2023年高三数学高考模拟试卷四附参考答案

2023年高三数学高考模拟试卷（4）

一、单选题

1.设集合乂={%|%2—4%+330},N={x|log2x<1},则集合MnN=（）

A.（—oo,1]B.（0,1]C.[1,2]D.（—8,0]

2.已知z=±一亨”且z2+aZ+b=0,其中a,b为实数，贝（I（）

A.a=1,b=0B.a=-1,b=0

C.a=Ifb=1D.a=-1,b=-1

3.已知向量五，石满足a7=10,且石=（一3,4）,则五在加上的投影向量为（）

A.（—6,8）B.（6,—8）C.（一卷，卷）D.（0，一刍

4.大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数

（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些

素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数N（N不为素数）能

唯一地写成N=p『”相……（其中%是素数，区是正整数，lWYk,P1<p2<-<pk），将

上式称为自然数N的标准分解式，且N的标准分解式中有即+a2+…+幺个素数.从360的标准分解

式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（）

A.6B.13C.19D.60

5.已知a,BG（0,兀），则“sina+sin0<是"sin（a+0）<'的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.斐波那契数列{a”}满足臼=。2=1，ari=an_1+an_2（n>3）,其每一项称为“斐波那契数”.如

图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出

展升…+说023是斐波那契数列的第（）项.

a2023

n=1n=2n=3n=4n=5

A.2022B.2023C.2024D.2025

7.已知圆台。1。的上、下底面半径分别为r,R,高为h,平面Q经过圆台01。的两条母线，设a截此

圆台所得的截面面积为S,则()

A.当hNR-r时,S的最大值为(R+2r)九

22

B.当日2R-r时，S的最大值为缪乜")1

2(/?—r)

C.当九<R-r时，S的最大值为(R+2r)九

22

D.当/i<R—r时，S的最大值为(R+r)MD+(?T)]

2(R—r)

8.设双曲线E：l(a>0,b>0)的右焦点为凡M(0,3b)，若直线2与E的右支交于力，B

两点，且F为△MAB的重心，则直线，斜率的取值范围为()

A.(当之,V5)U(>/3»+00)B.(―^―,V3)U(y/3,+co)

C.(-oo,—V6)U(―V6,——^―)D.(—co,—V6)U(―V6,——^―)

二、多选题

9.总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和.它反映的是一名

妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数.为了了解中国人

均GOPx(单位：万元)和总和生育率y以及女性平均受教育年限z(单位：年)的关系，采用

2012~2022近十年来的数据(修，％,4)。=1,2,…，10)绘制了散点图，并得到经验回归方程2=

7.54+0.33%,y=2.88-0.41x.对应的决定系数分别为此，帽，贝U()

2012年2016年2018年2022年

2.012

11

.8

1

.46O

树

的9

卅2

足

，

衣8

7

人均GDP/万元

A.人均GDP和女性平均受教育年限正相关

B.女性平均受教育年限和总和生育率负相关

c.c<C

D.未来三年总和生育率将继续降低

10.在棱长为1的正方体ZBCD—4B1C1D1中，点M,N分别是棱为。1，AB的中点，则()

A.异面直线MD与CN所成角的余弦值为|

B.1D]N

C.点N到平面4的0的距离为卓

D.平面MNC截正方体所得的截面是五边形

11.已知曲线C是平面内到定点F(0,1)和定直线，：y=-l的距离之和等于4的点的轨迹，若PQo,

加)在曲线C上，则下列结论正确的是()

A.曲线C关于x轴对称

B.曲线C上任意一点到原点的距离都不超过后

C.曲线C及其内部共包含了19个整点(即横、纵坐标均为整数的点)

D.点Pg,y0)到点Q(l，-|)和点F(0，1)的距离之和最小为|

12.已知1,Qi，做，…，Qn，2为等差数列，记5九=。1+。2^--bccn,Tn=ara2an,贝ij

()

A.当为常数B.怀为常数

c.Sn随着n的增大而增大D.Tn随着n的增大而增大

三、填空题

13.已知函数/(x)=5sinx+3cosx,则曲线y=/(%)在点(3,5)处的切线方程

为.

14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产“，我国

拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离，现在珊瑚群岛

上取两点C,D,测得CD=35m,Z.ADB=135°,乙BDC=Z.DCA=15",Z.ACB=120°,则A、B

两点的距离为m.

15.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为/+y2-8%+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一

点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆C有公共点，贝弘的最小值为.

16.已知函数/（%）=alnx—2x（a。0）,若不等式%。>2e2xf（x）+e2xcos（/（久））对x>0恒成立,则

实数a的取值范围为.

四、解答题

17.若函数/（K）=COS（&）X—修）—V5cos（（ox+金），其中3>0.

（1）若3=2,求/'（6；

（2）若/⑺在区间4，刍上没有零点，求3的取值范围.

