解三角形大题综合-2023年新高考数学（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）

々题01泞届新高考-解三角形大题综合（泞届新高考江西、

广西、贵州、什内专用）

一、解答题

1.（2023•黑龙江齐齐哈尔•统考二模）已知”BC中，."=2,D为一45中点，8=&一

（1汨3c=8,求-4C的长度；

（2^JC=2BC,求乙?。的值.

snB

2.（2023•山西朔州怀仁市第一中学校校考模抵預测）在锐角中，已知

11tanC_③

---------=----,且c=2.

tan.4tanB2

（1冰tan.JtanB的值；

（2后角。取得最小值时，求UBC的面积.

3.（2023•湖南邵阳郃阳市第二中学校考模拟預测）在厶険。中，角A,B,C所对的

边分别是。，b,c,若38s（.4+刃=8s2c+2.

（1球角。的大小；

（2话…，求dMC的面积S的最大值.

4.（2023•安徽合肥・合肥市第六中学校考模蠣测）在①4asinC=3c8s.4,

②60cos=£=M&7smB这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充

完整的题.

在厶好。中，角.4,B,C的对边分别为a,b,c,已知,a=3&.

（2洌］图，。为边HC上一点，DC=DB,AB工BD,求dLBC的面积.

5.（2023•安敏合肥•合肥一中校考模拟預测）记75c的内角A,3,C的对边分别为

b,c,已知8sB=g.

（1球8s：g+tan-的值；

（2期5=4,S.m=2竝，求c的值

6.（2023・吉林通化・梅河口市第五中学校考勸既测）记JLBC的内角WBC的对边分

别为a立c,分别以。也，为边长的三个正三角形的面积依次为S,,S：,S,,已知

E+S.-S.=布,如。=立

*a5

(怵33c的面积3

(2港sinzisinB=@，求J

3

7.（2023•山东赧•统考師测）在厶空。中，角4BC所对的边分别为。也c,且

ABAC+B.4BC=2CACB

（1浩成等比数列，求角c的大小；

（2带）=1,sin'B-sin'J=-^-sin':C,求dlffC的面积.

8.（2023•山东泰安统考轴既测）在上LBC中，角.4、B、。的对边分别是a、b.c,

且28sC.sinjJ-cosJ=0.

（1球角C的大小3

（2港N.4C5的平分线交.45于点D,且8=2,BD=2AD,求亠“。的面积.

9.（2023•山东济宁・喜祥县第一卬钺考三模）已知锐角-15c的内角A,B,。的对

边分别为。，b,c,且=c、

（1球角A的大小；

（2港a=6,求方+c的取值范围

10.（2023•福建厦门•统考爵展测）记=15。的内角儿BC的对边分别为冬瓦％已知

abcosW-出c+cPcosB=0.

（1球。的值;

(2)点D在线段3c上，NR4C=120：NZJD=45：CD=1,求=LBC的面积.

11.（2023福建南平•统考模師测）已知UBC中，角一4,B,C的对边分别是a,b,c,

l-cos2BsinC-hCosC

且

sin26sinC-cosC

（1冰.4的大小;

（2»殳且D是BC边上的高，且3=2,求-LBC面积的最小值.

12<2023•福建泉州•校联考模拟預测也锐角亠MC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

旦=(ez2-J-C2|(tan-4-tanB|.

（1球角A的大小

（2港边a=&,边BC的中点为D,求中线长的取值范围.

13.（2023•湖睛水泡1储水中学校考模拟預测）锐角亠血?的内角.4,B,C的对边

分另物a,b,c,已知出MsinC+csin8)=4asin8sinC,b1+c--a:=8,

（1球8sA的值及"BC的面积；

（2）/A的平分线与BC交于。，DC=23。，求a的值.

M.（2023•黑龙江•黑龙江婚中学校考二模）在"BC中，以。，b,c分别为内角A,

B,C的对边，且8s：3+cos'C-8s'.4=1-sin3-sinC

（1球A;

（2期a=2",6=4,求力C的面积;

（3带。=2bcos8,a=3,求BC边上中线长.

