平面(第2课时) 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

8.4空间点、直线、平面之间的关系8.4.1

平面

第2课时

复习与回顾

前面我们学习平面的两个基本性质(基本事实1和基本事实2），你还能想起吗？过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.文字语言:图形语言:符号语言:（“不共线三点可以确定一个平面”）(1)基本事实1：它可以用来：①确定平面；②判定两平面是否重合.(2)基本事实2：文字语言:

图形语言:符号语言:

如果一条直线上的两个点在一个平面内，

那么这条直线在这个平面内．它可以用来：①判断直线是否在平面内；②判断点是否在平面内

若A、B、C三点不共线，则它们可以确定一个平面(平面ABC).基本事实3

思考1：有人说，利用基本事实1和基本事实2，可得到这样一个结论：“经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面”，你认为对不对，为什么？这种说法是正确的.证明：

如图，设点A是直线

l外一点，在直线

l上任取两点B、C.由基本事实1知，A、B、C三点可确定一个平面α．再由基本事实2知，直线

l也在平面α内，∴

平面α

经过直线

l和点

A．即

一条直线和这条直线外一点确定一个平面．知识探究(一)

思考2：

根据基本事实1和基本事实2，判断下说法是否正确,并说明理由:(1)经过两条相交直线,有且只有一个平面；

(2)经过两条平行直线,有且只有一个平面。正确.如图，设点A、B分别是直线a、b上异于P的点，由基本事实1得，A、B、P三点确定一个平面α．再由基本事实2得，直线a和

直线b也在平面α内，∴两条相交直线确定一个平面.．正确.

如果过a

和b

还有一个平面β，那么

在a上的任意一点A一定在β内，这样过点A

和直线b

有两个平面，这和思考1

矛盾.

∴过a和b的平面只有一个．即两平行线确定一个平面．

如图，∵在同一个平面内，不相交两条直线叫平行线

∴由a//b

知a，b必在某个平面α

内推论推论一：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面；推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面；推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。a

基本事实1和三个推论给出了确定一个平面的四种方法，其作用是：确定平面，判定两平面是否重合.返回

思考1：基本事实1和2分别从点与平面、直线与平面位置关系的角度对平面进行了刻画.

接下来，我们从平面与平面关系的角度对平面进一步刻画.如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B?为什么?知识探究(二)

三角尺所在的平面是无限延展的，它会“穿透”课桌面.可以想象，两个平面相交于一条直线.

我们还可以观察教室里相邻的墙面，它们在地面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线.

由此我们可以得到以下基本事实.

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实3(1)文字语言:

(2)图形语言:(3)符号语言:

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.①判断直线是否在平面内；②判断点是否在平面内.lP1.内容:2.作用:

什么意思？能用自己和语言解释一下吗？

即如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且两个平面的公共点都在交线上，交线上的每一个点都是这两个平面的公共点.返回例1.如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.

求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.∵l1∩l2＝A，∴l1和

l2可确定一个平面

α.由

l2∩l3＝B得，B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理，C∈α.∴BC⊂α，即

l3⊂α.∴直线

l1，l2，l3在同一平面内.证明:思考1：说说你能想到的别的解法？先由A,B,C

确定平面

α.证明直线AB，BC，AC在平面

α内.纳入法例析

方法一(纳入法)：

先用其中的一部分点、线确定一个平面，再证明其余的点、线也在这个平面内.

方法二(同一法)：

先由其中一部分点、线确定一个平面，其余点、线确定另一个平面，

再证这两个平面重合.例1.如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.

求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.∵l1∩l2＝A，∴l1和

l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2和

l3确定一个平面

β.∴l2⊂α，

l2⊂β由A∈l2得，A∈α，A∈β.

同理B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.另证:

思考：通过此题，请你说说如何证明点线共面?同一法例2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，

AA1的中点.求证：直线CE，D1F，DA三线交于一点.证明:

思考1：若将题目条件中的

“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝P”.你能得出点D，A，P三点共线吗？

思考2：通过以上学习，请你说说证明三线共点，三点共线，点在线上等问题的关键是什么？大致过程如何？点是两个平面的公共点，线是两个平面的交线证明这类问题的关键是要说明：证明三线共点的方法步骤一：

说明其中两条直线共面，且交于一点;步骤二：

说明这个点是两个平面上的公共点;步骤三：

说明点在交线上.证明三点共线的方法方法一

先证明三点都是这两个平面的公共点；然后得出这些点都在两个平面的交线上；方法二

先选择其中两点确定一条直线，并说明此直线为两平面的交线；然后证明另一点为两平面的公共点。1.判断下列命题是否正确.(1)书桌是平面.()(2)平面α与β相交，它们只有有限个公共点()(3)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重.()练习2.下列命题正确的是().(A)三点确定一个平面.(B)一条直线和一个点确定一个平面.(C)圆心和圆上两点可确定一个平面.(D)梯形可确定一个平面.3.不共面的四点可确定几个平面？请画出图形说明你的结论.3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确.(1)直线AC1在平面A1B1C1D1内；()(2)设正方体上、下底面中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与

平面BB1D1D的交线为OO1；()(3)由点A，O，C可以确定一个平面；()(4)平面AB1C1与平面AC1D重合.()(5)设直线l在平面AC内，直线m

在平面D1C内，则l与m的交点

一定在直线CD上；()(6)由A、C1、B1点确定的平面和

由点A、C、C1确定的平面是同

一个平面。()BB1D1A1DACC1OO1×√√×√×4.你认为三种语言各自的优势是怎样的？练习

1.平面的三个基本事实是怎样的？它们各有什么作用？3.我们是如何得到平面的三个基本事实的？2.平面的三个基本事实是怎样的？由此得到确定平面的方法有哪几种？

平面的三个基本事实和三个推论都是平面的基本性质.这些都是基本性质都是构成几何图形的元素间位置关系的反映.

我们从点与平面，直线与平面，平面与平面的角度来刻画平面的基本性质：平，无限延展，从而得到了三个基本事实.文字语言：图形语言：符号语言：自然，能帮助我们深入理解直观、形象简洁作业1.教材P132第6，8题

2.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共交于一点.

3.(选做题)如图,P,Q是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC的中点,过P,Q,D1作一个平面,画出此平面截正方体的截面.ABCDA1B1C1D1PQ

2.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共交于一点.

3.(选做题)如图,P,Q是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC的中点