浙江省宁波市江南中学2022年中考数学四模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.已知一次函数y=ax-x-a+l（a为常数），则其函数图象一定过象限（）

A.一、二B.二、三C.三、四D.一、四

2.如图，A,B,C,D,E,G,H,M,N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似,

A.H或NB.G或HC.M或ND.G或M

3.若函数y=kx-b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x-3）-b>0的解集为（）

A.x<2B.x>2C.x<5D.x>5

4.一、单选题

二次函数的图象如图所示，对称轴为x=l,给出下列结论：①abc<0；②b2>4ac；③4a+2b+c<0；④2a+b=0..其中正确的结

论有:

A.4个B.3个C.2个D.1个

5.如图，AB是。O的直径，D,E是半圆上任意两点，连接AD,DE,AE与BD相交于点C,要使△ADC与△BDA

相似，可以添加一个条件.下列添加的条件中错误的是（）

A.ZACD=ZDABB.AD=DEC.ADAB=CDBDD.AD2=BDCD

6.如图数轴的A、B,C三点所表示的数分别为a、b、c.若la-bl=3,lb-cl=5,且原点O与A、B的距离分别为

4、1,则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）

A.在A的左边B.介于A、B之间

C.介于B、C之间D.在C的右边

7.如图，△ABC中，ZC=90°,D、E是AB、BC上两点，将AABC沿DE折叠，使点B落在AC边上点F处，并

8.石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m,这个数用科学记数法表示正确的是（）

A.3.4xl0-9mB.0.34xl0-9mC.3.4xlO-iomD.3.4xl0-um

9.若点A（2,）；）,B（-3,y,）,C（-1,丫3）三点在抛物线y=N2-4x-次的图象上，则）；、y?的大小关

系是（）

A.y>y>y

123

B.y>y>y

213

>>

C.y2y3y1

D.八＞兀出

10.在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线

外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.矩形纸片ABCD中，AB=3cm,BC=4cm,现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF,则重叠部分AAEF

的面积等于

13.如图，ZLN2是四边形ABCD的两个外角，且Nl+/2=210。，则NA+NO=度.

14.如图，在AABC中，点。是AB边上的一点，若=AD=\,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD

的面积为.

15.如图是利用直尺和三角板过已知直线/外一点尸作直线/的平行线的方法，其理由是

16.如图，半径为3的。O与RtAAOB的斜边AB切于点D,交OB于点C,连接CD交直线OA于点E,若/B=30。,

则线段AE的长为.

17.阅读材料：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABLBD,ED1BD,连接AC、EC.设CD=x,若

AB=4,DE=2,BD=8,则可用含x的代数式表示AC+CE的长为J16+（8-+J4+q.然后利用几何知识可知:

当A、C、E在一条直线上时，x=1时，AC+CE的最小值为1.根据以上阅读材料，可构图求出代数式

^25+（12-x>+19+尤2的最小值为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，已知等腰三角形4BC的底角为30。，以BC为直径的。。与底边43交于点O,过0作OEL4C,

垂足为E.证明：DE为。。的切线；连接OE,若5c=4,求ZkOEC的面积.

19.（5分）某市飞翔航模小队，计划购进一批无人机.已知3台A型无人机和4台3型无人机共需6400元，4台A

型无人机和3台5型无人机共需6200元.

（1）求一台A型无人机和一台5型无人机的售价各是多少元？

（2）该航模小队一次购进两种型号的无人机共50台，并且8型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍.设购

进4型无人机x台，总费用为y元.

①求y与x的关系式；

②购进A型、B型无人机各多少台，才能使总费用最少？

20.（8分）已知函数>=，的图象与函数丁=依。*0）的图象交于点「（团〃）.

X

（1）若加=2〃，求攵的值和点p的坐标；

（2）当时，结合函数图象，直接写出实数攵的取值范围.

21.（10分）新定义：如图1（图2,图3）,在△ABC中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转,

得到△ABX7,若NBAC+NB，AC，=180。，我们称△ABC是△AB，C，的“旋补三角形”，△ABC，的中线AD叫做△ABC

的“旋补中线''，点A叫做“旋补中心”

（特例感知）（1）①若△ABC是等边三角形（如图2）,BC=L则AD=；

②若NBAC=90。（如图3）,BC=6,AD=；

（猜想论证）（2）在图1中，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明你的猜想；

（拓展应用）（3）如图1.点A,B,C,D都在半径为5的圆上，且AB与CD不平行，AD=6,点P是四边形ABCD

内一点，且△APD是△BPC的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，请确定点P的位置（要求尺规作图，不写作法，

保留作图痕迹），并求BC的长.

r

图1图2图3S4

22.（10分）如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,对角线AC、BD交于点M，点E在边BC上，且NDAE=/DCB,

联结AE,AE与BD交于点F.