15.（2023•黑龙江哈尔滨•哈师大附中统考三模）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》

中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：

S=J；……①（其中内角4B,C所对的边分别为a、b、cS

为UBC的面积）

（1）证明公式①：

⑵已知35c三条边友\皿?,心的高分别为力=卓也=立力=加，求S.

16.（2023•黒龙江哈尔滨哈九中校考第ft預測）已知厶怨。的內角.4,B,C的对边分

2忑acsinC

别为a,b,c,且tan-4+tanB

亠c：-b:(sinJ

（［球cosH的值j

（2殴X。为BC边上的高，a=6,求X。的最大值.

17.（2023•山西•校联考博妳测）如图，在亠4。中，。为边BC上一点,

AB=26BD=\,AD=j.

（1球角B；

（2双下面两个条件中选一个，求角C.

G）AC=2,.4D<CD}

②8SNDAC=0

14

18.（2023吉林长春长春吉大附中会学校校考模蛔測）在上匕。中，内角.4,B,

c所对的边分别为％b,c,已知C=2,C=p

（1m2sin2K+sin（23-C）=sinC时，求"BC的面积；

（2球厶■。周长的取值范围.

19.（2023•云南保山•统考二模）如图，在平面四边形AB8中，£3=1,5c=3,

AD=CD=2.

（1）当四边形-®0内接于圆。时，求角C；

（2后四边形-顧8面积最大时，求对角线助的长.

20.（2023•辽宁辽宁卖给中学校考髄預测）已知母。中，WnC=g

2

2

tan-4+tanB=jV?>

（1冰tan.4;

（2港点D为ac边上靠近点B的三等分点，求NMC的余弦值.

21.（2023•云南•校联考艶既测）已知函数力、）=4对皿冋0》+看>&的相邻两

条对称轴之间的距离为三.

（1球函数力x）在区间弓耳］上的值域；

（2左锐角厶4。中，角A,B,C的对边分别为。，b,，，旦力山=召，Ka=8,

c=#+虚，求-IBC的面积.

22.（2023•黑龙江±庆大庆卖給中学校考神預測）在厶結。中，角.4,B,C所对的

边分别为。，b,c,已知匕-』=2a8&BcosC,其中，.

（1球角8的大小；

（2期/+3c：=12-5ac,求ALBC面积的最大值.

23.（2023•黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考模蠣测）在JLBC中，角45C的对边分

别为。也%已知方=出一〃2.

厶tanA一_

（1球不万的值；

（2球tanC的最大值

24.（2023•安敏滁州・安敏省定远中学校考模拟預测）已知dMC的内角」B,C的对

边分别为b'c,向量p=(a,c-b),

q=(sinC+sinB,sinA+sinB),曰p"q一

(1球角。；

(2港。=3朮2ABe的面积为苧，求dLBC的周长.

25.(2023・安敏淮北•统考二模)已知J1BC的角.4,B,C的对边分别为a,b,c,且

c(sinC->^sinB|=(a-&)(sin.4+sinB|.

(怵4;

(2带3BC的面积为4，sin3=l+cosC,点。为边BC的中点，求⑶的长.

26.(2023•江苏南京南京师大附中校考模拟預测)已知。、b、c分别为的三个

内角A、B、C的对边长，a=2,且S+2)(sinK-sin3)=c(sin3-sinC).

(1球角A的值3

(2或AL8C面积的取值范围.

27.(2023•江苏无锡根联考三模)已知"5C的内角A,B,C所对的边分别是*b,

c,且______.

在①=asinB；②/sinC+cosC=^--}③匕‘+c：—a：=^^。,911.4这三个

2a3~

条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答.

(怵A;

(2错b=2,c=3,点N为.4C的中点，点M满足面?=2砺，且硏，C"相交于点尸,

求cosZBPC.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

28.(2023•湖南长沙长郡中学校联考骸测)记"BC的内角小B,C的对边分别

sinC+siaB

为a,b,c,已知tan4=

cosC+cosB

(1球.4的值3

(2港d険。是锐角三角形，求上匕的取值范围.

