全国初中数学教师优质课一等奖《圆周角》教学设计

PAGEPAGE15.3圆周角(第1课时)教学设计【内容和内容解析】内容圆周角概念，圆周角性质定理．内容解析“圆周角”是与圆有关的重要图形，《圆周角》一节是数学九上第五章第三节的内容，是在学生学习了圆、弦、弧、圆心角等概念和相关知识之后编排的．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．同弧或等弧所对的圆周角之间的关系以及与该弧所对圆心角的关系在圆的有关说理、作图、计算中应用比较广泛，是研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带.同时由于圆周角定理本身的学习过程体现了分类、转化、归纳等思想方法，因此本节内容无论在知识体系上，还是对学生数学观念的培养上，都有着十分重要的作用．苏科版教材对这一节分为两个课时进行教学，第一课时主要是探索圆周角与圆心角的关系，第二课时主要是探索直径所对圆周角的特殊性.本课是第一课时的教学，主要从操作、实验入手，介绍了圆周角的概念，并采用完全归纳法，按照由特殊到一般的认识过程，引导学生观察、思考、猜想、说理，最终概括出圆周角与圆心角之间的数量关系．整节课力求使学生经历知识的形成过程，并能在运用相关知识解决有关问题时体会分类、转化等数学思想方法．基于以上分析，本课时的教学重点是圆周角的性质定理．【目标和目标解析】1.目标（1）理解圆周角的概念，掌握圆周角定理，能初步运用圆周角相关性质解决有关问题．（2）通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展合情推理能力和演绎推理能力，在探索圆周角有关性质过程中体会类比、分类、由特殊到一般、转化等数学思想方法．（3）学会数学地思考解决问题，体会事物之间是联系的、运动变化的辩证思想，并在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验．2.目标解析达成目标（1）的标志是：能在具体的圆中正确识别一条弧所对的圆周角；会画出某条弧所对的一个或几个圆周角；知道同弧或等弧所对的圆周角相等，并且都等于该弧所对圆心角的一半；能应用圆周角性质定理解决简单问题．达成目标（2）的标志是：能通过画图、观察、思考、交流、归纳等方式发现同弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系；能依据圆周角与圆心的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解说理推证圆周角定理需要分类讨论的必要性；说理推证圆周角定理时，能理解如何将圆心在圆周角的内部和外部两种情形转化成特殊情形，从而用完全归纳法证明定理．达成目标（3）的标志是：能通过对比圆周角与圆心角的位置关系，以及同弧所对的圆周角与圆心角的数量关系领会图形间的联系和运动变化；在教师的引导下，理解圆周角定理的证明．【教学问题诊断分析】九年级上学期的学生虽然已具备一定的逻辑思维能力和说理推证能力，但认识事物仍不够全面、深入，特别是对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏，根据数学认知规律和过往教学经验，学生对圆周角定理的推证为什么要分三种情况，以及一般情形如何能转化为特殊情形存在一定的认知障碍，因此，了解圆周角的分类，用化归思路分情况合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”是本课时的难点.另外，少部分同学在初次接触圆周角概念时，对圆周角的两个要素（即角的顶点在圆上；角的两边都与圆相交）的把握也需要一个循序渐进的过程，应适当强化．基于以上分析，本课时的教学难点是分情况证明圆周角性质定理．【教学支持条件分析】本课时教学以学生的动手操作、思考探究、合作交流为主，旨在培养学生的学习兴趣和探究新知的好奇心．针对九年级学生的年龄特点和心理特征及认知水平，首先对比圆心角，通过操作、发现、归纳，得出圆周角的概念，并结合图形进行辨析．在此基础上，从介绍圆周角概念的图形出发，注意引导和分析对圆周角定理的分情况推证，先对圆心在圆周角一边上时进行说理推证，让学生分析这一情形能否替代另外两种情形，由于并不适用，因此有必要也对另两种情形予以推证．