矩阵的特征值问题

关于矩阵的特征值问题1设A是n阶方阵，如果存在一个数

及非零向量则称

为A的一个特征值,α为A的对应于（或属于）α,使得特征值

的特征向量。第一节特征值与特征向量比如，给定定义1第2页,共71页，2024年2月25日，星期天如何求方阵A的特征值与特征向量?分析:若是A的特征值，是A的属于特征值的特征向量，α

Aα=λα,即(λE-A)α=0(α≠0),可见:α是齐次线性方程组(λE-A)X=0的非零解.由于是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，故有非零解的充分必要条件是系数行列式|λE-A|为零，即

|λE-A|=0. (称此方程为A的特征方程).(λE-A)X=0.λ

由此可知:是特征方程的根。λ

|λE-A|=0λλα则由定义有第3页,共71页，2024年2月25日，星期天求矩阵A的特征值与对应的特征向量的步骤可以归纳为：(2)将每个特征值λ=

代入齐次线性方程组,得

(

E-A)X=0，特征向量.解方程组，求出基础解系，基础解系的线性组合(1)求出A的特征方程|λE-A|=0的全部根，即得矩阵A的全部特征值

.求矩阵A的特征值与对应的特征向量的步骤可以归纳为：（零向量除外）就是A的对应于特征值

的全部

第4页,共71页，2024年2月25日，星期天例1求矩阵A=解

A的特征方程为故得A的特征值为λ1=-1,λ2=λ3=2.的特征值与特征向量.|λE-A|=0即第5页,共71页，2024年2月25日，星期天当λ1=-1时，解线性方程组(-E-A)X=0,得基础解系α1=(1,0,1)T，于是对应于λ1=-1的全体特征向量为k1α1,k1为任意非零常数.当λ2=λ3=2时，解线性方程组(2E-A)X=0,即得基础解系α2=(1,0,4)T,

=(1,4,0)T,于是对应于λ2=λ3=2的全部特征向量为k2α2+k3α3(k2,k3是不同时为零的任意常数).＝

＝即第6页,共71页，2024年2月25日，星期天例2求矩阵A=解

A的特征方程为故得A的特征值为λ1=2,λ2=λ3=1.的特征值与特征向量.|λE-A|=第7页,共71页，2024年2月25日，星期天＝得基础解系α1=(0,0,1)T.于是对应于特征值λ1=2的全部特征向量为k1α1(k1为任意非零常数).当λ2=λ3=1时，解齐次线性方程组(E-A)X=0，即＝得基础解系α2=(1,2,-1)T.于是对应于特征值λ2=1的全部特征向量为k2α2(k2为任意非零常数).当λ1=2时，解齐次线性方程组(2E-A)X=0，即第8页,共71页，2024年2月25日，星期天注意:例1中对于二重特征值对角化问题的讨论具有重要意义.线性无关的特征向量的个数只有一个,这对后面方阵对应于二重特征值的存在两个线性无关的特征向量;而例2中第9页,共71页，2024年2月25日，星期天例3

设λ是方阵A的特征值，证明(1)λ2是A2的特征值；(2)当A可逆时，证明设α≠0是A的对应于λ的特征向量，则

A=λα,于是

(1)

α(2)当A可逆时，由Aα=λα有α=λA-1α.因α≠0，α,即是A-1

的特征值.知λ≠0，故Aα=22故λ是A的特征值.-1第10页,共71页，2024年2月25日，星期天(1)(A)=

有特征值.有特征值.ψ(A)=

.ψ(λ)=注进一步容易证明：若A有特征值，则φ(λ)=

(2)当A可逆时,λφ

第11页,共71页，2024年2月25日，星期天二、特征值与特征向量的性质设A是n阶矩阵，则A与有相同的特征值.

性质1A证明因为|λE-A|=|(λE-A)|=|λE-A|,

所以A与A有相同的特征多项式，

故它们的特征值相同.TTTT第12页,共71页，2024年2月25日，星期天设A=(aij)是n阶方阵，则

＝λn-(a11+a22+…+ann)λn-1+…+(-1)n|A|.|λE-A|＝由n次代数方程的根与系数的关系有性质２:第13页,共71页，2024年2月25日，星期天性质2设n阶方阵A=(

)的n个特征值为则

(1)

