2022-2023学年北京市朝阳区九年级上学期期中考试数学试卷含答案

2022-2023学年北京市朝阳区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.随着2022年北京冬奥会H渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步.在

此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共

收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的

是（）

2.已知关于x的一元二次方程/+妙1=0有两个不相等的实数根，下列结论正确的是

（）

A.B.m>2C.D.m<2

3.将二次函数图象y=2f向下平移1个单位长度，所得二次函数的解析式是（）

A.y=2r2+lB.y=2x2-1C.y=2（x-1）2D.y=2（x+1）2

4.在平面直角坐标系xQy中，下列函数的图象上存在点尸（〃?，40）的是（）

A.y=—B.y=-x-1C.y=-x2-1D.y=-3x

x

5.用配方法解方程37-6x+2=0,将方程变为（x-%）2=工的形式，则机的值为（）

3

A.9B.-9C.ID.-1

6.南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六

十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与

宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以列

方程为（）

A.J?-60x-864=0B.犬（x+60）=864

C.x2-60x+864=0D.x（x+30）=864

7.已知二次函数的y与x的部分对应值如表:

X…-1013

y0-1.5-20

根据表格中的信息，得到了如下的结论：

①二次函数丫=0?+版+。可改写为y=a(x-1)2-2的形式

②二次函数y=ax2+6x+c的图象开口向下

③关于x的一元二次方程0?+笈+。=-1.5的两个根为0或2

④若y>0,则x>3

其中所有正确的结论为()

A.①④B.②③C.②④D.①③

8.老北京的老行当中有一行叫做“抓彩卖糖”：商贩将高丽纸裁成许多小条，用矶水在上面

写上糖的块数，最少一块，多的是三块或五块，再将枝条混合在一起.游戏时叫儿童随

意抽取一张，然后放入水罐中浸湿，即出现白道儿，按照上面的白道儿数给糖.一个商

贩准备了10张质地均匀的纸条，其中能得到一块糖的纸条有5张，能得到三块塘的纸条

有3张，能得到五块糖的纸条有2张.从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块塘的

纸条的概率是()

A.J-B.WC.AD.A

101052

二、填空题(每小题3分，共24分)

9.己知关于尤的一元二次方程(2a-1)x+a2=0有两个不相等的实数根，则。的取值

范围是.

2

10.对于实数a,b,定义运算如下：a©b=(a+b)-(a-b)若(w+2)◎(m

-3)=24,则.

11.如图，A,B两点的坐标分别为A(3,0),B(0,如),将线段8A绕点B顺时针旋转

得到线段BC若点C恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角为°.

12.如图，在RtZVLBC中，NBAC=90°,ZB=60°,△AB'C可以由△ABC绕点A顺

时针旋转90°得到（点8,与点8是对应点，点C'与点C是对应点），连接CC',则

ZCCB'的度数是.

13.已知电路AB由如图所示的开关控制，闭合a,b,c,d,e五个开关中的任意两个，则

使电路形成通路的概率是.

的增大而减小，该函数可以为

15.已知抛物线y=/-（相+1）x与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2,则〃?的取值

范围是

16.如图，排球运动员站在点。处练习发球，将球从。点正上方2%的A处发出，把球看

成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式），=。（%-6）2+h.已

知球网与0点的水平距离为9m,高度为2.43祖,球场的边界距。点的水平距离为18%若

球能越过球网，又不出边界，则/?的取值范围为

三、解答题（共52分）

17.(4分)用适当的方法解下列方程:

(1)2?-18=0.

(2)(772-1)2-l+/n=0.

18.(5分)已知关于x的一元二次方程/-2履+必-1=0.

(1)不解方程，判断此方程根的情况；

(2)若x=2是该方程的一个根，求代数式-2标+弘+5的值.

19.(5分)如图，在△4BC中，/ACB=90°,AC=BC,。是AB边上一点(点。与A,

B不重合)，连结CD,将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,连结DE交BC

于点F,连接8E.

