导数与微分4Taylor-展开

微积分的顶峰---Taylor’sExpansion微分通过局部线性化来近似地获得函数的局部性态。微积分的顶峰---Taylor’sExpansion当线性近似尚不足以解决问题时，我们进而尝试高阶多项式逼近：这就是我们将要讨论的Taylor展开式。

当线性近似尚不足以解决问题时，我们进而导数与微分4Taylor-展开导数与微分4Taylor-展开连续:一阶可微:n阶可微:两个结果之一：连续:一阶可微:n阶可微:两个结果之一：误差项(

在x0与x之间)两个结果之二：误差项(在x0与x之间)两个结果之二误差项(

在x0与x之间)误差项(在x0与x之间)泰勒展开式微分中值定理L’Hospital法则*泰勒展开式泰勒展开式微分中值定理定义设函数f在点x0附近有定义，若对x0附近的x(x

x0)，恒有

则称f(x0)为f的极大(小)值(localmaximal(minimal)point)，并称f在点x0取到极大(小)值，点x0称为f的极大(小)点。定义设函数f在点x0附近有定义，若对x0附近的x(xx特别地，若将上述不等式中的

()改为<(>)则称f(x0)为f的严格极大(小)值，并称f在点x0取到严格极大（小）值，点x0称为f的严格极大（小）点。函数的极大值和极小值统称为极值(extremevalue)，极大点和极小点统称为极值点(extremepoint)。

极值是一个局部性概念，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.特别地，若将上述不等式中的()改为<(>)则称f(x定义

使得的点x0称为f的驻点(stationarypoint)定义使得的点x0称为f的驻点(stationarFermatTheorm若x0为f的极值点并且f在点x0处可导，则注：如果函数的极值点恰好可导，则必是驻点，但驻点未必是极值点.极值点只有两种可能：不可导点和驻点FermatTheorm若x0为f的极值点并且f在如果函数y=f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）f(b)=f(a)，则在开区间(a,b)内至少存在一，满足Rolle’sTheorm如果函数y=f(x)满足：Rolle’sTheorm罗尔定理的几何意义OxyabBC

DAy=f(x)罗尔定理的几何意义OxyabBCDAy=f(x)已知函数f(x)=(x

1)(x

2)(x

3),

不求导,判断方程的实根个数和范围。课堂讨论已知函数f(x)=(x1)(x2)(x3)注意罗尔定理中的三个条件缺一不可，否则将不能保证结论成立。注意如果函数y=f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点使下面的等式成立TheLagrangeMeanValueTheorem如果函数y=f(x)满足：TheLagrangeMeLagrange中值定理的几何意义OxyabBf(a)f(b)C

DAy=f(x)Lagrange中值定理的几何意义OxyabBf(a)f(b拉格朗日公式的其他表达方式：拉格朗日公式的其他表达方式：若函数y=f(x)在区间(a,b)内的导数恒等于零，则函数f(x)在该区间(a,b)内是一个常数。Corollary若函数y=f(x)在区间(a,b)内的导数恒等于零，推论2

设函数f(x)和g(x)在区间(a,b)内都可导，对于任意的x

(a,b)恒有，则f(x)与g(x)相差一个常数。推论2证明：当b>a>0时，有例证明：当b>a>0时，有例导数与微分4Taylor-展开TheCauchyMeanValueTheoremTheCauchyMeanValueTheoremRolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理2罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；1罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理中条件是充分的，但不是必要的.说明RolleLagrangeCauchy2罗尔定理、拉格朗日可能存在，也可能不存在。通常把这种极限式叫做不定式，并简记为型（或型）。不定式如果当（或）时，函数f(x)和g(x)同时趋于零（或同时趋于无穷大），那么，函数极限可能存在，也可能不存在。通常把这种极限式叫做不定式，并简记为则若（1）；（2）和在a点附近都存在，且；（3）

TheL’Hospital’sRule则若（1）洛必达法则是求型和型不定式极限的有效方法。该法则可以理解为：为看出两个无穷小量或无穷大量之比的变化趋势，我们间接地比较它们的变化速度、加速度，等等。

洛必达法则是求型和型不定式极限的有效方法。推论若当仍为型，且和满足定理条件，则推论例求极限例求极限例求极限例求极限例求极限例求极限例求极限例求极限注：1、用罗必塔法则一定要验证条件，特别是条件(1);2、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦不是未定式立刻停止使用;3、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。注：1、用罗必塔法则一定要验证条件，特别是条件(1);2、若关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型例求例求例例通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为或不定型。通过通分或分子有理化及其它初等变例例例求极限例求极限注（1）洛必达法则只适用于和型；（2）存在，且；（3）是对分子分母分别求导，而不是对整个分式求导；（4）当不存在时，不能用洛必达法则。注（1）洛必达法则只适用于和型；（2）洛必达法则洛必达法则极限求法——（1）利用极限的运算法则和函数的连续性；（2）利用恒等变形后计算；（6）利用洛必达法则。（5）利用等价无穷小；（3）利用两个重要极限；（4）利用无穷小的性质；极限求法——（1）利用极限的运算法则和函数的连续性；（2）思考题思考题思考题解答不一定．例显然极限不存在．但极限存在．充分条件思考题解答不一定．例显然极限不存在．但极限存在．充分条件课后作业：P61习题228(1)(3)(6)课后作业：BrookTaylor

布鲁克·泰勒（1685~1731）

主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内陈述出他已于1712年首先提出的著名定理——泰勒定理。1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。

BrookTaylor布鲁克·泰勒（1685~1731一、问题的提出一、问题的提出导数与微分4Taylor-展开不足:1、精确度不高；2、误差不能估计。不足:1、精确度不高；2、误差不能估计。问题:问题:分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1泰勒多项式泰勒多项式2、ApproximationbyTaylorPolynomialsn阶可微:一阶可微:两个猜测(1)：2、ApproximationbyTaylorPolyTheTaylorPolynomial设存在，则Peano余项TheTaylorPolynomial设导数与微分4Taylor-展开特别地，若x0=0，则有Maclaurin公式：特别地，若x0=0，则有Maclaurin公式：例求的n阶Maclaurin公式。例求的n阶Maclau例求的n阶Maclaurin公式。例求的n阶M例用的5次Maclaurin多项式计算的近似值，并估计其截尾误差。例用的5次Maclaurin多项式计算

常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式例利用泰勒公式求极限例利用泰勒公式求极限解答解答例求极限例求极限例求极限例求极限两个猜测(2)：两个猜测(2)：(

在x0与x之间)Lagrange余项(在x0与x之间)Lagrange余项导数与微分4Taylor-展开导数与微分4Taylor-展开TheLagrangeRemainderTheorem设函数f在点x0附近n+1阶可导，则有(

在x0与x之间)Lagrange余项TheLagrangeRemainderTheorem证明记证明记从而从而即即注意:注意:特别地，若x0=0，则有Maclaurin公式：特别地，若x0=0，则有Maclaurin公式：播放播放播放播放导数与微分4Taylor-展开导数与微分4Taylor-展开导数与微分4Taylor-展开导数与微分4Taylor-展开导数与微分4Taylor-展开导数与微分4Taylor-展开导数与微分4Taylor-展