由此定理很容易有推论:称为矩阵A的迹，记作trA.其中A的全体特征值之和=|A|.(2)第14页,共71页，2024年2月25日，星期天推论

n阶方阵可逆的充分必要条件是它的全部特征值都不为零.例4设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2，求|A*+3A-2E|.解依题设，A没有零特征值，所以A可逆，故A*=|A|A-1.又|A|=λ1λ2λ3=-2,

故φ(A)的特征值为

φ(-1)=-3,φ(1）=-1,φ(2)=3,

于是|A*+3A-2E|=(-3)(-1)·3=9.将上式右端记作φ(A),有所以A*+3A-2E=-2A+3A-2E.-1φ(λ)=-

+3λ-2,第15页,共71页，2024年2月25日，星期天16

∵

∴∴

29.设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵.已知求的值.回顾第二章习题解第16页,共71页，2024年2月25日，星期天性质3设A为n阶方阵，

是A的m个不同的特征值，

分别是A的对应于

的特征向量，则

线性无关.即属于不同特征值的特征向量线性无关.性质4设n阶方阵A的相异特征值为λ1,λ2,…,λm，(i=1,2,…,m),则向量组α11,α12,…,,α21,α22,…,,…,αm1,αm2,…,线性无关.对应于的线性无关的特征向量为第17页,共71页，2024年2月25日，星期天例5设

和

是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为

和

，证明不是A的特征向量.依题设有

A=

,A=

,A(

)=

(

)

证明用反证法.假设

是A的对应于某特征值

的特征向量，则第18页,共71页，2024年2月25日，星期天19第19页,共71页，2024年2月25日，星期天第二节相似矩阵与矩阵的对角化设A,B为n阶方阵，若有可逆矩阵P,使定义2则称B是A的相似矩阵，或称矩阵A与B相似，A~B.

记作简单地讲，若，则称A与B相似.一、相似矩阵及其性质第20页,共71页，2024年2月25日，星期天例如，给定矩阵A=P=

以及Q=使得

P-1AP=

Q-1AQ=.由此可知，与A相似的矩阵并不唯一．存在矩阵也不一定是对角矩阵.

第21页,共71页，2024年2月25日，星期天

相似是矩阵间的一种特殊的等价关系，即两个相似矩阵是等价矩阵；即若，则(1)反身性A~A;(2)对称性若A~B,则B~A;(3)传递性若A~B,B~C,则A~C.相似的两个矩阵之间，还存在着许多共同的性质.A~B.反之不然，但相似关系仍具有以下性质第22页,共71页，2024年2月25日，星期天

.

性质1

因此，A与B有相同的特征值.

证明只需证明A与B具有相同的特征多项式.

实际上，由A~B，必有可逆矩阵P,使

.若A～B,则A与B有相同的特征多项式和特征值于是第23页,共71页，2024年2月25日，星期天性质2若A～B，则，其中m为正整数

证明由A~B,必有可逆矩阵P,使

.于是所以第24页,共71页，2024年2月25日，星期天(1)若A~B,则|A|=|B|;(2)若A~B,则trA=trB;(3)若A~B，则R(A)=R(B);(5)若A~B,则A与B有相同的可逆性，且当A与B都可逆时，

~

.两个矩阵的相似关系还具有下述性质(4)若A~B,则

~

;第25页,共71页，2024年2月25日，星期天二、矩阵可对角化的条件

我们将讨论矩阵可对角化的充分必要条件.如果n阶方阵A可以相似于一个n阶对角矩阵Λ,则称A可对角化，称Λ为A的相似标准形.

由性质1可知，若则Λ的对角线元素就是A的n个特征值.然而，并非所有的n阶矩阵可对角化.下面，第26页,共71页，2024年2月25日，星期天证明必要性设A~Λ,其中Λ=diag(λ1,λ2,…,λn),则存在可逆矩阵P,使

P-1AP=Λ或AP=PΛ.（*） 将矩阵P按列分块，记P=(α1,α2,…,αn),.A(

)=()定理1

n阶方阵A相似于n阶对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.其中

是矩阵P的第i列(i=1,2,…,n),则(*)可写成

第27页,共71页，2024年2月25日，星期天因P可逆，所以

≠0(i=1,2,…,n),

充分性设

是A的n个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为

是A的n个线性无关的特征向量.