10

W

B£C

（1）求证：DM2=MF-MB;

（2）连接DE,如果BF=3FM,求证：四边形ABED是平行四边形.

一1k

23.（12分）如图所小，直线y而x+2与双曲线相交于点A（2'n）,与x轴交于点C.求双曲线解析式；点P在

x轴上，如果AACP的面积为5,求点P的坐标.

24.（14分）计算：（-2018）o-4sin45°+V8-2i.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、D

【解析】

分析：根据一次函数的图形与性质，由一次函数y=kx+b的系数k和b的符号，判断所过的象限即可.

详解：*•'y=ax-x-a+1(a为常数)，

.♦.y=(a-1)x-(a-1)

当a-l>0时，即a>l,此时函数的图像过一三四象限；

当a-l<0时，即a<L此时函数的图像过一二四象限.

故其函数的图像一定过一四象限.

故选D.

点睛：此题主要考查了一次函数的图像与性质，利用一次函数的图像与性质的关系判断即可.

一次函数丫=1«^4)(厚0,k、b为常数)的图像与性质：当k>0,b>0时，图像过一二三象限，y随x增大而

增大；当k>0,b<0时，图像过一三四象限，y随x增大而增大；当kVO,b>0时，图像过一二四象限，y

随x增大而减小；当k<0,b<0,图像过二三四象限，y随x增大而减小.

2、C

【解析】

根据两三角形三条边对应成比例，两三角形相似进行解答

【详解】

设小正方形的边长为1,则AABC的各边分别为3、必、师，只能尸是M或N时，其各边是6、2万，2回.与

△A8c各边对应成比例，故选C

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边成比例是解题的关键

3、C

【解析】

根据函数图象知：一次函数过点(2,0)；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出k、b的关系式；然后将k、b

的关系式代入k(x-3)-b>0中进行求解即可.

【详解】

解：二•一次函数y=kx-b经过点(2,0),

A2k-b=0,b=2k.

函数值y随x的增大而减小，则kVO；

解关于k(x-3)-b>0,

移项得：kx>3k+b,即kx>lk；

两边同时除以k,因为k<0,因而解集是x<l.

故选C.

【点睛】

本题考查一次函数与一元一次不等式.

4、B

【解析】

试题解析：①•••二次函数的图象的开口向下，

•・avO，

•.•二次函数的图象y轴的交点在y轴的正半轴上,

.•.c>0,

•••二次函数图象的对称轴是直线x=L

h.

■■——=1，2<z+ft=0,Z»0

la

：.abc<0,故正确；

②；抛物线与x轴有两个交点，

b2-4ac>0,b2>4ac,

故正确；

③•••二次函数图象的对称轴是直线x=l,

.•.抛物线上x=0时的点与当x=2时的点对称，

即当x=2时，j>0

'.4a+2b+c>0,

故错误；

④•.♦二次函数图象的对称轴是直线*=1,

b

.,.2a+b=0,

2a

故正确.

综上所述，正确的结论有3个.

故选B.

5、D

【解析】

解：VZADC=ZADB,ZACD=ZDAB,

AAADC^ABDA,故A选项正确；

\AD=DE,

••AD=DE，

AZDAE=ZB,

AAADC^ABDA,・••故B选项正确；

VAD2=BD>CD,

AAD：BD=CD：AD,

/•△ADC^ABDA,故C选项正确；

VCD»AB=AC»BD,

..CD：AC=BD：AB,

但NACD=/ABD不是对应夹角，故D选项错误，

故选：D.

考点：1.圆周角定理2.相似三角形的判定

6、C

【解析】

分析：由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b=a+3,c=b+5,再根据原点O与A、

B的距离分别为1、1,即可得出2=士1、b=±l,结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得出结论.

解析:Via-bl=3,lb-cl=5,

b=a+3,c=b+5,

・・•原点o与A、B的距离分别为1、1,

•*.a=±l,b=±l,

*.*b=a+3,

a=-1,b=-1,

*.*c=b+5,

Ac=l.