而对另两种情形的推证，主要都是转化为第一种特殊情形来解决，转化的关键都是添加以圆周角的顶点为端点的直径为辅助线．纵观整节课，采取动手操作和多媒体辅助演示等手段，加强学生的直观感受和师生之间的互动，让学生始终处于主动学习的状态，使课堂气氛活跃，充满新鲜感、愉快感、成功感，学生更易接受和理解，在活动中培养学生的归纳与概括的能力，增强积极参与课堂教学活动的意识．【教学过程设计】（一）新知诱发阶段设置情境，温故探新问题1前面我们刚刚学习了一种与圆有关的角，是什么角？(圆心角)圆心角的定义是什么？在所给的⊙O中，画出劣弧所对的圆心角．（能画几个？）B、C固定不动，改变这个角的顶点位置，仍使顶点与点O保持在直线BC同侧，则按新顶点与⊙O的位置关系，会产生哪几类情形？师生活动：学生动手操作，先画圆心角，再改变顶点位置，画出新的角，教师引导学生观察新画的角，尝试分类．设计意图：在新知诱发阶段，选择新旧知识的切入点，既复习上节课的内容，又激发学生学习新知识的兴趣，加强各知识点之间的联系．图1在这一过程中，一方面复习归纳圆心角相关概念和性质，一方面潜移默化引导学生将圆心角相关的研究方法迁移到新知识的学习中去，自然产生探究新知的心理需要.图1（二）新知学习阶段1.揭示课题，归纳概念问题2在呈现的三类角中(如图1)，让学生重点观察顶点在圆上的角，分析其位置特征，并尝试命名．师生活动：教师引导学生抓住此类角的两个要素：=1\*GB3①顶点在圆上；=2\*GB3②两边都与圆相交，并让学生归纳其定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角.对圆周角进行辨析练习.设计意图：这一环节，学生参与意识从潜伏状态转变为活跃状态，放手让学生自主思考，发挥学生丰富的创造力，让学生自己给圆周角下定义，培养他们的合作精神，不仅能提高学生的概括能力又能活跃课堂气氛，使学生经历知识的发生、探索过程.而及时进行辨析练习，有效巩固圆周角的概念，使学生对圆周角的概念掌握得更扎实．2.动手操作，猜想结论问题3弧所对的圆周角有多少个？按照与圆心的位置关系，可将这些圆周角分成几类？猜想探索同弧所对的圆周角之间以及同弧所对的圆周角与圆心角之间在大小上的关系.师生活动：学生将同弧所对的圆周角按照与圆心的位置关系分为三类，即圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部．教师引导学生猜想探索同弧所对的圆周角之间以及同弧所对的圆周角与圆心角之间在大小上的关系.设计意图：猜想和预见是学生的天性，抓住这个心理采取“先猜后证”的教学设计，有效地激发学生的积极性，唤起他们在课堂上主动探索，自主构建知识，可以有效突出问题的研究方向，水到渠成，自然得出猜想的结论．3.分类转化，说理推证问题4如何说理推证“同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半”？师生活动：引导学生意识到一条弧所对的圆心角只有一个，而一条弧所对的圆周角有无数个，并且这些圆周角按照与圆心的位置关系可分为三类，从圆心在圆周角一边上这一特殊情形入手，利用说理的方法，推证此类情形下一条弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，另外两类情形均可通过作辅助线转化利用特殊情形来解决，从而最终概括出圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.设计意图：这一过程中适时引导学生认识到分类验证的必要性，以及由实验、观察等方法得出的猜想，其正确性需要进一步验证，让学生体验数学的严谨性．利用多媒体直观形象的演示，使抽象的数学知识以简单明了的形式展示在学生面前，缩短了知识与学生之间的距离，丰富了教学内容，活跃了课堂气氛．（三）新知应用阶段学以致用，触类旁通图1问题5图11.如图1，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.填空：（1）∠1=∠；（2）∠2=∠；（3）∠3=∠；（4）∠5=∠.图22.