(1)求证：△AGO四△BCE；

(2)当/BDE=25°时，求/BE尸的度数.

20.(4分)已知二次函数y=/-4x+3.

(1)用配方法将y=?-4x+3化成产“(%-/?)2+%的形式;

(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；

次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：

成绩x70«7575Wx<8080Wx<8585Wx<9090Wx<9595WxW100

人数

班级

一班203780

二班015770

三班014771

四班m03752

（1）频数分布表中，m=；

（2）从70<xV75中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学

生的概率是多少？

22.（5分）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到

如下数据:

销售单价X（元/件）・・・30405060・・・

每天销售量y（件）・・・500400300200・・・

（D研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；

（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为

多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？

23.（6分）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端

安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分.若

记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米.下面的表中记

录了“与〃的五组数据：

d（米）01234

h（米）0.51.251.51.250.5

根据上述信息，解决以下问题：

（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示

h与d函数关系的图象；

（2）若水柱最高点距离湖面的高度为，“米，则，〃=；

（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得

游船能从水柱下方通过.如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中

间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米.已知游船顶棚宽度为3

米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）

至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）.

24.（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（xi,yi）,B（x2,"）在抛物线>=-』+（2a

-2）x-c^+la其中xi<x2.

（1）求抛物线的对称轴（用含。的式子表示）；

（2）①当x="时，求y的值；

②若yi="=0,求xi的值（用含〃的式子表示）.

（3）若对于XI+%2<-4,都有yi<”，求”的取值范围.

25.（7分）己知ZM4N=30°,点8为边A何上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不

与点A,B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q,连接AQ,8Q,点A关于直线BQ

的对称点为点C,连接PQ,CP.

（1）如图1,若点P为线段48的中点；

①直接写出/AQB的度数；

②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；

（2）如图2,若线段CP与BQ交于点£>.

①设NBQP=a,求NCP。的大小（用含a的式子表示）；

②用等式表示线段DC,DQ,OP之间的数量关系，并证明.

U

MBMB

图1图2

26.(7分)对于平面直角坐标系xOy中的图形W,给出如下定义：点P是图形W上任意一

点，若存在点Q,使得NOQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”.

7

6

5

।।I।।।।।.

23456789X

(1)已知点A(6,8),在点。1(0,8),。2(-4,2),03(8,4)中，是点A

的“直角点”；

(2)已知点8(-3,4),C(4,4),若点。是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标

n的取值范围；

(3)在(2)的条件下，已知点。Ct,0),E(f+L0),以线段OE为边在x轴上方作

正方形DEFG.若正方形。EFG上的所有点均为线段8C的“直角点”，直接写出f的取

值范围.

2022-2023学年北京市朝阳区九年级（上）期中数学试卷

（参考答案与详解）

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步.在

此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共

收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的

是（）

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：4是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项不合题意；

B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故本选项不符合题意；

C.既是轴对称图形又是中心对称图形.故本选项符合题意；

D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故本选项不合题意.

故选：C.

2.已知关于x的一元二次方程1=0有两个不相等的实数根，下列结论正确的是

A.他#2B.m>2C.D.m<2

2

【分析】根据判别式的意义得到△="2-4X1X（〃L1）=（w-2）>0,即可求得相

羊2.

【解答】解：根据题意得△=川-4X1X（MJ-1）=（W-2）2>0,

解得〃?#2,

故选：A.

3.将二次函数图象y=2/向下平移1个单位长度，所得二次函数的解析式是（）

A.y=2x2+lB.y=2x2-1C.y=2（x-1）2D.y=2（x+l）2

【分析】原抛物线顶点坐标为（0,0）,平移后抛物线顶点坐标为（0,-1）,据此写出

平移后抛物线解析式.

【解答】解：：抛物线y=2?的顶点坐标为（0,0）,向下平移1个单位长度的顶点坐标

为（0,-1）,

所得二次函数的解析式是y=2f-1.

故选:B.

