课时1 等比数列的前n项和公式

.3.3课时1等比数列的前n项和公式【学习目标】1.掌握等比数列的前n项和公式及公式的证明思路.(逻辑推理)2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.(数学运算)【自主预习】预学忆思1.如何计算公比为1的等比数列的前n项和Sn?【答案】当q=1时,a1=a2=…=an,故Sn=a1+a2+…+an=a1+a1+…+a1=na1.2.当q≠1时,如何计算等比数列的前n项和Sn?【答案】利用公式Sn=a1(1-3.当等比数列的公比为字母时,求{an}的前n项和要注意什么?【答案】若等比数列的公比为字母,应用公式求其前n项和时要注意讨论公比是否为1,分情况选取合适的公式来解答.自学检1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=a1(1-qn)1-(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na.()【答案】(1)×(2)√2.在等比数列{an}中,其前n项和为Sn,若q=-12,S5=11,则a1=【答案】16【解析】∵S5=a11--1251--∴a1=16.3.在等比数列{an}中,已知a1=3,an=96,Sn=189,则n=.

【答案】6【解析】由Sn=a1-anq1-q=3-96q1-q=189,得q=2.又an=a1qn-1=3×2n-4.已知某厂去年的产值为a,计划在5年内每年比上一年的产值增长10%,则从今年起5年内,该厂的总产值为.

【答案】11a(1.15-1)【解析】因为去年的产值为a,从今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a,所以1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=a·1.1-1.161-1.1=11a(1.15【合作探究】探究1：等比数列的前n项和公式情境设置问题1:等比数列的前n项和公式的推导除了教材中用的方法,还有其他的方法吗?【答案】有.根据等比数列的定义,有a2a1=a3a2=a4a所以a2=a1q,a3=a2q,…,an=an-1q,即a2+a3+…+an=(a1+a2+…+an-1)q,所以a2+a3+a4+…+ana1问题2:能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和?【答案】能.将an=a1qn-1,代入Sn=a1-anq1-q中,新知生成公比为q的等比数列{an}的前n项和公式(1)Sn=a1(1-qn(2)Sn=a1-an新知运用例1求下列等比数列前8项的和.(1)12,14,(2)a1=27,a9=1243,q<0【解析】(1)因为a1=12,q=1所以S8=12[1-(1(2)由a1=27,a9=1243,可得1243=27·q又由q<0,可得q=-13所以S8=a1-a8q1-q=例2在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,q为其公比.(1)若S2=30,S3=155,求Sn;(2)若a1+a3=10,a4+a6=54,求S5(3)若a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q.【解析】(1)由题意知a1(1+q)=30,a1所以Sn=14×5n+1-54或Sn=(2)(法一)由题意知a1+a1q2=10,a1q(法二)由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=18,所以q=1又a1+a3=a1(1+q2)=10,所以a1=8,所以S5=a1(1-q(3)因为a2an-1=a1an=128,a1+an=66,所以a1,an是方程x2-66x+128=0的两根,得a1=2,又Sn=a1-anq1-q=126,所以【方法总结】1.在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过列方程组,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.2.在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.巩固训练在等比数列{an}中,(1)若a1=2,an=162,Sn=112,求n和q;(2)已知S4=1,S8=17,求an.【解析】(1)由Sn=a1-anq1-q得112=2-162q1-q,解得q=-2,又由an=a1qn-1得162=2(2)若q=1,则S8=2S4,不符合题意,所以q≠1,所以S4=a1(1-q4)1-q=1,两式相除得1-q81-q4=1+q4=17,解得q=2或q=-2,所以a1=115所以an=115·2n-1或an=-15·(-2)n-探究2：等比数列前n项和公式的实际应用例3小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款项全部付清.商场提出的付款方式:购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,…,购买12个月后第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算,求小华每期付款金额是多少.【解析】(法一)设小华每期付款为x元,第k个月末付款后的欠款本利为Ak元,则A2=5000×(1+0.008)2-x=5000×1.0082-x,A4=A2(1+0.008)2-x=5000×1.0084-1.0082x-x,…A12=5000×1.00812-(1.00810+1.0088+…+1.0082+1)x=0,解得x=5000×1.00=5000×1.008121-(1.008故小华每期付款金额约为880.81元.(法二)设小华每期付款为x元,到第k个月时已付款及利息为Ak元,则A2=x,A4=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082),A6=A4(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0084),…A12=x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810).∵年底付清欠款,∴A12=5000×1.00812,即5000×1.00812=x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810),∴x=5000×1.008121+1.008故小华每期付款金额约为880.81元.【方法总结】解决数列应用题时,一是明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列或等比数列问题,还是含有递推关系的数列问题;二是明确是求an,还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题.巩固训练某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上一年减少15,本年度当地旅游业收入估计为400万元.由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长14.求n年内的总投入与n【解析】由题意知,第1年投入800万元,第2年投入800×1-15万元,…第n年投入800×1-15n-1万元,所以每年的投入资金数构成首项为800,公比为1-15的等比数列.所以n年内的总投入Sn=800+800×1-15+…+800×1-15n-1=4000×1-45n万元.由题意知,第1年旅游业的收入为400万元,第2年旅游业的收入为400×1+14万元,…第n年旅游业的收入为400×1+14n-1万元,所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400,公比为1+14的等比数列.所以n年内旅游业的总收入Tn=400+400×1+14+…+400×1+14n-1=1600×54n-1万元.故n年内旅游业的总投入为4000×1-45n万元,总收入为1600×54n-1万元.【随堂检测】1.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn,则Sn=().A.n[(-1)nC.(-1)n+1【答案】D【解析】Sn=(-1)[1-(-1)n]2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S3=a2+10a1,a5=9,则a1=().A.13 B.-13 C.19【答案】C【解析】由题意知公比q≠1,则S3=a1(1-q3)1-q=a1q+10a1,化简得q2=9,又a5=a1q4=9,所以a13.某人在2022年元旦存入a元,若按年利率为x计算(不计利息税),则到2027年元旦可取()元.A.a(1+x)5 B.a(1+x)6C.a(1+x)4 D.a(1+x5)【答案】A【解析】一年后,可取回a(1+x)元,两年后,可取回a(1+x)2元,三年后,可取回a(1+x)3元,四年后,可取回a(1+x)4元,五年后,可取回a(1+x)