大学物理竞赛专题辅导之电学

数学分析数学分析1§1实数§2数集.确界原理§3函数概念§4具有某些特性的函数第一章实数集与函数第一章实数集与函数2第一章实数集与函数§1实数第一章实数集与函数§1实数3

§1实数教学内容:实数的基本性质和绝对值的不等式．教学重点:实数的基本性质、绝对值的不等式．教学难点:绝对值的不等式.教学要求:掌握实数的基本概念和最常见的不等式．

§1实数教学内容:实数的基本性质和绝对值的不等41.我们用符号“”表示“任取”.或“对于任意的”或“对于所有的”,几个常用符号1.我们用符号“”表示“任取”.或“对于任意的”或“对52.我们用符号“”表示“存在”.例：命题“对任意的实数x,都存在实数y,

使得x+y=1”可表示为“

x

R,y

R,

使x+y=1”.2.我们用符号“”表示“存在”.例：命题“对任意的实数x63.我们用符号“

”表示“充分条件”.比如,若用p,q分别表示两个命题或陈述句.或“推出”这一意思.则“p

q”表示“若p成立,则q也成立”.即p是q成立的充分条件.3.我们用符号“”表示“充分条件”.比如,若用p,q74.我们用符号“

”表示“当且仅当”.比如“p

q”表示“p成立当且仅当q成立”或者说p成立的充要条件是q成立.或“充要条件”这一意思.4.我们用符号“”表示“当且仅当”.比如“pq”表8集合

集合是指具有某种特定性质的事物的总体.

集合可用大写的字母A,B,C,D等标识.元素组成集合的事物称为集合的元素.

集合的元素可用小写的字母a,b,c,d等标识.

a是集合M的元素记为a

M,读作a属于M.

a不是集合M的元素记为a

M,读作a不属于M.集合9集合的表示列举法

把集合的全体元素一一列举出来.例如A

{a,b,c,d,e,f,g}.描述法

若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为M

{x|x具有性质P}.例如M

{(x,y)|x,y为实数,x2

y2

1}.集合的表示10几个数集

所有自然数构成的集合记为N,称为自然数集.所有实数构成的集合记为R,称为实数集.所有整数构成的集合记为Z,称为整数集.所有有理数构成的集合记为Q,称为有理集.子集如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记为A

B(读作A包含于B).A

B

若x

A,则x

B.显然,N

Z,Z

Q,Q

R.几个数集子集11直积(笛卡儿乘积)

设A、B是任意两个集合,则有序对集合

A

B

{(x,y)|x

A且y

B}称为集合A与集合B的直积.例如,R

R

{(x,y)|x

R且y

R}即为xOy面上全体点的集合,R

R常记作R2.直积(笛卡儿乘积)12

本节主要讲两个问题：实数及其性质、绝对值与不等式.就整个数学分析课来说，划线（确定讨论范围）、工具（不等式）.一实数及其性质实数1、实数

回顾中学中关于有理数和无理数的定义．本节主要讲两个问题：实数及其性质、绝对值与不等式13

若规定

(1)有限十进小数的无限循环表示：

;

(2)正整数的无限循环表示：若为正整数，则

；

(3)负有限十进小数（负整数）的无限循环表示：若

为负有限十进小数，则先将表示为无限小数，再在所得无限小数前加负号．

两个非负实数大小、相等的定义：若规定

(1)有限十进小数的无限循环表示：14定义1:定义1:15定义2:定义2:16如:如:17

注:(1)定义1给出了两个非负实数相等与不等的定义，请注意它的定义方式.(2)定义2给出非负实数的位不足近似与位过剩近似，蕴含了重要的数学思想—“逼近”，应引起同学们的注意.同时，非负实数的位不足近似与位过剩近似都是有理数，且它们分别递增、递减.

注:(1)定义1给出了两个非负实数相等与18命题

注:设为两个实数，则

.这个命题的证明以及实数运算法则的定义可参看附录。命题注:设为两个实数，则.这个命题的证明以19例1

证明

即得则r为有理数,且有.::yrxr,yx<<满足存在有理数证明为实数设<n,y

,x<故存在非负整数由于使得即有理数对实数具有稠密性.例1证明即得则r为有理数,且有.::20

2、实数的性质

1.

四则运算封闭性;

2.有序性;

3.实数大小具有传递性;

4.

Achimedes性;

5.稠密性;

6.实数集的几何表示───数轴:实数轴上的点与实数一一对应．

2、实数的性质1.四则运算封闭性;21例2

证明

根据实数的有序性,有例2证明根据实数的有序性,有22在数学分析中,许多重要的概念,定理及证明都要利用绝对值不等式来刻划（表示）.因此它是数学分析中论述问题不可缺少的工具之一.学好它特别重要.

实数a的绝对值定义：-aao二绝对值与不等式从数轴上看a的绝对值就是到原点的距离：在数学分析中,许多重要的概念,定理及证明都要利23绝对值的一些主要性质:性质2性质3性质4对任何，有如下的三角不等式：性质5

性质6性质1；当且仅当时，有．绝对值的一些主要性质:性质2性质3性质4对任何24

性质4（三角不等式）的证明：

由性质2

，两式相加，有再由性质3，上式等价于(1)在(1)式中把b换成-b即得：将(2)中b换成-b,得从而性质4的右半部分成立.从而得（2）又,据(1)式证毕.性质4（三角不等式）的证明：由性质2，两式相加25(算术平均值)三几个重要不等式(1)⑵对,记(几何平均值)(调和平均值)

(算术平均值)三几个重要不等式(1)⑵对,记(几何平26有平均值不等式:等号当且仅当时成立.⑶

Bernoulli不等式:有平均值不等式:等号当且仅当27证明：(几何平均值小于算数平均值)证明：(几何平均值28⑷

利用二项展开式得到的不等式:由二项展开式⑷利用