4.在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象上存在点P（m，n）（w>0,">0）的是（）

A.y——B.y=-x-1C.y--x2-1D.y--3x

x

【分析】由题意，图象经过第一象限的函数都是满足条件的，由此判断即可.

【解答】解：由题意，图象经过第一、三象限的函数是满足条件的，

A、函数y=2的图象在一、三象限，满足条件；

x

B、函数y=-X-1的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；

c、函数），=-W-1的图象经过三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；

。、函数y=-3x的图象经过二、四象限，不经过第一象限，不满足条件；

故选：A.

5.用配方法解方程37-6x+2=0,将方程变为（x-M2=上的形式，则力的值为（）

3

A.9B.-9C.1D.-1

【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可求出"，的值.

【解答】解：方程37-6x+2=0,

变形得：/-2x=-2,

3

配方得：f-2x+l=工，即（X-1）2=工，

33

则m—1.

故选：C.

6.南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：''直田积八百六十四步，只云长阔共六

十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与

宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以列

方程为()

A.%2-60x-864=0B.x(x+60)=864

C./-60x+864=0D.x(x+30)=864

【分析】由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为(60-x)步，根据

矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解：•••矩形田地的长为x步，矩形田地的长与宽的和是60步，

...矩形田地的宽为(60-%)步.

依题意得:x(60-x)=864,

整理得：?-60x+864=0.

故选：C.

7.已知二次函数y=a?+6x+c的y与x的部分对应值如表:

X•••-1013…

y.・・0-1.5-20…

根据表格中的信息，得到了如下的结论：

①二次函数y=or2+bx+c可改写为y=a(x-1)2-2的形式

②二次函数y=or2+法+c的图象开口向下

③关于x的一元二次方程a^+bx+c^-1.5的两个根为0或2

④若y>0,则x>3

其中所有正确的结论为()

A.①④B.②③C.②④D.①③

【分析】根据表格数据求出顶点坐标，即可判断①②；根据二次函数的图象与一元二次

方程的关系可判断③；根据函数的图象和性质可以判断④.

【解答】解：•.％=-1和x=3时的函数值相同，都是1,

抛物线的对称轴为直线尸-1+3=1,

2

当x=l时，y=-2

・••抛物线的顶点为(1,-2),

・••二次函数y=ar2+bx+c可改写为(%-1)2-2的形式，

所以①正确；

•由表格可知X=1时函数的值最小，

...抛物线的开口向上，

故②错误；

：x=0与x=2关于对称轴对称，

；.x=0时，y=-1.5,x=3时，y=-1.5,

关于x的一元二次方程0?+瓜+,=-1.5的两个根为。或2,

故③正确；

；抛物线的开口向上，X=-1和》=3时，y=0,

.,.若y>0,贝!|x>3或x<-l,

故④错误；

综上所述：其中正确的结论有①③.

故选：D.

8.老北京的老行当中有一行叫做“抓彩卖糖”：商贩将高丽纸裁成许多小条，用矶水在上面

写上糖的块数，最少一块，多的是三块或五块，再将枝条混合在一起.游戏时叫儿童随

意抽取一张，然后放入水罐中浸湿，即出现白道儿，按照上面的白道儿数给糖.一个商

贩准备了10张质地均匀的纸条，其中能得到一块糖的纸条有5张，能得到三块塘的纸条

有3张，能得到五块糖的纸条有2张.从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块塘的

纸条的概率是（）

A.A.B.WC.—D.A

101052

【分析】根据概率的求法，找准两点：

①全部情况的总数；

②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.

【解答】解：•.•共有10张质地均匀的纸条，能得到三块塘的纸条有3张,

从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块塘的纸条的概率是且；

10

故选：B.

二、填空题（每小题3分，共24分）

9.已知关于x的一元二次方程/+(2a-1)x+J=O有两个不相等的实数根，则。的取值

范围是«<1.

4-

【分析】根据根的判别式的意义得到(2a-1)2-4a2>0,然后解不等式即可.

【解答】解：根据题意得△=(2a-1)2-4a2>0,

解得a<l,

4

所以“的取值范围是

4

故答案为：“<」.