.•.点O介于B、C点之间.

故选C.

点睛：本题考查了数值以及绝对值，解题的关键是确定a、b、c的值.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目

时，根据数轴上点的位置关系分别找出各点代表的数是关键.

7、C

【解析】

由折叠得到EB=EF,ZB=ZDFE,根据CE+EB=9,得至ljCE+EF=9,设EF=x,得到CE=9-x,在直角三角形CEF中,

利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EF与CE的长，由FD与BC平行，得到一对内

错角相等，等量代换得到一对同位角相等，进而确定出EF与AB平行，由平行得比例，即可求出AB的长.

【详解】

由折叠得至UEB=EF,ZB=ZDFE,

在RSECF中，设EF=EB=x,得至ljCE=BC-EB=9-x,

根据勾股定理得：EF2=FC2+EC2,即X2=32+(9-x)2,

解得：x=5,

，EF=EB=5,CE=4,

：FD〃BC,

.".ZDFE=ZFEC,

/.ZFEC=ZB,

；.EF〃AB,

.EF_CE

故选C.

【点睛】

此题考查了翻折变换(折叠问题)，涉及的知识有：勾股定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握

折叠的性质是解本题的关键.

8、C

【解析】

试题分析：根据科学记数法的概念可知：用科学记数法可将一个数表示axlO”的形式，所以将1.UU1U1B4用科学

记数法表示3.4x10-1。，故选C.

考点：科学记数法

9、C

【解析】

首先求出二次函数y=无2-4x-〃?的图象的对称轴x=-丁=2,且由a=l＞0,可知其开口向上，然后由A(2,)

中x=2,知'最小，再由B(-3,y,),C(-1,yp都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x得增大而减小，

所以丫2＞丫3•总结可得丫2＞丫3＞丫「

故选c.

点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解答此题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数

y=on+bx+c（a*0）的图象性质.

10、C

【解析】

根据直线的性质公理，相交线的定义，垂线的性质，平行公理对各小题分析判断后即可得解.

【详解】

解:在同一平面内，

①过两点有且只有一条直线，故①正确；

②两条不相同的直线相交有且只有一个公共点，平行没有公共点，故②错误；

③在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确；

④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确，

综上所述，正确的有①③④共3个，

故选C.

【点睛】

本题考查了平行公理，直线的性质，垂线的性质，以及相交线的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

n、77-

【解析】

试题分析：要求重叠部分△AEF的面积，选择AF作为底，高就等于AB的长；而由折叠可知/AEF=NCEF,由平行

得NCEF=/AFE,代换后，可知IAE=AF,问题转化为在RSABE中求

AE.因此设AE=x,由折叠可知，EC=x,BE=4-x,

在RtZkABE中，AB2+BE2=AE2,即32+（4-x）2=x2,

解得：x=ar-,即AE=AFHOS

因此可求得MxAFXAB=TXT-X3=T7.

考点：翻折变换（折叠问题）

12、(2,-3)

【解析】

根据：对于抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k).

【详解】

抛物线y=(x-2)2-3的顶点坐标是(2,-3).

故答案为(2,-3)

【点睛】

本题考核知识点：抛物线的顶点.解题关键点：熟记求抛物线顶点坐标的公式.

13、210.

【解析】

利用邻补角的定义求出ZABC+ZBCD,再利用四边形内角和定理求得NA+/D

【详解】

VZ1+Z2=21O°,

ZABC+ZBCZ)=180ox2-210°=150°,

/4+/。=360°-150°=210°.

故答案为:210.

【点睛】

本题考查了四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用邻补角的定义求出N45C+/BCO是关键.

14、1

【解析】

SAD

由/ACD=NB结合公共角/A=NA,即可证出△ACDsaABC,根据相似三角形的性质可得出下皿»=(——)

AC

MBC

1

=下，结合AADC的面积为1,即可求出△BCD的面积.

4

【详解】

VZACD^ZB,ZDAC^ZCAB,

：.AACD^^ABC,

SAD11

—Mg=()(2)

sAC4

AABC

••♦"q△ABC=4S△ACD=4,r

•c=q_q=4-1=1

♦•屋BCD△AUCACD

故答案为1.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质.

15、同位角相等，两直线平行.