如图2，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点图2B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º.(1)∠BDC=º，理由是；(2)∠BOC=º，理由是.图33.如图3，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=45º，∠AED=75º.图3(1)求∠ABD的度数；(2)连接AD，若AD＝2，求⊙O的半径长.师生活动：在得出圆周角定理之后，向学生指出，根据定圆周角定理可解决与圆有关的说理、作图、计算等问题．先让学生独立解决，然后规范解题格式，促进学生养成严谨规范的学习习惯.为了让更多的学生参与进来，通过练习发现不足，教师及时得到反馈，检查教学效果，在练习过程中培养学生养成用所学知识去思考问题、判断问题、解决问题的好习惯，练习分出梯度，让不同水平的学生都有所提高，有助于贯彻因材施教的教学原则．设计意图：应用圆周角性质定理解决问题，巩固所学内容．在此基础上简要讨论圆内角、圆外角的相关性质，拓宽学生的视野.（四）新知整理阶段回顾课堂，反思提升问题6回顾本课研究圆周角的过程，交流印象最为深刻的环节及存在的疑惑.师生活动：通过引导学生民主小结，梳理圆周角定义的获得，定理的探究、发现、证明、应用思路，使知识形成结构，纳入学生认知系统.设计意图：通过小结和学生反思，进一步理顺学生的学习思路，加深对圆周角的概念和圆周角定理的理解，同时有利于学生认识数学思想、数学方法，积累数学活动的经验．（五）布置作业，课外拓展1.课本第122页习题5.3第1，2，4，5题；2.思考探索：给你一张圆形纸片，你有哪些方法能找出它的圆心位置？设计意图：考虑到了教学的目的性、知识的顺序性、学生的可接受性，布置上述作业，一方面巩固新课内容，又供学有余力的学生课后继续研究，体现了面向全体，因材施教，分层教学的原则．【目标检测设计】(第2题)（第1题）1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.请说明∠ACB=2∠BAC.(第2题)（第1题）设计意图：考查学生对同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系的掌握．2.如图，在⊙O中，=2，∠BOC=84°，求∠A的度数.设计意图：综合考查学生对同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系的掌握．3.在⊙O中，BC为弦，∠BOC=100o，则弦BC所对的圆周角是度.设计意图：考查学生对分类思想的灵活运用，以及对同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系的掌握．（第4题）4．如图，一个海湾在范围内有暗礁,C是上一点，当船只位于外侧时，其所在位置P与两个灯塔A、B形成视角∠APB,请你比较∠APB与∠ACB的大小，并说明理由.（第4题）设计意图：考查了对圆周角概念的理解，增加了实际问题背景，着眼于数学与人的发展和现实生活之间的密切联系．5.3圆周角(第1课时)课例点评依据荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔的“再创造”数学教学模式，本课以学生的独立学习为基础，配以小组合作、全班交流、教师启导，从而建立以学生的活动为主线的主要操作形式，以突出重点、突破难点，并发展学生的数学素养.通过创设一系列具有启发性、挑战性的问题情景激发学生学习的兴趣，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想.而在课堂推进过程中，力求做到四“抓”、四“体现”，四“抓”即抓角的基本元素——顶点与边；抓图形的运动变化；抓图形的数量关系；抓学生的活动.四“体现”即体现核心概念；体现学生的合情推理能力；体现类比、分类、转化等数学思想方法；体现现代教育技术的应用.具体来说，本课主要具有如下特点：1.将课堂学习的主动权还给学生.在本课的诸多环节，如研究圆周角的过程设计、圆周角性质的研究内容及如何研究等都交由学生处理，使其不仅学会知识，更能体会研究问题的一般方法.2.猜想和预见是学生的天性，抓住学生这一心理采取“先猜后证”的教学设计，有效地激发学生的积极性，促使其在课堂