4

10.对于实数a,b,定义运算如下：a©h=(a+h)2-(a-h)2.若(w+2)◎(m

-3)=24,则m=-3或4.

【分析】利用新定义得到[(m+2)+(m-3)]2-[(m+2)-(m-3)产=24,整理得到

(2巾-1)2-49=0,然后利用因式分解法解方程.

【解答】解：根据题意得[(m+2)+(zn-3)]2-[(m+2)-(/n-3)]~=24,

(2m-1)2-49=0,

(2m-1+7)(2m-1-7)=0,

2%-1+7=0或2〃？-1-7=0,

所以mi=-3,m2—4.

故答案为-3或4.

11.如图，4,B两点的坐标分别为A(3,0),8(0,通)，将线段54绕点B顺时针旋转

得到线段BC若点C恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角为120°.

【分析】由A(3,0),B(0,M),得出。4=3,OB=M，利用tan/OAB求出NQ4B

=30°,得出N2CO=30°,最后利用三角形内角和求出答案.

【解答】解：：A(3,0),B(0,M),

；Q=3,0B=M，

.•.tan/0AB=P^=2^_,

OA3

，NOAB=30°,

NBCO=30°,

NA6c=180°-30°-30°=120°.

故答案为120°.

12.如图，在RtAuABC中，ZBAC=90a,NB=60°,△AB'C'可以由△ABC绕点月顺

时针旋转90°得到（点夕与点B是对应点，点C'与点C是对应点），连接CC',则

ZCC'B'的度数是15°.

【分析】先根据三角形内角和计算出NAC8=90°-60°=30°,由于AAB'C由△ABC

绕点4顺时针旋转90。得到，根据旋转的性质得到AC'=AC,ZCAB'=ZCAB=

90°,ZAC'B'=30°,则△ACC'为等腰直角三角形，得到NAC'C=45°,然后

利用/CC'B'=/AC'C-ZAC夕计算即可.

【解答】解：,.•/BAC=90°,ZB=60°,

4cB=90°-60°=30°,

C由aABC绕点A顺时针旋转90°得到，

：.AC=AC,ZCAB'=/CAB=90°,ZAC'B'=30°,

：./\ACC'为等腰直角三角形，

AZAC'C=45°,

：.ZCCB'=NAC'C-ZACB'=45°-30°=15°.

故答案为15°.

13.已知电路AB由如图所示的开关控制，闭合a,b,c,d,e五个开关中的任意两个，则

B

【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与使电路形成

通路的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：列表得：

(me)(b,e)(c,e)(d,e)-

(a,d)(b,d)(c,d)-(e,d)

(a,c)(〃，c)-(d,c)(e,c)

(mb)-(c,b)(d,b)(e,b)

-Qb,a)(c,a)Qd,a)(e,a)

一共有20种等可能的结果，使电路形成通路的有12种情况,

•••使电路形成通路的概率是：」2=3.

205

故答案为：1.

5

14.一个函数满足过点（0,1）,且当x>0时，y随x的增大而减小，该函数可以为V=-

x+1,（不唯一）.

【分析】若函数为一次函数时，当x>0,），随x增大而减小，说明&<0,只要满足％<0

的值即可，把（0,1）代入解析式可得函数解析式.

【解答】解：•••当x>0时，y随x的增大而减小，

：.k<0,

可设％=-1,

•.,过点（0,1）,

二设函数解析式为〉=依+〃awo）,

将上=-1,（0,1）代入得6=1,

；.y=-x+1,

故答案为y=-x+1（答案不唯一，需满足k<0即可）.

15.已知抛物线）•=/-（优+1）尤与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2,则机的取值

范围是0<m<l.

【分析】根据函数解析式求出二次函数与x轴两个交点的坐标，根据坐标大于1且小于2

确定m的取值范围即可.

【解答】解：令-（w+1）x=0,

解得：x=0,x'=m+\,

.,.抛物线与x轴的两个交点为(0,0)和(m+i,0),

•.•其中一个交点的横坐标大于1且小于2,

.\1<777+1<2,

即0＜小＜1,

故答案为：0V加＜1.