【解析】

试题解析：利用三角板中两个60。相等，可判定平行

考点:平行线的判定

16、73

【解析】

要求AE的长，只要求出OA和OE的长即可，要求OA的长可以根据/B=30。和OB的长求得，OE可以根据NOCE

和OC的长求得.

【详解】

解：连接OD,如图所示，

由已知可得，ZBOA=90°,OD=OC=3,ZB=30°,ZODB=90°,

..BO=2OD=6,NBOD=60°,

ZODC=ZOCD=60°,AO=BOtan30°=6x

3

VZCOE=90°,OC=3,

OE=OCtan60°=3x一自=3^3，

/.AE=OE-OA=36-273=73>

【点晴】

切线的性质

17、4网

【解析】

根据已知图象，重新构造直角三角形，利用三角形相似得出CD的长，进而利用勾股定理得出最短路径问题.

【详解】

如图所示：

A

D

3—-<L

二

C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABLBD,ED±BD,连接AC、EC.设CD=x,

若AB=5,DE=3,BD=12,

当A,C,E,在一条直线上，AE最短，

VAB1BD,ED1BD,

，AB〃DE,

/.△ABC^EDC,

.AB_BC

••,——,

DECD

.512-CD

••一=------9

3CD

9

解得：DC=_.

9,_____

即当x=,时，代数式,25+（12-x）24AM77有最小值,

/25+(12-|)2+^9+(|)2=4,/13.

此时为:

故答案是：4JTT.

【点睛】

考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）证明见解析；（2）0

2

【解析】

试题分析：（1）首先连接OD,CD,由以BC为直径的。O,可得CDLAB,又由等腰三角形ABC的底角为30。，可

得AD=BD,即可证得OD〃AC,继而可证得结论；

（2）首先根据三角函数的性质，求得BD,DE,AE的长，然后求得△BOD,△ODE,△ADE以及△ABC的面积，

继而求得答案.

试题解析：（1）证明：连接OD,CD,

50

•；BC为。O直径，

/.ZBDC=90°,

即CD_LAB,

VAABC是等腰三角形，

，AD=BD,

VOB=OC,

.•.OD是AABC的中位线，

：.OD〃AC,

VDE±AC,

/.OD±DE,

点在。O上，

；.DE为。O的切线；

(2)解：VZA=ZB=30°,BC=4,

1_

CD=2BC=2,BD=BC»cos30°=2y/3,

AD=BD=2y/3,AB=2BD=4①,

11

•••SAABC=2AB・CD=-X4V3X2=4逐,

VDEIAC,

11__

/.DE=2AD=2x2^3=V3,

AE=AD*cos30°=3,

11

AODE=2^OD，DE=-2X2X乖=事,

11尸3万

SAADE=2AE・DE=—xx3=>>

••_1_111__

,SABOl)=2SABCD=2X2SAABC4x4y/3=事，

'AOEC=SAABC0BOD£ODE'^AADE="/"/'

19、（1）一台A型无人机售价800元，一台3型无人机的售价1000元;

（2）®y=-200X+50000；②购进A型、3型无人机各16台、34台时，才能使总费用最少.

【解析】

（1）根据3台4型无人机和4台8型无人机共需6400元，4台4型无人机和3台5型无人机共需6200元，可以列

出相应的方程组，从而可以解答本题;

（2）①根据题意可以得到y与x的函数关系式;

②根据①中的函数关系式和B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍，可以求得购进A型、B型无人机各多

少台，才能使总费用最少.

【详解】

解：（1）设一台A型无人机售价x元，一台B型无人机的售价y元,

3x+4y=6400

4x+3)，=6200'

x=800

解得，

1y=1000'

答：一台A型无人机售价800元，一台B型无人机的售价HXX）元;

（2）①由题意可得,

y=800x+1000(50-x)=-200x+50000,

即y与*的函数关系式为y=-200x+50000.

②•：B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍,

/.50-x>2x,

2

解得，x<16_,

y=-200x+50000,

.•.当x=16时，y取得最小值,此时y=-200X16+5(X)00=46800,50-x=34,

答：购进A型、B型无人机各16台、34台时，才能使总费用最少.

【点睛】

本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次

函数的性质和方程的知识解答.

【解析】

1

【分析】(1)将P(m,n)代入y=kx,再结合m=2n即可求得k的值，联立y=-与y=kx组成方程组，解方程组即

x

可求得点P的坐标；

(2)画出两个函数的图象，观察函数的图象即可得.