是A的对应线性无关.由此可得A=

(i=1,2,…,n).于特征值

的特征向量，记矩阵P=(

)，则P可逆，且且因此且即第28页,共71页，2024年2月25日，星期天AP=A(α1,α2,…,αn)=(Aα1,Aα2,…,Aαn)=(λα1,λ2α2,…,λnαn).注(1)定理的证明过程实际上已给出了把方阵对角化的方法；=(

)=PΛ,于是有PAP=Λ,即A~ΛP中列向量的次序与矩阵Λ对角线上的特征值的次序相对应.推论若A的特征方程的根都是单根，则A与对角矩阵Λ相似.-1第29页,共71页，2024年2月25日，星期天

.注意当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化.例如，在上节例1中A有二重特征值

=

=2，但因能找到三个线性无关的特征向量，故此A可对角化；而在例2中A也有二重特征值

=

=1，但却只能找到两个线性无关的特征向量，故此A不能对角化.第30页,共71页，2024年2月25日，星期天例1已知A=与B=(1)求x和y;(2)求一个可逆矩阵P,使P-1AP=B.解(1)方法一由于A~B,故|λE-A|=|λE-B|,即=,从而(λ-2)(λ2-xλ-1)=(λ-2)(λ-y)(λ+1),将λ=-1代入得x=0.于是有λ2-1=(λ-y)(λ+1).因此，y=1.相似.第31页,共71页，2024年2月25日，星期天可分别求得A的对应于特征值2,1,-1的特征向量,α2=,α3=.于是，可逆矩阵

P=(α1,α2,α3)=,可使P-1AP=B.方法二由于A~B,故|A|=|B|,trA=trB，即有

-2=-2y,2+x=1+y,解得x=0,y=1.=(2)由于A~B,故A与B有相同的特征值2,1,-1.解齐次线性方程组(λE-A)X=0,第32页,共71页，2024年2月25日，星期天例2已知A=解

A的特征多项式===(λ-1)(λ+1)2,可对角化，求k.|λE-A|=第33页,共71页，2024年2月25日，星期天-E-A=→→故k=0时，A可对角化.A的特征值为

=1,

=

=-1.由定理1可知，数矩阵的秩R(E-A)=1,而关的特征向量，故线性方程组(E-A)X=0的系对应二重特征值

=

=-1,A应有两个线性无第34页,共71页，2024年2月25日，星期天2.已知α=是A=的逆矩阵A-1的特征向量，求

.解设是的属于特征值的特征向量，则即

解此方程组得或第35页,共71页，2024年2月25日，星期天3.设A是n阶方阵，证明：若

，则A的特征值只能是-1或1.证设是A的特征值是A的属于特征值的特征向量，则即

故即或因为第36页,共71页，2024年2月25日，星期天4.已知三阶矩阵A的特征值为1，2，3，试求A*+3E的特征值.B=解的特征值为.故

第37页,共71页，2024年2月25日，星期天6.设A与B都是n阶方阵，且|A|≠0，证证明：AB与BA相似.第38页,共71页，2024年2月25日，星期天8.设三阶方阵A的特征值为1，0，-1，对应的特征向量求依次为解因为依题设有第39页,共71页，2024年2月25日，星期天9.设矩阵A=特征向量，求x和y应满足的条件.有3个线性无关的，得（二重），

可见方程的基础解系含2个解向量，

又从而解由第40页,共71页，2024年2月25日，星期天第三节实对称矩阵的特征值和特征向量一、向量的内积(数量积）在空间解析几何中，两个向量的内积定义为第41页,共71页，2024年2月25日，星期天而向量α的长度（模）定义为并且α,β的夹角θ满足

我们可以把三维向量的内积推广到n维向量，定义n维向量的内积、长度和夹角.第42页,共71页，2024年2月25日，星期天定义4

设为Rn中的两个向量，称为向量α与β的内积，记作[α,β]（或），或即注意:若则第43页,共71页，2024年2月25日，星期天容易证明内积满足下列性质：第44页,共71页，2024年2月25日，星期天定义5

向量的长度具有下述性质：设为向量α的长度（也称范数），记作‖α‖,即第45页,共71页，2024年2月25日，星期天这一过程叫做向量的单位化或标准化.(1)非负性‖α‖≥0;(2)齐次性‖kα‖=|k|·‖α‖;(3)三角不等式‖α+β‖≤‖α‖+‖β‖.当‖α‖=1时，称α为单位向量或标准向量.

任一非零向量除以它的长度后就成了单位向量.

第46页,共71页，2024年2月25日，星期天设α,β为Rn中的两个非零向量,则称为向量α与β的夹角.定义6定义7设α,β为Rn中的向量，若[α,β]=0，则称向α与β正交（或垂直），记作α⊥β.显然，零向量与任何向量都正交.