16.如图，排球运动员站在点。处练习发球，将球从。点正上方2机的A处发出，把球看

成点，其运行的高度y(相)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(%-6)2+h.B

知球网与0点的水平距离为9m,高度为2.43〃?,球场的边界距。点的水平距离为18〃?.若

【分析】把点A坐标代入y=a(x-6)2+〃得了==也(％-6)2+/?,由题意得：当x=9

36

时，y＞2.43,当x=18时，yWO,即可求解.

【解答】解：点A(0,2),将点A的坐标代入抛物线表达式得：2=a(0-6)2+h,

解得：a=2lh,

36

•••抛物线的表达式为y=2*(x-6)2+h,

36

由题意得：当x=9时，(x-6)2+//=三*(9-6)2+/J＞2.43.

3636

解得：心期；

75

当x=18时，(%-6)2+/z=.idl(18-6)2+/z^0,

3636

解得：人》B,

3

故九的取值范围是〃》区.

3

故答案为：

3

三、解答题（共52分）

17.（4分）用适当的方法解下列方程：

（1）2?-18=0.

（2）Cm-1）2-l+/w=0.

【分析】（1）利用直接开平方法求解比较简便；

（2）利用因式分解法求解比较简便.

【解答】解：（1）移项，得2?=18,

所以f=9,

所以x=±3.

所以xi=3,X2—-3.

（2）（m-1）2+（m-1）=0,

（/w-1）（m-1+1）=0.

・••加（m-1）=0.

或m-1=0.

/•/m=0,62=1・

18.（5分）已知关于x的一元二次方程2日+必-1=0.

（1）不解方程，判断此方程根的情况：

（2）若x=2是该方程的一个根，求代数式-2F+8Z+5的值.

【分析】（1）利用根的判别式A=U-4“c判断即可.

（2）将x=2代入一元二次方程--2fcc+F-1=0,整理得必-4A=-3,再将-2/+8k+5

变形为-2（必-4%）+5,代入求值即可.

【解答】解：（1）：△=庐-4ac=（-2k）2-4（必-1）=4必-4必+4=4>0,

此一元二次方程有两个不相等的实数根.

（2）将x=2代入一元二次方程f-2H+必-1=0,

得4-4Z+F-1=0,

整理得F-4k=-3,

-2F+8Z+5

=-2（&2-必）+5

=-2X（-3）+5

=11.

19.(5分)如图，在△ABC中，NACB=90°,AC=BC,。是AB边上一点(点。与4,

B不重合)，连结CC,将线段CQ绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,连结。E交BC

于点F,连接BE.

(1)求证：AACD^ABCE；

(2)当NBDE=25°时，求NBEF的度数.

【分析】(1)由旋转的性质可得8=CE,Z£)CE=90°=NACB,由“SAS”可证△ACO

名△BCE,可得BE=4£),ZCBE=ZCAD=45°,可得结论；

(2)由等腰三角形的性质可求解.

【解答】(1)证明：：将线段CO绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,

：.CD=CE,NDCE=90°=NACB,

工NACD=NBCE,

VZACB=90°,AC=BC,

."C4B=NC8A=45°,

在△4C£>和△BCE中，

'AC=BC

•ZACD=ZBCE«

CD=CE

.♦.△AC。名△BCE(SAS),

(2)解：VAACD^ABCE,

：.ZCBE=ZCAD=^5°,

NABE=/ABC+NCBE=90°,

VZBD£=25°,

:*NBEF=65°.

20.(4分)已知二次函数y=/-4x+3.

(1)用配方法将-4X+3化成y—a(x-h)~+k的形式；

(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；

(3)当0WxW3时，v的取值范围是-lWyW3.

【分析】(1)运用配方法把一般式化为顶点式；

(2)根据函数图象的画法画出二次函数图象即可;

(3)运用数形结合思想解答即可.