【详解】⑴,.•函数y=kx(k。o)的图象交于点P(m,n),

:.n=mk,

Vm=2n,n=2nk»

1

Ak=-,

1

...直线解析式为：y=-x,

-1

X

解方程组，;，得<1

V=—Xy

I22

...交点P的坐标为：(JI,丑)或(-J2,--)；

22

(2)由题意回出函数丫=—的图象与函数丫=kx的图象如图所示，

x

1,

♦.•函数y=—的图象与函数丫=1«的交点P的坐标为(m,n),

X

・••当k=l时,P的坐标为(1,1)或(-1,-1),此时lml=lnl,

当k>l时，，结合图象可知此时ImklnL

.•.当时,k>i.

【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点，待定系数法等，运用数形结合思想解题是关键.

21、(1)①2；②3；(2)AD=BC；(3)作图见解析；BC=4；

【解析】

(1)①根据等边三角形的性质可得出AB=AC=1、ZBAC=60,结合“旋补三角形”的定义可得出AB，=AC=1、

NB，AC=120。，利用等腰三角形的三线合一可得出/ADU=90。，通过解直角三角形可求出AD的长度；

②由“旋补三角形”的定义可得出/B，AC，=90o=/BAC、AB=AB\AC=AC,,进而可得出△ABC四△ABX7(SAS),

根据全等三角形的性质可得出B，C，=BC=6,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出AD的长度；(2)

AD=BC,过点B，作B宓〃AC，，且B，E=AC,连接C，E、DE,则四边形ACCB，为平行四边形，根据平行四边形的性

质结合“旋补三角形”的定义可得出/BAC=/AB，E、BA=AB\CA=EB\进而可证出△BAC丝z^ABE(SAS),根据

全等三角形的性质可得出BC=AE,由平行四边形的对角线互相平分即可证出AD=.BC；(3)作AB、CD的垂直平分

线，交于点P，则点P为四边形ABCD的外角圆圆心，过点P作PFLBC于点F,由(2)的结论可求出PF的长度，

在R3BPF中，利用勾股定理可求出BF的长度，进而可求出BC的长度.

【详解】

(1)①:△ABC是等边三角形，BC=L

..AB=AC=1,ZBAC=60,

，AB'=AC'=1,/B'AC'=120°.

VAD为等腰△ABC的中线，

.,.AD1BC,.NC，=30。，

NADC，=90。.

在R3ADC，中，/ADC，=90。，ACF=1,ZCr=30°,

.*.AD=ACf=2.

@VZBAC=90°,

・・・NB'AC'=90。.

在^ABC和aABX7中，_____，

UU=「L

.,.△ABC^AABrCr(SAS),

・・BC=BC=6,

AAD=BCr=3.

故答案为：①2；②3.

(2)AD=BC.

证明：在图1中，过点作B，E〃ACl且B，E=ACl连接C，E、DE,则四边形ACCB，为平行四边形.

•?NBAC+NB'AC'=140。，ZBrACr+ZABrE=140°,

AZBAC=ZABT.

在ABAC和△AB，E中，/___.，

__—___

AABAC^AABT(SAS),

ABC=AE.

VAD=AE,

/.AD=BC.

(3)在图1中，作AB、CD的垂直平分线，交于点P,则点P为四边形ABCD的外接圆圆心，过点P作PFJ_BC

于点F.

VPB=PC,PF±BC,

；.PF为APBC的中位线，

.*.PF=AD=3.

1

在RSBPF中，ZBFP=90°,PB=5,PF=3,

/.BF==1,

.\BC=2BF=4.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理以及全等三

角形的判定与性质，解题的关键是：(1)①利用解含30。角的直角三角形求出AD=.AC，；②牢记直角三角形斜边上的

中线等于斜边的一半；(2)构造平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分找出AD=.AE=.BC；(3)利用(2)的

11

结论结合勾股定理求出BF的长度.

22、(1)证明见解析;(2)证明见解析.

【解析】

分析：(1)由AO〃5C可得出结合可得出NOC5=NAE5,进而可得出AE〃/)C、

FMAM

△AMF-ACMD,根据相似三角形的性质可得出——=---,根据AO〃5C,可得出△根据相似三

DMCM

AMDMFMDM

角形的性质可得出——,进而可得出——,即MDi=MF*MB；

CMBMDMBM

(2)设尸M=a,则5/=3a,BM=4a.由(1)的结论