29.(2023•浙江校联考劇既测)在-L5C中，角45。的对边分别为。也c旦

dcosC+csinB=a.---------------=6^/2,

sin_4+2sinB'

(1球如

(2床X。边上中线长的取值范围.

30.(2023•湖北•黄冈中学校联考齣既测)如图，在平面四边形ABC。中，.2_.僞,

(1错HC=J7,求的面积；

(2港乙1DC=W，8=2馅，求1312匚山.

V題01首屈新高考-解三角形大题综合（首届新高考江西、

广西、贵州、甘肃专用）

一、解答题

1.（2023•黑龙江齐齐哈尔•统考二模）已知”BC中，."=2,D为一45中点，8=&一

（1汨3c=8,求-4C的长度；

（2^JC=2BC,求乙?。的值.

snB

【答案】（1）2

⑵奪

【分析】（D由余弦定理和互补角的余弦关系即可求解J

（2）根据余弦定理和正弦定理即可求解

【详解】（1〉在厶血'中，由余弦定理得，

一,DMBD^CIy-BC:0

cosZdijjL=-----------------------二—t

2BDCD4

cosZADC=-cosABDC=------>

4

在AlDC中，AC*2=.4D2+CD:-2AD-CDcosZADC=4,

所以.4C的长度为2.

（2）设BLx,贝ijHC=2x,在和中分别利用余弦定理得

,4x*+1-24x2+4-x2

cosA=------------=----------------,

2-2xxl22xx2

解得》=粤（负根舍）

因为乙1DC+Z5JDC=n>

所以sinzL!DC=sinZBDC,

在厶38中，由正弦定理得史上些=变=走，

sinBCD5

HnsinZ.ADCJ15

sin35

2.（2023•山西朔州•怀仁市第一中学校校考匐ft預测）在锐角匕15。中，已知

11tanC_c

------------------------,-c=2.

tanJtanB2

（1球tanJtanB的值；

（2心角。取得最小值时，求zUBC的面积.

【答案】(l)tan.4tan5=2

3近

【分析】3）根据正切两角和公式逬行化简求得结果;

(2)根据均值不等式、正弦定理以及面积公式进行求解即可

【详解】(1)因为.4+2+C=;c,所以tanC=tan/兀一(月+3)]=-tan(.4+8)=皿4+^^

L」tanJtanB-1

rrnu11tHIlC匕白、।tHlU-tHIlB1皿4-13118

因为---------=----,所LA-----=-------,

tan.4tanB2tan-ftaaB2tanzltanS-1

在锐角三角形中，团L4>OjanB>0,所以tanJ-tanB>0)

所以tanAtanB=2tan.4tanB-2,即tan.4tanB=2;

⑵由⑴可知,tanC=2（高+靠=tan-4-tanB>2>/tanJtanB=20,

当且仅当tarU=tanB=e时，上述等号成立，

由tanJ=tanB=6>0得43《。5]>

所以sin.4=sinB=半,

由tanC=2&同理可得sinC=芈，

c_2_a_b

由正弦定理可得sinC20sin.4sinB,解得，

亍

所以S，”=\bsinC=Lx0百金叵=血

'由223

3.（2023•湖南邵学校考模蠣测）在亠険。中，角A,B,C所对的

边分另|J是。，b,c,若38s（4+B）=cos2c+2.

（1球角。的大小；

（2港，=6,求3BC的面积S的最大值.

t答案】（時

(2)3若

【分析】（1）根据内角和关系和诱导公式，二倍角余弦公式化简方程，可求cosC,由

此可得角C的大小J

（2）由条件根据余弦定理可得标+炭-36=Y3结合基本不等式求质的最大值，结

合三角形面积公式求S的最大值.

【详解】⑴因为8s(4+3)=8S(JC-C)=-8SC,COS2C=2COS-C-1,

所以38s(4+8)=8S2c+2可化为28s：C丁38SC+1=0,

所以(28SC+1)(8SC+1)=0,又因为cosCe(Tl)

解得cosC=_g,又因为Ce(Oi),

所以。咛2jr.