【解答】解：(1)y=/-4x+3=(x-2)2-1；

(2)这个二次函数的图象如图：

故答案为-lWyW3.

21.12月4日是全国法制宣传日.下面是某校九年级四个班的学生(各班人数相同)在一

次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：

成绩X70«7575Wx<8080Wx<8585«9090«9595<xW100

人数

班级

一班203780

二班015770

三班014771

四班m03752

(1)频数分布表中，m—3

(2)从70WxV75中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学

生的概率是多少？

【分析】（1）先求出九年级一班的学生为20人，各班人数相同，即可得出答案；

（2）画树状图，再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）•••九年级一班的学生为:2+0+3+7+8+0=20（人）,各班人数相同,

"=20-（0+3+7+5+2）=3,

故答案为：3；

（2）一班有2人，分别记为A、B；四班有3人，分别记为C、D、£；

画树状图如图：

ABCDE

/yV

BCDEACDEABDEABCEABCD

共有20个等可能的结果，所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的结果有14个,

所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率为」段=二.

2010

22.（5分）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到

如下数据：

销售单价X（元/件）•••30405060•・・

每天销售量y（件）・・・500400300200…

（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；

（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为

多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？

【分析】（1）利用待定系数法求解可得：

（2）根据“总利润=单件利润X销售量”可得关于x的一元二次方程，解之即可得.

【解答】解：（1）设y=^+b,

40k+b=400

k=-10

解得:

b=800

贝I」y=-10x+800；

(2)根据题意，得：(x-20)(-Wx+800)=8000,

整理，得：/-]00计2400=0,

解得：xi=40,X2=60,

•••销售单价最高不能超过45元/件，

/•x=40,

答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元.

23.（6分）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端

安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分.若

记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为/?米.下面的表中记

录了，/与/?的五组数据：

d（米）01234

h（米）0.51.251.51.250.5

根据上述信息，解决以下问题：

（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示

〃与d函数关系的图象；

（2）若水柱最高点距离湖面的高度为，〃米，则片1.5；

（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得

游船能从水柱下方通过.如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中

间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米.已知游船顶棚宽度为3

米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）

至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）.

图1图2

【分析】（1）建立坐标系，描点.用平滑的曲线连接即可：

（2）观察图象即可得出结论；

（3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线

的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可.

【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐

标系，如图1所示：

（2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为x=2,此时最高，

即"7=1.5,

故答案为：1.5.

（3）根据图象可设二次函数的解析式为：h=a（d-2）2+1.5,

将（0,0.5）代入人=。（4-2）2+15得〃=-工

4

二抛物线的解析式为：/?=-L/2+d+o5,

4

设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：h=-ld2+d+0.5+m,

4

由题意可知，当横坐标为2+3=工时，纵坐标的值大于2+0.5=25

22

-Ax（工）2+工+0.5+/G2.5,

422

解得

...水管高度至少向上调节1.6米，

--.0.5+1.6=2.1（米），

...公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求.

24.（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（xi,yi）,B（x2,”）在抛物线y=-』+（2a

-2）%-a2+2a上，其中x\<x2.

（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；

（2）①当x=a时，求y的值；

②若yi=y2=0,求xi的值（用含。的式子表示）.

(3)若对于XI+A2V-4,都有yiV”，求。的取值范围.

【分析】(1)抛物线的对称轴》=--上，计算即可；

2a

(2)①将x=q代入y=-7+(2。-2)x-『+24,计算即可；②若yi=*=O,则-/+

(2。-2)x-/+2a=0,解方程并根据x】Vx2,即可得出加的值.

(3)由题意得出用<-2,则只需讨论xiV。-1的情况，分两种情况：①当。2-1时，

又有两种情况：x\<x2<a-1,xiV。-1Vx2,分别结合二次函数的性质及X1+X2V-4计，

算即可；②当〃V-1时，令xi=。-1,X2=-2,此时XI+X2<-4,但yi>y2,不符合

题意.