第47页,共71页，2024年2月25日，星期天若不含零向量的向量组（即该向量组中的向量定义8都不是零向量）中任意两个向量都正交，则称此向量组为正交向量组。则称此向量组为单位正交向量组或标准正交向量组.若一个正交向量组中每一个向量都是单位向量，第48页,共71页，2024年2月25日，星期天

因此

是一个线性无关的向量组.定理3正交向量组必是线性无关的向量组.

证明设n维向量

是正交向量组，则有[

]=0(i≠j). (*)设

=0,以

与上式两端同时做内积运算，并利用(*)式可得[

]=0.由

≠0知，[

]＞0,于是必有

=0(i=1,2,…,r),第49页,共71页，2024年2月25日，星期天例1已知向量α1=,α2=解设α3=,则[α1,α3]=0求一个非零向量

,使

为正交向量组.正交，，[

]=

0即由

得从而有基础解系ξ=.第50页,共71页，2024年2月25日，星期天取

=ξ,即可使

为正交向量组.注:1.我们常常采用正交向量组作为向量空间的基，称此基为向量空间的正交基.2.基向量都是单位向量的正交基又称为标准正交基.如是的正交基，只是的基，而不是正交基.如是中的标准正交基.3.中的标准正交基也不是唯一的.如第51页,共71页，2024年2月25日，星期天取β1=α1;β2=α2-β1;βr=αr-β1-β2--βr-1.

构造方法如下：

构造出一组与之等价的向量组给定n维向量空间中的一组线性无关的向量，(Schmidt)正交化方法.它是用线性无关向量组个正交向量组，这个变换的方法称为施密特我们可以通过适当的变换方法由它们构造出一第52页,共71页，2024年2月25日，星期天如果对彼此正交的向量组

再分别单位化，即γ1=,γ2=,,γr=,显然为单位正交向量组.当r=n时，

即为向量标准正交基.可以验证

两两正交，且

与

等价.

空间的一组第53页,共71页，2024年2月25日，星期天例2设α1=,α2=,α3=试用施密特正交化方法将这组向量化为R3的一组标准正交基.解先将

正交化，取β1=α1=β2=α2-β1=-=,第54页,共71页，2024年2月25日，星期天β3=α3-β1-β2-+=2.=再将它们单位化，取

γ2=,γ3=,即为所求.=第55页,共71页，2024年2月25日，星期天对例2给出的标准正交基γ1,γ2,γ3,可以验证它满足=以它们为列构成矩阵QQQ=E.T第56页,共71页，2024年2月25日，星期天定义9若n阶方阵Q满足QQ=E，则称Q为正交矩阵.(3)两个正交矩阵的乘积仍为正交矩阵.

(2)|Q|=-1或1;(1)Q=Q，且Q（或

Q)也是正交矩阵；由正交矩阵的定义，显然有下面的性质:T-1T-1T第57页,共71页，2024年2月25日，星期天定理4

Q为正交矩阵的充分必要条件是Q的列（行）向量组是单位正交向量组.证明将Q按列分块成则

定理得证.第58页,共71页，2024年2月25日，星期天由于QQ=E与QQ=E等价，故上述结论对Q的行向量组的情形也成立.注由此可知，只要我们求出了的一组标准正交基

,则以这n个向量为列（或行）构造出的n阶矩阵Q就是一个n阶正交矩阵.反之亦然.TT第59页,共71页，2024年2月25日，星期天二、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质实对称矩阵的特征值为实数.

实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量若λ是实对称矩阵A的特征方程的r重根，则性质1性质2相互正交.性质3对应于的特征方程也有个线性无关的特征向量。

λr

由此可见，实对称矩阵一定能够对角化。第60页,共71页，2024年2月25日，星期天定理5其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.

证明设A的互不相同的特征值为

,按列排列构成正交矩阵Q，有正交化并单位化，即得

个两两正交的单位特征向量，从而A有n个两两正交的单位特征向量.把它们依次恰有

个线性无关的特征向量，把它们进行施密特根据性质1和性质3知，对应特征值

(i=1,2,…,s)它们的重数分别为设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵Q,使三、实对称矩阵的对角化第61页,共71页，2024年2月25日，星期天,恰是A的n个特征值

其中对角矩阵Λ的对角元素含=diag(

)=Λ,第62页,共71页，2024年2月25日，星期天例3设实对称矩阵A=,求一个正交矩阵Q，使

为对角矩阵.解A的特征方程为|λE-A|==(λ-1)2(λ+2)=0,解得