(2)由余弦定理得8sC="二'=-［，所以+炉-C'=Y6,

2ab2

又c=6,所以a，十斤一36=T?b,

所以庁+尸=36-4b,

又因为炉+工2为"当且仅当。=。时等号成立，

所以36-附22而，所以就412,当且仅当。=匕=2』时等号成立，

所以三角形的面积S=:MsinC=正加43出，当且仅当a=b=2』时等号成立，

24

所以三角形面积的最大值为38

4.(2023•安徽合肥•合肥市第六中学校考模拟預测》在①4asinC=3ccosH,

②66cos与£=M7sm3这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充

完整的题.

在dLBC中，角.4,B,C的对边分别为a,b,c,已知,a=3应.

(1求sinA；

(2)如图，。为边KC上一点，DC=DB,ABtBD,求厶^。的面积.

【答案】(1)|

(2)6

【分析】3)若选择条件①，利用正弦定理将边化角，再根据同角三角函数的基本关系

计算可得；若选择条件②，利用正弦定理将边化角，再利用诱导公式及二倍角公式求出

8S4，即可求出smg,最后利用二倍角正弦公式计算可得，

⑵设SD=DC=3x(x>0),易知.4D=5x,.4B=4x,再利用余弦定理求出工，最后

由面积公式计算可得.

【详解】(1)若选择条件①，在二山c中44sinC=3c8sN,

由正弦定理得4Wn.4sinC=3sinC8sM)

vsinC^O,.\4sinJ=3cosJ>BP16sin:-4=9cos2J=9(l-sin;A),

/.25sin-A=9f

yvsin.4>0,..smJ=1

B+C

若选择条件②，Q的8s^/lO^sinB

2

二6dcos=•s^O^sinB,艮卩6sinBsiny=sinJsinB,

又•.,sinBwO,/.6siny=^710sinJ,3f|^x6siny=sin-cosy,

7L，所以Wn令0,所以8s*嚟，则

因为/£(0,兀)，所以

A.t>A-\/10

sin-=.1-005*-=----->

2\210

2WnM=2环血之

2210105

(2)设即=DC=3x(x>0),易知月D=5x,zL5=4x,

因为Xn.4=^■目A为锐角，所以8SK=Jl-sin==g

在dlffC中，由余弦定理〃二=b：+r-2bccosN,

即18=(5x+3x『+(4xf-2x8x-4x4,解得》=胆或》=-叵(舍去)，

544

所以c=4x=次，ft=8A=27iO,

:=；3csin/=；x>>^Ux2"vA'^xW=6.

5.(2023•安雷自肥•合肥一中校考模蠣测)记d4BC的内角A,3,C的对边分别为。,

b,c,已知8s8=；.

(1球8S-+tan：与£的值；

(2期b=4,*即=2收，求c的值.

【答案】(1)|

(-)c=^2或c=3^2

【分析】(1)利用二倍角公式及诱导公式计算可得;

（2）由面积公式求出/，再由余弦定理得到关于，的方程，解得即可.

【详解】（1）因为8sB=；,

.,A+C

？B、4―C1+8S5?

所以cos*—+tarr-------=-----------+--------

⑺人222T+C

COS------------

2

1*cos51-8S（月+C）

2l+8S（a+C）

屮屮

_1+8SB1^COSB_X3W_8

=—2—"l-cosB="2-—11=1

3

（2）因为8sg=；,sinB=71-cos-B=,

33

因为S,j“=20,即;acsinB=：ac-二^=2应，所以出'=6,

再由余弦定理知方=a'+c：-2ac8sB,即手=（；）+c：-2x6x；,

即厂-2a-+36=0,解得c'=2或相=18

所以c=&或c=30（负值舍去）.