【解答】解：(1)抛物线的对称轴为直线X=-21里31=4-1；

-2

(2)①当/=〃时，y=-n2+(2a-2)a-

=-cr+la2-2a-a2+2a

=0；

②当y\=zy2=0时，-/+(2tz-2)x-«2+2a=0,

-(2〃-2)x+a2-2〃=0,

(x-〃+2)(x-a)=0,

Vxi<X2,

Axl—ci-2；

(3)方法一、①当-1时，

X\<X2?x\+x2<-4,

：.x\<-2,只需讨论xiV〃-1的情况.

若x\<x2<a-1,

时，y随着x的增大而增大，

，yiV”，符合题意；

若尤1V。-1<X2,

•・・〃-12-2,

：.2(4-1)2-4,

Vxi+x2<-4,

AXI+X2<2(。-1).

Axi<2(«-1)-xi.

x=2（a-1）-JQ时，yi="，x<a-1时，y随着x的增大而增大，

'.y\<y2,符合题意.

②当“<-1时，令xi=〃-1,X2=-2,此时xi+x2<-4,但yi>”，不符合题意;

综上所述，”的取值范围是

方法二、

yi-yz--xi2+(2a-2)x\+%22-(2a-2)xi—(A2-xi)(%2+xi)+(2a-2)(xi-%2)

=(xi-X2)(2a-2-xi-xi)<0,

Vla-2>XI+JC2,

.".XI+X2<-4,

.\2«-2>-4,

-I.

25.（7分）已知NM4N=30°,点B为边4何上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不

与点A,8重合），点尸关于直线AN的对称点为点Q,连接AQ,8Q,点A关于直线3Q

的对称点为点C，连接PQ,CP.

（1）如图1,若点P为线段A8的中点；

①直接写出NAQB的度数；

②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；

（2）如图2,若线段CP与BQ交于点D

①设N8QP=a,求/CPQ的大小（用含a的式子表示）；

②用等式表示线段OC,DQ,OP之间的数量关系，并证明.

【分析】（1）①证明PQ=«4=PB,可得结论.

②图形如图所示：结论：PC=MPA.证明NAPC=90°,可得结论.

(2)①如图2中，连接BC,CQ.证明8,P,Q,C四点共圆，推出NCPB=NCQB=

ZAQB,由NAPC+/CPB=180°,推出NB4Q+NP£»Q=180°,推出NPQQ=120°,

推出/£>QP+/OPQ=60°,可得结论.

②如图2-1中，结论：CD=DP+DQ.连接AO,在AO上取一点T,使得DT=DP.利

用全等三角形的性质解决问题即可.

【解答】解：(1)①•./,。关于AN对称，

：.AP=AQ,NB4N=NQAN=30°,

.••△APQ是等边三角形，

Z.PQ=PA,

:点P为线段AB的中点，

：.PB=PA,

：.PQ=PA=PB,

：.ZA2B=90°.

理由：：乙4。8=90°,4,C关于8。对称,

：.AQ=QC,

：.PQ=QC=AQ,

：.ZCPA=60°,

•*..B±L=tan60°.

PA

:.PC=MPA.

(2)①如图2中，连接8C,CQ.

图2

YA,C关于B。对称,

：.BC=BA,CQ=AQ,

,:BQ=BQ,

：./\BQC^BQA(SSS),

：.ZBCQ=ZBAQ=60°,ZBQC=ZBQAf

VZAPQ=60°,

：.ZBPQ=nO0,

・・・N8PQ+NBCQ=18(r,

・・・&P,。，C四点共圆，

・•・ZCPB=ZCQB=NAQB,

VZAPC+ZCPB=180°,

以。+/尸。。=180°,

：.ZPDQ=\20°,

：.ZDQP+ZDPQ=60Q,

：.ZCPQ=60°-a.

②如图2-1中，结论：CD=DP+DQ.

理由：连接AQ,在AO上取一点T,使得OT=QP.

图2-1

ZPAQ+ZPDQ=\SO°,

・・.A,P,D,。四点共圆，

：.ZPDT=ZPQA=60°,

•：