得，所以，由椭圆的定义可知：，，当且仅当三点依次共线，当且仅当三点依次共线，故选：AB例题3．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）已知椭圆：，为椭圆上任意一点，点，，则的最小值为________.【答案】##【详解】解：椭圆：中，，所以，所以为椭圆的左焦点，又点，则，所以点在椭圆外，所以当点为线段与椭圆的交点时最小，其最小值为.故答案为：同类题型归类练1．（2022·全国·高二课时练习）已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x＋3）2＋y2＝1和圆（x－3）2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．【答案】7【详解】由椭圆方程知a＝5，b＝4，c＝3.两圆的圆心分别为椭圆的左右焦点F1，F2，设两圆半径分别为r1，r2，则r1＝1，r2＝2.所以|PM|min＝|PF1|－r1＝|PF1|－1，|PN|min＝|PF2|－r2＝|PF2|－2，故|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－3＝2a－3＝7.故答案为：72．（2022·全国·高二单元测试）已知椭圆C的方程为，M为C上任意一点，则的最小值为___________.【答案】【详解】由题意，，，所以为左焦点，为右焦点，所，当且仅当M､D､A共线时取等号.故答案为：.题型二：椭圆的标准方程典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（）A．（5，7） B．（5，6） C．（6，7） D．（5，6）∪（6，7）【答案】D【详解】错解：由题意可知，解得.故选：A.错因：未考虑椭圆方程中分母不等的情况，正解：由题意可知解得且.故选：D.例题2．（2022·山西太原·高二期中）已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】根据题意，椭圆的焦点在轴上，故设其方程为：，显然，，则，故椭圆方程为.故选：B.例题3．（2022·全国·高三专题练习）求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6；(2)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点.【答案】(1)(2)【详解】（1）设双曲线的方程为.由，，得，，，所以双曲线的方程为.（2）由题意可知，双曲线的焦点在轴上.设双曲线的方程为，则，，，所以双曲线的方程为.同类题型归类练1．（2022·河南安阳·高二期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题知：表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得，故选：D.2．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）求经过点和点的椭圆的标准方程.【答案】.【详解】设椭圆的方程为：，因该椭圆经过点和，于是得，解得，即有，所以椭圆的标准方程为：.3．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)，，焦点在x轴上；(2)，，焦点在y轴上；(3)，．【答案】(1)；(2)；(3)或.(1)∵，，椭圆焦点在x轴上，∴其标准方程为：；(2)∵，，∴，∵椭圆焦点在y轴上，∴其标准方程为：；(3)∵，，∴，因为椭圆焦点位置不确定，其标准方程为：或.题型三：椭圆的简单几何性质角度1：椭圆的长轴、短轴、焦距典型例题例题1．（2022·广东·深圳外国语学校高二期中）椭圆的焦点坐标为（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【详解】由已知椭圆，其焦点在y轴上，则，，故焦点坐标为和故选：D.例题2．（2022·吉林·抚松县第一中学高二阶段练习）焦点在轴的椭圆的焦距是4，则的值为（

）A．8 B．3 C．5或3 D．20【答案】A【详解】因为焦点在x轴，故，而焦距是4，故即，故选：A.例题3．（2022·四川成都·高二期中（理））焦点在轴上的椭圆的焦距是8，则椭圆的长轴长为（