6.（2023•吉林通化•梅河口市第五中学校考模蛔测）记厶^。的内角43c的对边分

别为。也*分别以。也。为边长的三个正三角形的面积依次为s,,s：：s,,已知

S[+S：—S[=^,sinC=~^~•

（1球dLBC的面积；

（2浩皿如山選，求J

3

【答案】⑴今

⑵当

【分析】（D根据面积公式及余弦定理得到曲8SC=2,再求出cosC,即可求出而，

最后由面积公式计算可得；

（2）由正弦定理求出」方，即可得解

snC

【详解】（1）由题意得S,=?歩.*=正才，s、=並胪，s、=&,

22424,4

贝|JS,+S「S、=並a：+且三一走c?=出，即优一C?+尸=4,

444

由余弦定理得8s八鼻L,整理得而8SC=2,则8SC＞。，又T

则8sC=Jl—j^^j=?£,所以ab=coH=君，＞m=—odsinC=­j

（2）由正弦定理得刍=，==三，

snBsin.4smC

c:abab书」

所以sin2CsitusinBsin4sinB的，

3

则木二退或袅=不(舍去)，所以cSiG萼

7.(2023•山东鮫统考前测)在UBC中，角45c所对的边分别为。力工，目

.4BAC-^RABC=2CACB

(1语a/，c成等比数列，求角。的大小；

(2港。=1,且sin'B-sin；Nnlsin'C,求d43C的面积.

【答案】(1g

⑵亜

10

【分析】3)根据题意，利用额量积的定义化简得到cbcosX-cacos5=238SC,再

由余弦定理得到标+加=2庁，结合^=",求得。=6=c,即可求解；

(2)由(D知"+加根据题意，利用正弦定理可得炉-标=；。)联立方程组

求得a瓦C的值，结合余弦定理求得8s/=qg,得到stn.4=甯，利用面积公式，即

可求解.

【详解】⑴因为瓦茨+市.函=2百.通，

根据向量的数量积的定义，可得cbcosX+ca8s5=238sC,

由余弦定理可得"二一二《.歩-「一"=2±-"一「,整理得出+斤=年，

222

因为。也，成等比数列，所以工=农，解得a=b=c

所以JLB。为等边三角形，所以C=g.

(2)解：由(1)知歩+炉=勿’,

又由sin--B-sin:月C,根据正弦定理可得加-a：=｝；,

联立方程组，解得c=卷2"

因为匕=1,所以C=莖，a=迫,

55

由余弦定理可得cos力=¥=遇，所以sin月="。1=亘，

2bc1010

所以厶^。的面积为S=，csinN」xlx述乂息=亜

2251010

8.（2023•山东毅•统考劇既测）在上山C中，角X、B、C的对边分别是。、b、c,

且28sC-sinB-—j+cosX=0

6丿

（1球角。的大小;

（2港/HCB的平分线交HB于点。，且8=2,BD=lAD,求5c的面积.

【答案］⑴C咛2冗

⑵座

2

1分析】（1）根据两角和的正余弦公式变形可求出结果；

（2升艮据角平分线定理得a=2b,法一:在3BC中，根据余弦定理得c=jb,^ACD

中，根据余弦定理求出b,再根据面积公式可束岀面积；法二：根据S,““+S，,a,=S,,“

求解即可.

【详解】（1）由已知可得2ssCjqsinB+<8sBj-cos（8+C）=0,

*73sinBcosCcosBcosC-（cosBcosC-sinBsinC|=0

整理得，sinB（73cosC+sinC）=0,

因为3w（0,兀）,户似staBwO,

所以48sC+sinC=0,

即tanC=—y/3>

因为（?€（0,兀）,所以C哼2冗

（2）由题意得,==:即°，所以〃=2儿

BCBD2a2

法一：

在dlBC中，厂="十斤一8szzte3=4戸+/-2x2dx0x（一（）=7。）

所以c="b.在AHCD中，WD=g,

所以HD：=AC2-CD2-2ACCDcos^ACD，

即£l=b'+2?-2bx2x丄，

92

将,=网代入整理得〃一動+18=0,解得。=3或6=6一

若b=6,则a=12,c=6币,BD=4j.AD=2币,

所以在厶BCD中，得8SNCD5=也+?二蛆』4"):2：-12：(°,

2BDCD1677

同理可得8s乙1DC<O即NBDC和乙0c都为钝角，不符合题意,排除

所以。=3,。=6,

Si=gMsinl20=竽

法二：

因1^/为JSA.|{.IJA/BslI-=*SA-l0(,"