18.记数列｛an｝的前n项和为%,即=1,—.给出下列两个条件：条件①：数列｛an｝和数列图+

的｝均为等比数列；条件②：2"国+2=-%2+--+2即=7；%1+1.试在上面的两个条件中任选一个，补

充在上面的横线上，完成下列两问的解答：

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

（1）求数列｛a”｝的通项公式；

V-i2n

（2）记正项数列｛bn｝的前ri项和为T九，b1=a29b2=a3f4Tn=bn-bn+1,求〉[（—1）也加+1].

=i=]

19.已知四棱锥P—ABC。的底面是棱长为2的菱形，^BAD=60°,PD=显，若乙PDC=

乙PDB,且PD与平面4BCD所成的角为45。，E为4D的中点，点尸在线段P4上，且PC〃平面BE四

(1)求亲

(2)求平面PBE与平面BEF夹角的余弦值.

20.甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战

3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种.

(1)甲在每次挑战中，成功的概率都为表设X为甲在3次挑战中成功的次数，求X的分布列和

数学期望；

(2)乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5,受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率

会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0」；若前一次失

败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1.

(i)求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率；

(ii)求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率.

22

21.已知圆0：x+y=5,椭圆厂=1的左右焦点为％,F2,如图P为圆上任意一点，过

P分别作椭圆两条切线切椭圆于儿B两点.

(1)若直线PA的斜率为2,求直线PB的斜率；

(2)作PQ14B于点Q,判断点P在运动的过程中，AQF1F2的面积是否存在最大值，如果存在,

求出最大值，如果不存在，说明理由.

22.设函数/(%)=裂■+aM,其中awR.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)存在两个极值点，设极大值点为与，勺为/(x)的零点，求证：近一打？"2.

参考答案

L【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】A,B

10.【答案】A,B,D

11.【答案】B,C

12.【答案】A,C,D

13.【答案】6x+2y-3兀-10=0

14.【答案】35V5

15.【答案】-I

4

16.【答案】(0,2e]

17.【答案】(1)解：因为f(%)=COS(6O%+$—分—V5cos(3%+若)

=sin{a)x+$)—V3cos(cox+金)=2sin(a)x—与)，

当3=2,所以f(x)=2sin(2x一亨)，

所以/(看)=2sm(^-=2(sE,cos70sts配力

_2(V6_V2)_V6-V2

(2)解：由(1)知/(%)=2sin3%—%

、1/兀//7Trj_LTTCO7T7TTTCO7T

当4Vx<2时，-4--4<COX_4<-2-_4,

要使/（X）在4，刍上无零点,

no)n、.

则限4-短NNkn

解得4k+1W3W2k.+5，k€Z，

rQ

则4k+l<2k+^故kW.，

又3>0,

当k=。时，1W3W,，

当k=-1时>—3W3W义，即0<3W/，

当k<一2时，3<0舍去.

综上：3的取值范围为(0,1]U[1,|]

18•【答案】(1)解：选条件①：

•.•数列｛Sn+&｝为等比数列，

(52+的)2=(Si+ai)(S34-%),

即(2d[+a2)?=2(21(2(11+0.2+。3),

•.•%=1,且设等比数列｛an｝的公比为q，

(2+q)2=2(2+q+q2)>

解得q=2或q=0(舍)，

nn1

an=aiqT=2~,

选条件②：

nn1

2ar+2~a2+•••+2an=几即+1…①，

n1n2

:.2~a1+2~a2+…+2an_]=(n—l)an(n>2),

即2%]+2"%2H—+2，八_]=2(n—l)an(n>2)②,

由①②两式相减得：2azi=nan+1-2(n-l)an(n>2),

即an+i=20noiN2)，

nn-1

令2di4-2a2+…+2a„=nan+i中n=1得出a?=2al也符合上式，

故数列为首项ai=1,公比q=2的等比数列，

nin-1

则a；,=a1q~=2

(2)解：由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列｛&J为首项劭=1，公比q=2的等比数

列，即即=2所1,

则比=@2=2,/72=。3=4,

,•147n=bn-bn+1…③,

•1•4%=hn-i-bn(n>2)-④，

由③④两式相减得:4(〃-%)=bn-bn+1-砥-1•bn(n>2),

即4bn=bn-(hn+1-fon-i)(n>2),

・・・数列｛/｝为正项数列，

则勾+1一g_1=4(n>2),

则数列｛%｝的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，

2n\-i2n

[(-1)1也+1]=4)[(-l)lTJ=4(—T1+72-73+74T----T2n-1+72n)，

Z1=1乙T=1

2TI

即〉[(一1)也加+1]=4俗2+0+力6T---卜丹九)，

数列｛%｝前2n项中的全部偶数项之和为：4n+鸣工x4=2n2+2n«

i2n

则〉[(—1)'匕也+1]=8n2+87t.