）A．40 B． C． D．20【答案】B【详解】由题意得，则椭圆的长半轴长为，长轴长为.故选：B.例题4．（2022·全国·高二单元测试）椭圆的短轴长为______．【答案】4【详解】解：因为椭圆，所以，所以，所以椭圆的短轴长为，故答案为：4.同类题型归类练1．（2022·辽宁葫芦岛·高二期中）椭圆的焦点坐标为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】解：由得，，，∴焦点坐标为，．故选：C．2．（2022·福建·厦门双十中学高二期中）已知椭圆的焦距是，则的值是____．【答案】【详解】在椭圆中，，，由已知可得，解得.故答案为：.3．（2022·四川成都·高二期中（理））椭圆的长轴长为______．【答案】8【详解】解：由椭圆的几何性质可知，∴，∴长轴长。故答案为：8．角度2：求椭圆的离心率典型例题例题1．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））数学家蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，，所以，离心率为．故选：A．例题2．（2022·北京市昌平区第二中学高二期中）已知为椭圆上的点，点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为1，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为18，所以，所以椭圆的离心率为：.故选：B.例题3．（2022·甘肃·兰州西北中学高三期中（理））已知椭圆与圆有四个交点，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】椭圆与圆有四个交点，则椭圆的焦点必在轴上，且必有则椭圆C的离心率，又，离心率的取值范围是故选：C例题4．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）设是椭圆的右焦点，若关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：依题意可得，设，由题意可得，可得，，代入得，即，即，可得，解得（舍去）或，因为，所以，则．故选：D．例题5．（2022·山东青岛·高二期中）设，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，且，，则椭圆的离心率为___________；【答案】【详解】因为，所以，即，设椭圆的焦距为，长轴长为，在中，，，所以，，又，所以，所以椭圆的离心率为.故答案为：.例题6．（2022·安徽·合肥市第八中学高二期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为坐标平面上一点，且满足的点均在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】所以点P的轨迹为以为直径的圆，且该圆在椭圆C的内部，所以，所以，所以，即，所以．故选：A．同类题型归类练1．（2022·江苏省海州高级中学高二阶段练习）若椭圆经过点，且焦点分别为和，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由于椭圆经过点，且焦点分别为和，所以椭圆的焦点在轴上，且，所以椭圆的离心率为.故选：C2．（2022·吉林省实验中学高二期中）椭圆的焦点为，，上顶点为A，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可得，如下图所示：又因为,根据对称性可得,可得,解得.故，故离心率为，故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|＝2|FB|，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设椭圆的右焦点为，连接，如下所示：设，则，在△中，由余弦定理可得,整理可得：，即；在△中，同理可得：，故，解得.故选：.4．（多选）（2022·新疆·乌市八中高二期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，若椭圆与坐标轴分别交于，四点，且从这六点中，可以找到三点构成一个等边三角形，则椭圆的离心率的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】不妨设A,B为长轴端点，C,D为短轴端点，已知关于原点对称，关于原点对称，关于原点对称，相应的三角形只取其中一个，首先可能是等边三角形，因为，，不成立，为等边三角形，则，；为等边三角形，则，，，；为等边三角形，则，，，，．故选：ABD．5．（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中高二期中）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则k的值为___________.【答案】【详解】依题意，，解得，又椭圆离心率为，则有，解得，所以k的值为.故答案为：6．（2022·天津河东·高二期中）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为______．【答案】##【详解】解：因为，由椭圆的定义可得，可得，，在中，由余弦定理可得：，而，即，可得，可得离心率，故答案为：7．（2022·辽宁省康平县高级中学高二期中）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．直线与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为______【答案】【详解】由题意得：，，，将代入椭圆方程，，解得：，不妨设，则直线方程为，令得：，故，直线方程为，令得：，故，由题意得：，解得：，所以.故答案为：.8．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知椭圆C：（）左、右焦点分别为、，过且倾斜角为60°的直线与过的直线交于A点，点A在椭圆上，且.则椭圆C的离心率__________.【答案】##【详解】由与过的直线交于椭圆上A点，且，，所以，而，故，，所以，故.故答案为：角度3：与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：上的动点到右焦点距离的最小值为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】A【详解】解：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，即，又，所以，由，所以；故选：A例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为(

)A．4 B． C． D．【答案】A【详解】由于外心在的垂直平分线上,故外心在轴上,而方向朝着轴的负半轴,故点位于椭圆的上顶点,此时三角形面积为.所以,故选:.例题3．（2022·江西抚州·高二期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的值可以是______.（填写一个满足条件的值即可）【答案】14（在区间中的任意实数）【详解】依题意，，，由椭圆定义，，故，其中，故，由二次函数特征可知，时取到最大值16，或6时取到最小值12，故横线上填写的数值在此范围内即可.故答案为：14（在区间中的任意实数）.例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，则点的纵坐标的最大值为__________．【答案】【详解】解：当直线的斜率为0时，此时直线为，此时线段AB的中点M的纵坐标为0；当直线的斜率不为0时，设过的直线为，设，由，得，则，所以线段AB的中点M的纵坐标为，当时，M的纵坐标为0，当时，，当且仅当，即时取等号，此时的最大值为，当时，，综上，的最大值为，故答案为：例题5．（2022·全国·高二）已知椭圆：，，为椭圆的左右焦点