^lx22(sin60+lx2asin60=ladsinl20,所以匕+。=；劭

因为a=2。，所以匕=3,a=6,

所以耳M=]而411120=券

9.(2023•山东济宁・喜祥县第一中急考三模)已知锐角=15c的内角A,B,。的对

边分别为。，b,c,目/:

(怵角A的大小;

(2雷a=6,求He的取值范围.

【答案】(畤

⑵(6同2]

【分析】(D利用诱导公式及正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出cosH,

即可得解；

(2)利用正弦定理将边化角，转化为角B的三角函数，再由B的取值范围，求出b+c的

范围.

…2b-ca2b-c_a

【佯解】3丿由8s(A+B)=8s(3+C)'即cos(z-c)-cos(n-A]'

/H2b-ca

胃---k=----7>

cosCcos/

由正弦定理可得(2sinB-sinC)cosJ=sinJcosC,

所以2sin3cosJ=sin.48SC+sinC8s=sin(/+C),

所以2sinReossin8,因为3w（0,兀），所以sin3>0,

所以8s.4=：,又月e((U),所以

⑵由正弦定理訪=烏=詣

得-成

所以b+c=—^―（sin8+sinC）=4/snB-sin

sinJ

=4/sinB*sin—cosB-cos—sinB:

33

4应sinB-4cosB^^sinB71

8sBj=12叫；・

6

因为占加。为锐角三角形，目$=(

0<B<-

所以2解得

0<史_3「62

32

兀K兀2兀

所以於,8+?

6S235T

気，

所以sin加靜3+*卜（64,12],

W，

所以)+c的取值范围为(6近12]

10.(2023•福建摩门,统考模«頃测〉记35c的内角43c的对边分别为。也仁已知

abco-出c+ePeosB=0・

(1球〃的值;

(2)点。在线段BC上，N'A/C=120：/A4D=45：8=L求“BC的面积.

【答案】⑴a=3

【分析】(1)根据正弦定理、三角函数的和差角公式将条件变形可得答案；

SCD

(2)由言=而可得一45=/C,然后由余弦定理可解出■铝MC,即可得答案；或

利用正弦定理结合结合条件求4c5=30,然后再利用余弦定理及三角形面积公式即

得.

[详解】（1）由正弦定理得：^sinficos.-1-道sinC-oWn4cos5=0.

所以a(sia4co十cos.4sinS|=毎inC

所以asin(月+3)=招sinC.

所以zTsinC=WsinC>

因为WnC>0,所以4=0

4C--4Dsin75,

,SttnCD

(2)法b因为1—~=而，

2

又即75=sin（45+sin30卜争等+孝十罕,

所以~TD=1，即・铝=X。.

AJD

在亠西C中，由余弦定理得

cod,呪:产丁,所以2妨-3=-血

所以4B=4C=1,

所以S=lxlxlxsinl20=—

224

法2：

1

设ZACB=e,在AKCD中，由正弦定理得:

sin(75+矽sn75,

厂亠亠acV3

同理在JLBC中皿60-8)=sinl20'

所以g加75+丈底屮。叫，

sin75sinl20

所以争团乱血限"邛，又6W,

所以9=30、即£5=工。

在oLBC中，由余弦定理得

8&4=X"3c=3得2AB：_3=_AB：,所以/B=.4C=1

2ABAC

所以S1W,=lxlxlxsinl20=—.

•­,"<24

11.（2023・福建南平•统考勘既测）已知厶空（?中，角且，B,C的对边分别是db,c,

_l-cos2BsinC+cosC

tq------------=-----------------

sin23sinC-cosC

(1球/的大小;

(2»殳.4。是BC边上的高，且WD=2,求zLBC面积的最小值.

【答案】

(2)4^2-4.