乙臼=1

19.【答案】(1)解：连接4C0BE=。，连接BOC4C=G,由菱形4BCD知G是BD,4C中点，而E

为40的中点,

则。为△ABC的重心，有40=|AG=.4C,

因为PC//平面BEF,平面PAC0平面BEF=OF,PCu平面PAC,因止匕F0//PC,

1

所R二i以、|/丽F=4/。=

3-

(2)解：菱形力BCD中，由/BCD=60。，知ADCB为等边三角形，有DC=DB,又上PDC=

乙PDB,

则△PD8三APDC,即有PB=PC,取BC的中点M,连接PM,DM,则8C_LPM,BCJ.DM，

而PMCOM=M,且两相交直线在平面内，于是BCJ•平面PMD,而BCu平面力BCD,有平面

PMD1平面ABCD,

在平面PMO内过P做PH1DM于点H,平面PMOCI平面ABC。=DM,

从而PHJ•平面ABC。，NPDH是PD与平面ABCD所成的角，则NPDH=45。，

因为PD=V6,则PH=DH=陋,又DM=B，因此”与M重合,

以“为坐标原点，HD,HB,HP为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

P（0,0,V3）,B（0,1,0）,4（遮，2,0）,D（V3,0,0）,E（遥，1,0），PB=（0,1,一遮）,

而=｝丽=（一孚，-|,孚）,则“竽，当）,前=（-苧，弟,配=（遮,0,0））

fm-BE=V3%!=0

设平面BEF的法向量沆=（打，y［，zi）,则（一一73173，令zi=—1,得

I771・EF=---+1丫］+百-Z］=0

m=(0,V3,-1),

设平面PBE的法向量五=(x,y,z),则1元/"=6葭°,令z=l,得五=(0,V3,1)，

''"(n-P5=y-V3z=0'7

工目/一f沅五V3x/3-lxl1

FzEcos〈m,切=晒=^2-=2'

所以求平面PBE与平面BEF夹角的余弦值为去

20.【答案】(1)解：由题意得，X〜B(3,I),则P(X=k)=或&)<1一｝3-上，其中卜=

0,1,2,3,

则X的分布列为:

X0123

p1331

8888

则E(X)=3x1=|.

(2)解：设事件4为“乙在第i次挑战中成功"，其中i=l,2,3.

(i)设事件B为“乙在前两次挑战中，恰好成功一次”，则8=4五+工人2,

则P(B)=P(AM+P(五&)=P(Ai)P(&|4)+P(A^P{AM

=0.5x(1-0.6)4-(1-0.5)x0.4=0.4.

即乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概为0.4.

(ii)因为P(A2)=P^A2+AM=P(AI)P(42MI)+P(五)PG^I五)

=0.5x0.6+0.5x0.4=0.5,

且P(A243)=P(i41242i43+才14243)=P(414243)+P(414243)

=0.5x0,6x0.7+0.5x0.4x0.5=0.31,

所以「(公|七)=用符=牌=0.62.

即乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率为0.62.

21.【答案】(1)解：设P(x0,y0),切线y-y。=-彳0),则郎+*=5，

(x22_

222

由］彳+'-1得：(1+4/c)%+8/c(y0—kx0)x+4(y0-kx0')-4=0,

(y-%=k(x-x0)

2

由d=0得：(4-XQ)/C+2xoyok+1-羽=0,

设切线PA,PB的斜率分别为自，卜2,则的七=3；―^2=~~~,_^02\=—

4一场4一(5一羽)

又直线PA的斜率为2,则直线PB的斜率为-今

(2)解：当切线P4PB斜率都存在时，设4Qi，%),BQ2，y2)-

切线24,PB方程为y—%=左(%-i=1,2)

由(1)得：(4一呼)I+2/%匕+1-W=0,i=1,2(*)

由点A,B在椭圆上，得竽+蜡=1,i=i,2代入(*)得：(2y/t+m)2=0，即发=一卷，

1,2,

切线PZ,PB的方程为竽+=1,i=1,2,

由于P在切线PA,PB上,则空+匕20=1，i=L2,所以直线4B为零+y0y=1,

由PQJ./1B得：直线PQ方程为y—y()=誓0-%0)，联立直线AB,

4勺(1+3m)_4_%(1+3尤)一1

解得XQ帝16九一5°,二一舄+16冰一5加

由四+羽=5得：Q点轨迹方程为金％2+5y2=1，且焦点恰为Fi，P2,

当切线24,PB斜率有一个不存在时，不妨设PB斜率不存在，且B(2,0),P(2,1),4(0,1)，

直线方程为y=—上+1,PQ方程为y-1=2(%-2),解得Q(。，卷)，也在椭圆会/+5y2=1

上，

综上，点Q的轨迹为椭圆号2+5y2=1，

所以，59低=加/2|*%|4*2百*洛=空仅当Q在椭圆号2+5、2=I的短轴端点时

取到等号.

22.【答案】⑴解：由八盼=言+2以=今(2。靖一1)

①aW0时，，由2。/一1<0,令f'(x)=0，解得x=0,

所以％<00寸，/(%)>0,x>0时，/(x)<0.

则/(x)在(一8,0)单调递增，在(0,+8)单调递减；

②a>0时，由八%)=等&一分

(i)a=,时，因为％(短一1)20,则/(x)20,/(x)在(一8,+8)单调递增，

(ii)aG(0,今时:/'(%)