【分析】(1)根据给定条件，利用二倍角公式和角的正余弦公式化简求解作答.

(2)利用三角形面积公式化简得a=虫加，再利用余弦定理结合均值不等式求解作答

4

【详解】3)在JL5C中，由匕噺］=sin,-8s,及二倍角公式,得

sin23sinC-cosC

sinBsinC-cosC

--=~f

cosBsinC-cosC

SPsinBsinC-sinBcosC=cosBstnC-^cosBcosC)整理得sin(3+C)-8s(B+C)=0,

因此tan(3-C)=-l,即［anX=l,而OvWc兀，

所以

4

(2)由(1)及已知>得，0=1ax2=：加sin£,即有a=/■be?

2244

由余弦定理得〃=〃+/-2配cos：,即炉"-J_枝加,

因此丄丘二=b1+r-V2dc,即丄十应儿=b：^c2>2bc>

88

于是於28(2-&),当且仅当b=c时取等号，而*4=¥儿，

所以aLBC面积的最小值为—x8(2-V2)=4V2-4.

4

1242023•福建泉州•校联考模蛔测厩锐角亠铝。中，角43c所对的边分别为a,bx,

且2u=(炉-¥C2-b:|(tarL4-tan5).

(1球角A的大小；

(2港边a=&,边友'的中点为D,求中线.8长的取值范围.

t答案】⑴

4

【分析】(D由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；

(2)由|万|：=；(毎亠/)：，结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的

范围，即可应用三角函数值域求出范围

t详解】(1)由余弦定理得2c：=为8网血4-团团,

即c=a8sB(tan.4-tanB|>

sin.4sinB

由正弦定理得sinC=sin4cosB(tan4-tanB|=SIL4COSB

cos-4cosB

.‘门sin13+3)sin-4sinC

=sux48sB——---------=-------------,

co&4cos3cos-4

•・・snC*0,.\sn-4=C0Su4,艮卩taa4=1,

71

二月

4

(2)由余弦定理得：2=>+C2-辰,则/

|JD|*=-(^B+JC);=-(r+i-+72&c)

44,

由正弦定理得二=三=咼=2

snBsinCSIIL4

所以b=2sinB:c=2sinC)

(牛_B卜率sinB8sB-snB)=^2(-cos2B+sn2B(+品

be=4sinBsinC=4sinBsin

=2sin；25一升0

0<5<-

因为是锐角三角形，所以2即

o揖一242

42

则:<28-：<1<sinj2B-：；41,二bee(25/2,2+5/2]

中线.4D长的取值范围是j孚，与2

13.(2023・河］翁水•河】偷水中学校考模拟預测)锐角"5C的内角.4,B,C的对边

分别为。，b,c,已知J5(6sinC+csinB)=4asinBsinC,b:+c:-a:=8,

(1球cosH的值及oLSC的面积；

(2)々的平分线与5c交于。，DC=23。，求。的值.

【答案】(l)cosJ=-,Sltl=2-75j

(2)a=2/.

【分析】（D结合正弦定理边角互化即可求出月=g,即可求出cos-4的值；再由余弦定

理求出加=8,由三角形的面积公式求出的面积；

（2）因为//的平分线与3。交于。，所以，再由三角形的面积公式和

余弦定理即可求出答案

【详解】（D根据题意，结合正弦定理边角互化得

（sinBsinC*sinCsinB）=4sinAsinBsinC,

SP2^sinBsinC=4sin-4sinBsinC,因为瓦CE（O㈤,

所以WnBwO,sinC#O,

所以31n.4=正，因为在锐角dl5C中，心卜?，所以/

2I2丿3

所以8s月=；,因为配+c，y,=8,

所以b2+c*-er=2bc8s月=8,解得be=8,

所以dLSC的回积S=ijcsinz!=~x8x—=2->/3

222

（2）因为〃的平分线与交于D,DC=2BD,所以黑㈤,=京型“，

即:尻40《1130。=；*；-加511130。，所以b=2r,由于bc=8,

所以b=4,c=2所以〃=。：+/-8=4+16-8=12,所以a=2&.

14.（2023•黑龙江黒龙江实聆中学校考二模）在dLBC中，以。，b,c分别为内角A,

B,C的对边，geos-B+cos"'C-cos-J=1-sinB-sinC

（1球A；

Q浩a=M,6=4,求dL3C的面积；

（3期。=2bcos8,。=3,求BC边上中线长.

t答案】⑴,弋

（2）64

⑶學或卒

22

t分析】（D由平方关系及正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得3

（2）首先由余弦定理求出一再由面积公式计算可得；

（3）由正弦定理将边化角，即可求出3=*或3=：,再分别求出中线的长度.

J0

【详解】(1)由8s，3-cos，C一8S，月=1一sinBsinC得

sin2月=sirr5+sin*C-sinBsinC,

由正弦定理可得=b'+c：-be)

由余弦定理可得8s荘/J葢弓

因为4€（01），所以.4、.

（2）因为〃=2々，6=4且=万一be,

所以28=16+c，-4c,解得c=6或c=-2(舍去),

所以S.&=；^csinJ=-X4X6X2LL

（3）因为a=2bcos3,由正弦定理可得sin,4=2sin3cos8,

即Wn2B邛,因为.4=（所以3do弓，则2吋0专）,

所以23=§或23=扌，即或3

3336

当3弋时-15C为等边三角形，所以BC边上中线长为381nm=挛;

332

当B=1时，则CET-B」，所以d"。为直角三角形，又。=3,

62

3_b_C

由正弦定理，一=丄^=-=，即一"ii=1■=—■,

eh上王sm.4sin5stnCsin-sin—sin—

263

所以。=/，c=2后所以BC边上中线长为

综上可得5C边上中线长为亭或孚

15.（2023,黑龙江哈尔滨•哈师大附中统考三模）我国古代数学家秦九韶在《数书九童》

中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：

Su*八一尸丁］……①（其中厶空。内角W5C所对的边分别为a&jS

为的面积）

（1）证明公式①；

⑵已知“5C三条边以\鼠;疑的高分别为儿=殍,力,=也也=旃，求S.

t答案】（1）证明见解析；

(2)S=6

【分析】（D在alBC中，过点X作WD/BC,设.40=力，BD=X,CD=yf算出

h=M,-s+f）一,然后利用面积公式即可证明；

2a

（2）由ah.=愤=优可设a=姮t.b=也k.c=眄k,k>0,代入三角形面积公式

5210

可得S=或統=丄七解出七，求出4,即可求解.

202

【详解】（1）在disc中，.M=c,HC=6,BC=a,

过点工作4?丄5C,设.5=方，BD=x,CD=yf

J4azc2-[a:+c:-b2y

2222

iiJ4(fc-(a^c-bfc2^a:-b2

:.S」ah」aY----：--------'Ia:c-

22la2

八、宀jAZ14cz.111"应而

(2)由。力“=她=。力一.b.c=-.—.—

，・."e

Q=------k1b=—k1c=------kf内>0,

5210

”方亠丄尸一丄方

I丄a^c2-bl創，

则s25102

22

歹1J157151

2532

-^-k2=丄上,:・k=2事,

202”

a=2y/3.b=^yio.c=y/2.

所以s=：曲=；xRJx孚=5

16.（2023•黑龙江哈尔滨哈九中校考模拟預测）已知厶紡C的內角4B,。的对边分

2出acsinC

别为用b,c,且tanJ+tanB

(a：^c:-b:JsinJ

（1球8sx的值；

（2）1殳貝O为8c边上的高,a=®求NO的最大值.

【答案】（1）8S.4=：

t分析】（1）根据余弦定理化边为角，并通过三角恒等变换化简可得口值=出,由此

可求8s.4,

（2）根据三角形面积关系得gbe,再根据余弦定理得儿范围，由此可求且。的最

大值.

【详解】（1）因为二观丝警一^tanN+tanS,

（d+c-iIsinJ

出sinC_sinJsin3

所以（/十。二一工）cos